Skriv inn søketeksten i boksen over

Select a result to preview

Vis løsningsforslag Last ned oppgaver (PDF) Last ned løsningsforslag (PDF)

R2 eksamen H2023

Oversikt over eksamensoppgavene

Del 1 — 2 timer — uten hjelpemidler

№ Navn Temaer LF
1-1 Bestemt integral 3 integral, bestemt integral, tolkning av integraler ✔︎
1-2 Areal mellom cosinus og sinus integral, areal under graf, trigonometri ×
1-3a Uendelig geometrisk rekke uendelig rekke, rekker, geometrisk rekke ✔︎
1-3b Aritmetisk rekke rekker, aritmetisk rekke ✔︎
1-4 Plan, normalvektor og avstand til punkt vektorer, geometri ×
1-5 Ukjent program h23 programmering, numerisk integrasjon, integral, areal under graf ✔︎
1-6 Areal av sideflaten i avkortet pyramide vektorer, areal, geometri ×

Del 2 — 3 timer — med hjelpemidler

№ Navn Temaer LF
2-1 Tidevann og trigonometrisk modell trigonometri, modellering, derivasjon ×
2-2 Pentagontall rekursiv og induksjon figurtall, rekursiv sammenheng, programmering, bevis ×
2-3 Volum av tønne ved integrasjon integral, volum, omdreiningslegeme ×
2-4 Luftforurensning og sinusfunksjon trigonometri, modellering, funksjoner ×
2-5 Vektorfunksjoner og smygplan vektorer, funksjoner, bevis ×

Del 1

Oppgave 1-1

Bestemt integral 3

Regn ut integralet

\[\int_{-1}^{1} \left( x^{3}+2x \right) \, \mathrm{d}x \]

Hva forteller svaret deg?

Fasit

Svaret er 0.

Løsningsforslag

Dette integralet trenger ingen spesielle regler eller teknikker for å løses.

\[\int_{-1}^{1} \left( x^{3}+2x \right) \, dx = \left[ \frac{1}{4}x^{4}+\frac{2}{2}x^{2} \right]_{-1}^{1} \]

Jeg setter inn grensene og får

\[\left( \frac{1}{4}1^{4}+1^{2} \right) - \left( \frac{1}{4}(-1)^{4}+(-1)^{2} \right)=\underline{\underline{0}} \]

Siden svaret på integralet er 0 så må det være like mye areal avgrenset av grafen på oversiden av \(x\)-aksen som på undersiden av \(x\)-aksen.

Oppgave 1-2

Areal mellom cosinus og sinus

Figuren nedenfor viser grafene til funksjonene \(f\) og \(g\), der \(f(x) = \cos x\) og \(g(x) = \sin x\).

Grafene til f(x) = cos x og g(x) = sin x med fargelagt område

Oppgave

Bestem arealet av det fargelagte området vist på figuren.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 1-3a

Uendelig geometrisk rekke

En uendelig geometrisk rekke \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots\) konvergerer mot 8.

Bestem summen av de fire første leddene, når du får vite at \(a_{1}=4\)

Fasit

\(s_{4}=7{,}5\)

Løsningsforslag

Jeg bruker formelen for uendelig geometrisk rekke. Jeg setter inn kjente verdier for å bestemme \(k\):

\[\frac{a_{1}}{1-k}=\frac{4}{1-k}=8 \iff \frac{4}{8}=1-k \iff k=\frac{1}{2} \]

Summen av de fire første leddene er \(4+2+1+\frac{1}{2}=\frac{15}{2}\)

Summen av de fire første leddene er 7,5

Oppgave 1-3b

Aritmetisk rekke

I en aritmetisk rekke er \(a_{1}+a_{4}+a_{7}=114\).

Bestem \(a_{4}\).

Fasit

\(a_{4}=38\)

Løsningsforslag

Jeg vet at i en aritmetisk rekke er

\[a_{n+1}=a_{n}+d \]

Vi kan dermed si at \(a_{1}=a_{4}-3d\) og \(a_{7}=a_{4}+3d\).

