Bestemt integral 3

Regn ut integralet

Hva forteller svaret deg?

Fasit

Svaret er 0.

Løsningsforslag

Dette integralet trenger ingen spesielle regler eller teknikker for å løses.

Jeg setter inn grensene og får

Siden svaret på integralet er 0 så må det være like mye areal avgrenset av grafen på oversiden av \(x\)-aksen som på undersiden av \(x\)-aksen.

Areal mellom cosinus og sinus

Figuren nedenfor viser grafene til funksjonene \(f\) og \(g\), der \(f(x) = \cos x\) og \(g(x) = \sin x\).

Fasit

\(\underline{\underline{A = 2\sqrt{2}}}\)

Løsningsforslag

Fra figuren ser vi at det fargelagte området er mellom kurvene \(g(x) = \sin x\) og \(f(x) = \cos x\), der \(\sin x \geq \cos x\).

Vi finner skjæringspunktene ved å løse \(\sin x = \cos x\), det vil si \(\tan x = 1\). I intervallet \([0, 2\pi]\) gir dette \(x = \dfrac{\pi}{4}\) og \(x = \dfrac{5\pi}{4}\).

I intervallet \(\left\langle \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{4} \right\rangle\) er \(\sin x \geq \cos x\), så arealet er

Vi integrerer:

Setter inn øvre grense \(x = \dfrac{5\pi}{4}\):

Setter inn nedre grense \(x = \dfrac{\pi}{4}\):

Dermed blir arealet

Arealet av det fargelagte området er \(\underline{\underline{2\sqrt{2} \approx 2{,}83}}\).

Uendelig geometrisk rekke

En uendelig geometrisk rekke \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots\) konvergerer mot 8.

Bestem summen av de fire første leddene, når du får vite at \(a_{1}=4\)

Fasit

\(s_{4}=7{,}5\)

Løsningsforslag

Jeg bruker formelen for uendelig geometrisk rekke. Jeg setter inn kjente verdier for å bestemme \(k\):

Summen av de fire første leddene er \(4+2+1+\frac{1}{2}=\frac{15}{2}\)

Summen av de fire første leddene er 7,5

Aritmetisk rekke

I en aritmetisk rekke er \(a_{1}+a_{4}+a_{7}=114\).

Bestem \(a_{4}\).

Fasit

\(a_{4}=38\)

Løsningsforslag

Jeg vet at i en aritmetisk rekke er

Vi kan dermed si at \(a_{1}=a_{4}-3d\) og \(a_{7}=a_{4}+3d\).

Jeg setter inn for \(a_{1}\) og \(a_{7}\) i uttrykket og får

\(\underline{\underline{a_{4} = 38}}\)

Plan, normalvektor og avstand til punkt

Et plan \(\alpha\) er gitt ved likningen

Vi har gitt punktet \(A(4,\ 2,\ 2)\).

Fasit

a) \((x, y, z) = (4 + t,\ 2 - 2t,\ 2 + 2t),\quad t \in \mathbb{R}\)
b) \(\underline{\underline{d = \dfrac{5}{3}}}\)

Løsningsforslag

Planet \(\alpha\) er gitt ved \(x - 2y + 2z + 1 = 0\), og vi leser av normalvektoren direkte fra koeffisientene:

Lengden av normalvektoren er

a

En linje normalt på planet \(\alpha\) har retning \(\vec{n}\). Linjen gjennom \(A(4,\ 2,\ 2)\) med retning \(\vec{n}\) kan skrives som

Det vil si

b

Avstanden fra et punkt \(A(x_0, y_0, z_0)\) til planet \(ax + by + cz + d = 0\) er gitt ved formelen

Her er \(A(4,\ 2,\ 2)\) og planet er \(x - 2y + 2z + 1 = 0\), altså \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = 2\), \(d = 1\).

Vi setter inn:

Ukjent program h23

En elev har skrevet koden nedenfor

1234567891011121314N = 1000
start = -2
slutt = 2
dx = (slutt - start)/N

def f(x):
   return x**2-1

S = 0
for i in range(N):
    xi = start + i*dx
    S = S + abs(f(xi))*dx  # abs(f(x)) gir absoluttverdien til f(x)

print(S)

Fasit

a) Programmet regner ut en tilnærming til arealet mellom \(x\)-aksen, grafen til \(f(x)=x^{2}-1\) og linjene \(x=-2\) og \(x=2\).
b) Verdien er 4.

Løsningsforslag

a

Programmet forsøker å regne ut en tilnærmingsverdi for arealene mellom \(x\)-aksen, grafen til \(f(x)=x^{2}-1\), linja \(x=-2\) og linja \(x=2\).

