Derivasjon med eksponential og logaritme

Deriver funksjonene

Fasit

a) \(f'(x) = 3x^2 + e^x\)
b) \(g'(x) = \dfrac{3x^2}{x^3 + 1}\)

Løsningsforslag

a

Vi deriverer ledd for ledd:

b

Vi bruker kjerneregelen med ytre funksjon \(\ln u\) og kjerne \(u = x^3 + 1\):

Polynomdivisjon med ulikhet og eksponentiallikning

Polynomet \(P\) er gitt ved

Fasit

a) \(P(1) = -60 \neq 0\)
b) \(P(x) : (x+1) = x^2 - 3x - 28\)
c) \(x \in \{-4\} \cup [7, \to\rangle\)
d) \(x = \ln 7\)

Løsningsforslag

a

Dersom \(P(x)\) er delelig med \((x-1)\), må \(P(1) = 0\) (faktorteoremet).

Altså er \(P(x)\) ikke delelig med \((x - 1)\).

b

Vi utfører polynomdivisjonen:

Altså \(P(x) = (x+1)(x^2 - 3x - 28)\).

c

Vi faktoriserer \(x^2 - 3x - 28\):

Dermed er \(P(x) = (x+1)(x+4)(x-7)\) med nullpunkter \(x = -4\), \(x = -1\) og \(x = 7\).

Fortegnslinje:

\(P(x) \geq 0\) for \(x = -4\), \(x \in [-4, -1]\)... nei, la oss sjekke:

For \(x = -3\): \(P(-3) = (-3+1)(-3+4)(-3-7) = (-2)(1)(-10) = 20 > 0\) ✓

d

Vi setter \(u = e^x\) i likningen \(e^{3x} - 2e^{2x} - 31e^x - 28 = 0\):

Dette er \(P(u) = 0\), som fra oppgave b) og c) har løsningene \(u = -4\), \(u = -1\) og \(u = 7\).

Siden \(u = e^x > 0\), er den eneste gyldige løsningen \(u = 7\):

Aritmetisk rekke med sumformel

En aritmetisk rekke \(a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n\) har sum \(S_n = 2n^2 + n\).

Fasit

a) \(a_1 = 3\), \(a_{10} = 39\)
b) \(a_n = 4n - 1\)
c) \(S_{100} = 20\,100\)

Løsningsforslag

a

b

For \(n \geq 2\):

Vi sjekker at formelen også gjelder for \(n = 1\): \(a_1 = 4 \cdot 1 - 1 = 3\) ✓

c

Vi finner \(n\) når \(a_n = 399\):

Grensekostnad og grenseinntekt bedrift

Når en bedrift produserer og selger \(x\) enheter per dag, er grensekostnaden \(K'\) og grenseinntekten \(I'\) gitt ved

Bedriften produserer og selger 400 enheter per dag.

Bedriftens daglige kostnader \(K\) består av en fast del på 50 000 kroner og en variabel del som er avhengig av produksjonsmengden.

Fasit

a) Ja, en økning vil gi større overskudd
b) 500 enheter
c) \(282\,000 \mathrm{~kr}\)

Løsningsforslag

a

Overskuddet øker når grenseinntekten er større enn grensekostnaden, altså når \(I'(x) > K'(x)\).

Vi sjekker for \(x = 400\):

Siden \(I'(400) = 730 > 660 = K'(400)\), vil en økning i produksjonsmengden gi større overskudd.

b

Overskuddet er størst når \(I'(x) = K'(x)\):

Vi sjekker at dette gir maksimum: For \(x < 500\) er \(I'(x) > K'(x)\) (overskuddet øker), og for \(x > 500\) er \(I'(x) < K'(x)\) (overskuddet avtar). Altså er overskuddet størst ved 500 enheter.

c

Vi finner \(K(x)\) ved å integrere grensekostnaden:

Den faste kostnaden er \(C = 50\,000\), så

Logaritmefunksjon ln x delt på x

Funksjonen \(f\) er gitt ved

Funksjonen \(g\) er gitt ved

Fasit

a) Se løsningsforslag
b) Toppunkt \((e, e^{-1})\)
c) Bunnpunkt \((e, -3)\)

Løsningsforslag

a

Vi deriverer \(f(x) = \dfrac{\ln x}{x}\) med kvotientregelen:

b

Vi setter \(f'(x) = 0\):

Siden \(x^2 > 0\) for alle \(x > 0\), bestemmes fortegnet til \(f'(x)\) av telleren \(1 - \ln x\):

• For \(x < e\): \(\ln x < 1\), så \(f'(x) > 0\) (voksende)
• For \(x > e\): \(\ln x > 1\), så \(f'(x) < 0\) (avtagende)

\(f\) skifter fra voksende til avtagende, altså har vi et toppunkt:

Det er ingen bunnpunkter.

c

Vi deriverer:

\(g'(x) = 0\) gir \(1 - \ln x = 0\), altså \(x = e\) (samme som for \(f\)).