Jeg setter inn for \(a_{1}\) og \(a_{7}\) i uttrykket og får

\[a_{4}-3d+a_{4}+a_{4}+3d=114 \iff 3a_{4}=114 \iff a_{4}=38 \]

\(\underline{\underline{a_{4} = 38}}\)

Oppgave 1-4

Plan, normalvektor og avstand til punkt

Et plan \(\alpha\) er gitt ved likningen

\[x - 2y + 2z + 1 = 0 \]

Vi har gitt punktet \(A(4,\ 2,\ 2)\).

Oppgave
  1. Bestem en parameterframstilling for linjen gjennom \(A\) som står normalt på planet \(\alpha\).
  2. Bestem avstanden fra \(A\) til \(\alpha\).

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 1-5

Ukjent program h23

En elev har skrevet koden nedenfor

N = 1000
start = -2
slutt = 2
dx = (slutt - start)/N

def f(x):
   return x**2-1

S = 0
for i in range(N):
    xi = start + i*dx
    S = S + abs(f(xi))*dx  # abs(f(x)) gir absoluttverdien til f(x)

print(S)
Oppgave
  1. Forklar hva eleven ønsker å regne ut med denne koden.
  2. Finn ved regning den verdien eleven ønsker å bestemme.

Fasit

a) Programmet regner ut en tilnærming til arealet mellom \(x\)-aksen, grafen til \(f(x)=x^{2}-1\) og linjene \(x=-2\) og \(x=2\).
b) Verdien er 4.

Løsningsforslag

a

Programmet forsøker å regne ut en tilnærmingsverdi for arealene mellom \(x\)-aksen, grafen til \(f(x)=x^{2}-1\), linja \(x=-2\) og linja \(x=2\).

Ved å bruke absoluttverdifunksjonen så tar programmet hensyn til at \(f<0\) i deler av intervallet.

b

Jeg ser at \(f(x)\) har nullpunkter i \(x=1\) og \(x=-1\). På grunn av symmetri vil

\[\int_{-2}^{1} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx \]

For å regne ut det samlede arealet kan jeg derfor bruke uttrykket (minustegn foran integral nummer 2, siden grafen ligger under \(x\)-aksen i dette intervallet)

\[2\int_{1}^{2} \left( x^{2}-1 \right) \, dx - \int_{-1}^{1} \left( x^{2}-1 \right) \, dx \]

Jeg finner først det ubestemte integralet

\[F(x)=\int (x^{2}-1) \, \mathrm{d}x =\frac{1}{3}x^{3}-x+C \]

Jeg finner så arealet ved

\[\begin{aligned} 2\cdot \left( F(2)-F(1) \right) - \left( F(1)-F(-1) \right) \\ 2\cdot F(2)- 3\cdot F(1)+F(-1) \\ 2\left(\frac{1}{3}2^{3}-2 \right)- 3\left( \frac{1}{3}1^{3}- 1 \right) +\left( \frac{1}{3}(-1)^{3}-(-1) \right) \\ \left( \frac{16}{3}-4 \right) -\left( \frac{3}{3}-3 \right) +\left( \frac{-1}{3}+1 \right)\\ -4+3+1+\frac{16}{3}-\frac{3}{3}-\frac{1}{3}=\frac{12}{3}=4 \end{aligned} \]

Verdien eleven forsøkte å bestemme er 4.

Oppgave 1-6

Areal av sideflaten i avkortet pyramide

Figuren viser en rett avkortet pyramide med hjørner i punktene \(O(0,0,0)\), \(A(4,0,0)\), \(B(4,4,0)\), \(C(0,4,0)\), \(D(1,1,3)\), \(E(3,1,3)\), \(F(3,3,3)\) og \(G(1,3,3)\).

Oppgave

Bruk vektorregning til å bestemme arealet av sideflaten \(BCGF\).

Avkortet pyramide

Fasit

Løsningsforslag

Del 2

Oppgave 2-1

Tidevann og trigonometrisk modell

Tabellen nedenfor viser vannstanden (tidevannshøyden) ved Stord verft i Sunnhordland, for noen tidspunkter 24. april 2023.

Tidevann

Tidevann er de periodiske endringene i havnivået som oppstår som et resultat av gravitasjonskreftene som månen og solen virker på jorden med.