Ved å bruke absoluttverdifunksjonen så tar programmet hensyn til at \(f<0\) i deler av intervallet.

b

Jeg ser at \(f(x)\) har nullpunkter i \(x=1\) og \(x=-1\). På grunn av symmetri vil

For å regne ut det samlede arealet kan jeg derfor bruke uttrykket (minustegn foran integral nummer 2, siden grafen ligger under \(x\)-aksen i dette intervallet)

Jeg finner først det ubestemte integralet

Jeg finner så arealet ved

Verdien eleven forsøkte å bestemme er 4.

Areal av sideflaten i avkortet pyramide

Fasit

\(\underline{\underline{3\sqrt{10} \approx 9{,}49}}\)

Løsningsforslag

Vi deler trapeset \(BCGF\) i to trekanter ved diagonalen \(BG\): trekant \(BCG\) og trekant \(BFG\).

Trekant \(BCG\)

Vi finner vektorene fra \(B(4,4,0)\):

Kryssprodukt:

Trekant \(BFG\)

Vi finner vektoren fra \(B(4,4,0)\) til \(F(3,3,3)\):

Kryssprodukt med \(\overrightarrow{BG} = (-3, -1, 3)\):

Samlet areal

Tidevann og trigonometrisk modell

Tabellen nedenfor viser vannstanden (tidevannshøyden) ved Stord verft i Sunnhordland, for noen tidspunkter 24. april 2023.

En oljeplattform skal slepes ut fra verftet dagen etter. Dette må gjøres når vannstanden er mer enn 90 cm.

Det vil ta 2 timer å slepe ut oljeplattformen.

Fasit

a) \(f(t) = 31{,}04 \cdot \sin(0{,}5144t + 0{,}1898) + 83{,}59\)
b) kl. 00:04 og kl. 12:16 den 25. april
c) Senest kl. 15:59 (≈ kl. 16:00)

Løsningsforslag

a

Vi legger inn tabellverdiene i GeoGebra CAS og bruker TrigReg til å finne en sinusmodell. Alternativt kan vi bruke de forhåndsregnede parameterne fra regresjonen direkte:

Her er \(t\) antall timer etter midnatt 24. april, og \(f(t)\) er vannstanden i cm.

Modellen har periode \(T = \dfrac{2\pi}{0{,}5144} \approx 12{,}2 \, \mathrm{timer}\), som er typisk for semidiurnalt tidevann (to høyvann og to lavvann per døgn).

\(\underline{\underline{f(t) = 31{,}04 \cdot \sin(0{,}5144t + 0{,}1898) + 83{,}59}}\)

b

Vannstanden øker raskest når den deriverte \(f'(t)\) er størst.

Vi deriverer \(f\):

Denne er størst når \(\cos(0{,}5144t + 0{,}1898) = 1\), det vil si når

Den 25. april svarer til \(t \in [24, 48]\). Vi setter inn \(n = 2\) og \(n = 3\):

Ifølge modellen øker vannstanden raskest den 25. april kl. \(\underline{\underline{00{:}04}}\) og kl. \(\underline{\underline{12{:}16}}\).

c

Vi må finne et 2-timers tidsvindu der \(f(t) > 90 \, \mathrm{cm}\) gjennom hele perioden.

Vi løser \(f(t) = 90\) for \(t \in [24, 48]\) numerisk i GeoGebra CAS (NLøs):

CAS gir fire løsninger:

Dette gir to vinduer der \(f(t) > 90 \, \mathrm{cm}\):

• Vindu 1: kl. 00:28 – 05:46 (varighet \(\approx 5{,}3 \, \mathrm{timer}\)) → senest start kl. 03:46
• Vindu 2: kl. 12:41 – 17:59 (varighet \(\approx 5{,}3 \, \mathrm{timer}\)) → senest start kl. 15:59

Det siste mulige starttidspunktet på 25. april er i vindu 2:

De kan senest starte å slepe ut oljeplattformen \(\underline{\underline{\text{ca. kl. } 16{:}00}}\) den 25. april.

Pentagontall rekursiv og induksjon

Hver figur nedenfor består av kuler plassert på pentagoner. Antall kuler på hver av ytterkantene øker med én sammenlignet med antall kuler på ytterkanten i figuren før. La \(P_n\) være antall kuler i figur \(n\).

De fem første figurtallene er 1, 6, 16, 31 og 51.

Fasit

a) \(P_1 = 1\), \(P_n = P_{n-1} + 5(n-1)\) for \(n \geq 2\)
b) \(\underline{\underline{P_{100} = 24751}}\)
c) \(\underline{\underline{P_n = \dfrac{5n^2 - 5n + 2}{2}}}\)

Løsningsforslag

a

Vi observerer differansene mellom påfølgende pentagontall:

Mønsteret er at \(P_n - P_{n-1} = 5(n-1)\), altså legger man til \(5(n-1)\) kuler for å gå fra figur \(n-1\) til figur \(n\).