Antall timer etter midnatt 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Vannstand (cm) 99,6 119 94,3 60,5 53,4 76,0 96,7 115 99,9 68,1

En oljeplattform skal slepes ut fra verftet dagen etter. Dette må gjøres når vannstanden er mer enn 90 cm.

Oppgave
  1. Lag en modell \(f\) som du kan bruke til å bestemme vannstanden ved verftet i den aktuelle perioden.
  2. Når vil vannstanden øke raskest den 25. april, ifølge modellen?

Det vil ta 2 timer å slepe ut oljeplattformen.

Oppgave
  1. Ved hvilket klokkeslett kan de senest starte med å slepe ut plattformen?

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-2

Pentagontall rekursiv og induksjon

Hver figur nedenfor består av kuler plassert på pentagoner. Antall kuler på hver av ytterkantene øker med én sammenlignet med antall kuler på ytterkanten i figuren før. La \(P_n\) være antall kuler i figur \(n\).

De fem første figurtallene er 1, 6, 16, 31 og 51.

Pentagonfigurer 1–4

Oppgave
  1. Beskriv en rekursiv sammenheng mellom \(P_n\) og \(P_{n-1}\).
  2. Lag et program som regner ut \(P_{100}\) ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a).
  3. Bestem en eksplisitt formel for \(P_n\), og vis at formelen stemmer ved å gjennomføre et induksjonsbevis.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-3

Volum av tønne ved integrasjon

Tønne med mål

En tønne er 75 cm høy. Diameteren i bunnen og toppen er 45 cm. Den største diameteren er 52 cm.

Siden i tønnen fra toppen til bunnen er formet som en parabel.

Oppgave

Bruk blant annet integrasjon til å bestemme volumet av tønnen.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-4

Luftforurensning og sinusfunksjon

I et veikryss varierer en type luftforurensning periodisk hvert døgn. Luftforurensningen øker ut over formiddagen og minker igjen mot kvelden. Mengden luftforurensning \(M\) kan beskrives med funksjonen

\[M(t) = A \cdot \sin(ct + k) + d \]

der \(t\) er antall timer etter midnatt.

Den største mengden luftforurensning i løpet av døgnet er \(31{,}2 \text{ μg/m}^3\), og den minste mengden er \(18{,}2 \text{ μg/m}^3\).

Oppgave
  1. Bestem \(A\), \(c\) og \(d\).

Ved to tidspunkter i løpet av døgnet er mengden luftforurensning \(27 \text{ μg/m}^3\). Den første gangen er klokken 13:00.

Oppgave
  1. Når er det andre tidspunktet?

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-5

Vektorfunksjoner og smygplan

En kurve \(C\) er grafen til vektorfunksjonen \(\vec{r}_1\) gitt ved

\[\vec{r}_1(t) = [\sin t,\ t,\ \cos t], \quad 0 < t < 2\pi \]
Oppgave
  1. Bestem koordinatene til eventuelle punkter på \(C\) der tangenten er parallell med \(xy\)-planet.
  2. Vis at \(\vec{r}_1'(t) \perp \vec{r}_1''(t)\) for alle \(t\).
Definisjon

La \(\vec{r}\) være posisjonsvektoren til en romkurve, der \(\vec{r}'(t)\) og \(\vec{r}''(t)\) ikke er parallelle for noen verdier av \(t\). Da kan vi til hvert punkt på kurven lage et plan som tangerer kurven i punktet, og som inneholder \(\vec{r}'(t)\) og \(\vec{r}''(t)\). Dette planet kaller vi for kurvens smygplan i punktet.

Oppgave
  1. Vis at vinkelen mellom smygplanet og \(y\)-aksen alltid er den samme for kurven \(C\). Bestem denne vinkelen.

En annen kurve er grafen til vektorfunksjonen \(\vec{r}_2\) gitt ved

\[\vec{r}_2(t) = [\sin t,\ t,\ 2\sin t + 1] \]
Oppgave
  1. Undersøk smygplanet til denne kurven for ulike verdier av \(t\). Gi en tolkning av det du har funnet i undersøkelsene dine.

Fasit

Løsningsforslag