Rekursiv sammenheng:

b

Vi bruker den rekursive sammenhengen fra a) direkte i et program:

P = 1
for n in range(2, 101):
    P = P + 5*(n-1)
print(P)

Programmet gir \(\underline{\underline{P_{100} = 24751}}\).

c

Vi bruker teleskopsummering. Fra den rekursive sammenhengen får vi:

Eksplisitt formel: \(\underline{\underline{P_n = \dfrac{5n^2 - 5n + 2}{2}}}\)

Kontroll: \(P_5 = \dfrac{5 \cdot 25 - 25 + 2}{2} = \dfrac{102}{2} = 51\) ✓

Induksjonsbevis

Vi skal bevise at \(P_n = \dfrac{5n^2 - 5n + 2}{2}\) for alle \(n \geq 1\).

Grunntrinn (\(n = 1\)):

Induksjonssteg: Anta at påstanden holder for \(n = k\), det vil si at

Vi skal vise at den da også holder for \(n = k+1\), altså at \(P_{k+1} = \dfrac{5(k+1)^2 - 5(k+1) + 2}{2}\).

Fra den rekursive sammenhengen i a) har vi \(P_{k+1} = P_k + 5k\). Vi setter inn induksjonshypotesen:

Vi sjekker at dette stemmer overens med formelen for \(n = k+1\):

De to uttrykkene er like, så induksjonssteget er vist. ∎

Ved induksjonsprinsippet gjelder dermed \(P_n = \dfrac{5n^2 - 5n + 2}{2}\) for alle \(n \geq 1\).

Volum av tønne ved integrasjon

En tønne er 75 cm høy. Diameteren i bunnen og toppen er 45 cm. Den største diameteren er 52 cm.

Siden i tønnen fra toppen til bunnen er formet som en parabel.

Fasit

\(\underline{\underline{V \approx 145\,562 \, \mathrm{cm}^3 \approx 145{,}6 \, \mathrm{L}}}\)

Løsningsforslag

Vi setter opp et koordinatsystem med \(z = 0\) i midten av tønna, slik at tønna strekker seg fra \(z = -37{,}5\) til \(z = 37{,}5 \, \mathrm{cm}\) (høyde 75 cm).

Modell for radiusfunksjonen

Siden tønna er symmetrisk og siden er formet som en parabel, velger vi

der \(r(0) = 26 \, \mathrm{cm}\) (største radius, diameter 52 cm).

Randbetingelse: \(r(\pm 37{,}5) = 22{,}5 \, \mathrm{cm}\) (radius i bunn/topp, diameter 45 cm):

Volumet som omdreiningslegeme

Tønnen dannes ved å dreie kurven \(r(z)\) om \(z\)-aksen. Volumet er:

Beregning i GeoGebra CAS

a := -7/2812.5
r(z) := 26 + a*zV := pi * Integral(r(z)^2, z, -37.5, 37.5)

GeoGebra gir \(V \approx 145\,561{,}77 \, \mathrm{cm}^3\).

Svar: Volumet av tønnen er \(\underline{\underline{V \approx 145\,562 \, \mathrm{cm}^3 \approx 145{,}6 \, \mathrm{L}}}\).

Luftforurensning og sinusfunksjon

I et veikryss varierer en type luftforurensning periodisk hvert døgn. Luftforurensningen øker ut over formiddagen og minker igjen mot kvelden. Mengden luftforurensning \(M\) kan beskrives med funksjonen

der \(t\) er antall timer etter midnatt.

Den største mengden luftforurensning i løpet av døgnet er \(31{,}2 \text{ μg/m}^3\), og den minste mengden er \(18{,}2 \text{ μg/m}^3\).

Ved to tidspunkter i løpet av døgnet er mengden luftforurensning \(27 \text{ μg/m}^3\). Den første gangen er klokken 13:00.

Fasit

a) \(\underline{\underline{A = 6{,}5}}, \quad \underline{\underline{c = \dfrac{\pi}{12}}}, \quad \underline{\underline{d = 24{,}7}}\)
b) Det andre tidspunktet er klokken \(\underline{\underline{22:14}}\).

Løsningsforslag

a

Funksjonen \(M(t) = A \cdot \sin(ct + k) + d\) har amplitude \(A\) og midtlinje \(d\). Siden maksimum er \(31{,}2\) og minimum er \(18{,}2\), får vi

Perioden er \(24\) timer (ett døgn), og sammenhengen mellom periode \(P\) og \(c\) er \(P = \dfrac{2\pi}{c}\):

Svar: \(\underline{\underline{A = 6{,}5}}\), \(\underline{\underline{c = \dfrac{\pi}{12}}}\), \(\underline{\underline{d = 24{,}7}}\)

b

Vi skal finne begge tidspunktene der \(M(t) = 27\). Vi bruker GeoGebra CAS.

Vi definerer \(M(t)\) med de kjente verdiene \(A = 6{,}5\), \(c = \frac{\pi}{12}\), \(d = 24{,}7\), og løser først for \(k\) ved å bruke at \(M(13) = 27\). Deretter setter vi inn \(k\) og løser \(M(t) = 27\) for \(t\).

CAS gir to løsningsgrener for \(k\) (én for stigende, én for synkende fase ved \(t = 13\)). Oppgaven sier at luftforurensningen øker ut over formiddagen og minker mot kvelden, så \(t = 13\) må ligge på den stigende grenen. Vi velger derfor

Med \(k\) bestemt gir CAS de generelle løsningene

I løpet av ett døgn (\(0 \le t < 24\)) bruker vi \(k_1 = 0\):

• \(t = 13\) (klokken 13:00 — oppgitt)
• \(t = \dfrac{25\pi - 24\sin^{-1}\!\!\left(\tfrac{23}{65}\right)}{\pi} \approx 22{,}24 \approx 22:14\)

Svar: Det andre tidspunktet er klokken \(\underline{\underline{22:14}}\).

Vektorfunksjoner og smygplan

En kurve \(C\) er grafen til vektorfunksjonen \(\vec{r}_1\) gitt ved

En annen kurve er grafen til vektorfunksjonen \(\vec{r}_2\) gitt ved

Fasit

a) Punkt \((0, \pi, -1)\)
b) Se løsningsforslag — prikkproduktet er identisk lik 0.
c) Vinkelen er alltid \(45°\).
d) Normalretningen er alltid \((-2, 0, 1)\) — smygplanet har konstant orientering. Kurven ligger i planet \(z = 2x + 1\).

Løsningsforslag

a

Tangenten til kurven \(C\) er gitt ved \(\vec{r}_1'(t)\). Vi deriverer:

Tangenten er parallell med \(xy\)-planet når \(z\)-komponenten er null:

Punktet på kurven ved \(t = \pi\):

Punktet \((0,\ \pi,\ -1)\) er det eneste punktet der tangenten er parallell med \(xy\)-planet.

b

Vi deriverer \(\vec{r}_1'(t)\) én gang til:

Prikkproduktet er:

GeoGebra CAS bekrefter:

Siden prikkproduktet er null for alle \(t\), er \(\vec{r}_1'(t) \perp \vec{r}_1''(t)\) for alle \(t\). \(\square\)

c

Smygplanet i et punkt inneholder \(\vec{r}_1'(t)\) og \(\vec{r}_1''(t)\). Normalvektoren til smygplanet er:

Vi regner ut kryssprodukt komponent for komponent:

Lengden av \(\vec{n}\):

Vinkelen \(\theta\) mellom normalvektoren \(\vec{n}\) og \(y\)-aksen \(\hat{j} = (0, 1, 0)\):

GeoGebra CAS bekrefter \(|\vec{n}|^2 = 2\) og \(\theta = \frac{\pi}{4}\):

Vinkelen mellom smygplanet og \(y\)-aksen er \(90° - \theta = 90° - 45° = 45°\).

Siden \(\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}\) er uavhengig av \(t\), er vinkelen mellom smygplanet og \(y\)-aksen alltid \(\underline{\underline{45°}}\), uavhengig av hvilket punkt på kurven vi ser på. \(\square\)

d

Vi finner \(\vec{r}_2'(t)\) og \(\vec{r}_2''(t)\):

Normalvektoren til smygplanet:

Tolkning: Normalvektoren \(\vec{n}_2 = \sin t \cdot (-2, 0, 1)\) peker alltid i retningen \((-2, 0, 1)\) (eller motsatt retning) uavhengig av \(t\) (der \(\sin t \neq 0\)). Det betyr at smygplanet har den samme orienteringen for alle \(t\) — det er alltid parallelt med planet med normal \((-2, 0, 1)\).

En naturlig forklaring er at kurven faktisk ligger i et fast plan: \(z\)-komponenten er \(2\sin t + 1 = 2x + 1\), altså \(z = 2x + 1\). Kurven \(C_2\) ligger i sin helhet i planet \(z = 2x + 1\), og smygplanet er det samme for alle punkter.

Merk at der \(\sin t = 0\) (dvs. \(t = 0, \pi, 2\pi, \ldots\)) er \(\vec{r}_2'\) og \(\vec{r}_2''\) parallelle, og smygplanet er ikke definert i disse punktene.