Fortegnsanalyse: Siden \(-6e < 0\), snur \(g'\) fortegnet sammenlignet med \(f'\):

• For \(x < e\): \(g'(x) < 0\) (avtagende)
• For \(x > e\): \(g'(x) > 0\) (voksende)

\(g\) skifter fra avtagende til voksende, altså har vi et bunnpunkt:

Vekten til poteter

Vi lar \(X\) være vekten til en tilfeldig potet fra kjøkkenhagen til Jostein. Vi antar at \(X\) er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi 200 gram og standardavvik 40 gram.

Jostein skal ta opp poteter. Han plukker en tilfeldig potet fra kjøkkenhagen.

Normalfordelingskurven til \(X\) er grafen til funksjonen \(f\) gitt ved

Jostein tar opp 500 tilfeldige poteter fra kjøkkenhagen.

Fasit

a) 0,383
b) 0,106. Dette er sannsynligheten for å trekke opp en potet som veier mindre enn 150 gram.
c) –
d) 3,1. Vi runder av til 3 poteter.

Løsningsforslag

a

\(X\) er normalfordelt med \(\mu = 200\) og \(\sigma = 40\).

b

Dette er sannsynligheten for at en tilfeldig potet fra kjøkkenhagen veier mindre enn 150 gram.

c

Normalfordelingskurven er symmetrisk om \(\mu = 200\) og klokkeformet.

• Arealet mellom \(x = 180\) og \(x = 220\) (oppgave a) representerer \(P(180 < X < 220) \approx 0{,}383\)
• Arealet til venstre for \(x = 150\) (oppgave b) representerer \(P(X \leq 150) \approx 0{,}106\)

d

Forventet antall poteter som veier minst 300 gram:

Timelønner for idrettstrener

Solveig jobber som trener for en idrettsklubb. Timelønnen avhenger av om hun jobber på dagtid, på kveldstid eller i helgene.

Tabellen gir en oversikt over hvor mye Solveig tjente de tre første månedene i 2021.

Fasit

Timelønn dagtid: \(180 \mathrm{~kr}\)

Løsningsforslag

La \(d\), \(k\) og \(h\) være timelønnen for henholdsvis dag, kveld og helg.

Fra tabellen setter vi opp likningssystemet:

Vi løser i CAS:

(Kveldstimelønn \(k = 250 \mathrm{~kr}\), helgetimelønn \(h = 320 \mathrm{~kr}\).)

Camillas aksjefond

Camilla er 11 år. Da hun ble født, bestemte foreldrene seg for å gi henne 6000 kroner hver gang hun hadde bursdag. Pengene ble plassert i et aksjefond. Første beløp ble satt inn den dagen hun fylte 1 år. Dette fortsatte de med hvert år til og med det året hun ble 10 år. Aksjefondet ga en årlig gjennomsnittlig avkastning på 6 prosent.

På elleveårsdagen økte de beløpet de satte inn i fondet til 12 000 kroner. Deretter vil de øke det årlige beløpet med 5 prosent hvert år, helt til og med den dagen Camilla fyller 20 år. Det vil si at de på tolvårsdagen vil sette inn 12 600 kroner, på trettenårsdagen vil de sette inn 13 230 kroner, og så videre.

Vi antar at avkastningen på aksjefondet fortsatt vil være 6 prosent per år.

Fasit

a) \(\approx 83\,830 \mathrm{~kr}\)
b) \(\approx 335\,972 \mathrm{~kr}\)

Løsningsforslag

a

Innskudd nummer \(i\) (satt inn på \(i\)-årsdagen) har vokst med rente i \((11 - i)\) år når vi måler «dagen før 11-årsdagen». Men verdien «dagen før 11-årsdagen» betyr at hvert innskudd har fått rente i hele år fra innskuddstidspunktet:

• Innskudd 1 (1-årsdag) vokser i 10 år: \(6000 \cdot 1{,}06^{10}\)
• Innskudd 2 (2-årsdag) vokser i 9 år: \(6000 \cdot 1{,}06^9\)
• \(\vdots\)
• Innskudd 10 (10-årsdag) vokser i 1 år: \(6000 \cdot 1{,}06^1\)

Totalverdien er en geometrisk rekke:

Vi beregner i CAS (se linje 1 i utklippet):

b

Verdien fra a) vokser i 9 nye år (fra 11- til 20-årsdag):

I tillegg kommer nye innskudd fra 11-årsdagen til 20-årsdagen. Innskudd på \(j\)-årsdagen er \(12\,000 \cdot 1{,}05^{j-11}\) og vokser med 6 % i \((20-j)\) år:

Fra CAS (linje 4): \(S_{\text{ny}} \approx 194\,344 \mathrm{~kr}\)

Totalverdi:

Selvbetjeningskasse og hypotesetest

I en selvbetjeningskasse i en matbutikk blir i gjennomsnitt hver tiende kunde trukket tilfeldig ut til kontroll. Dette kan vi betrakte som et binomisk forsøk med \(p = 0{,}1\).

La \(X\) være antall kunder som blir trukket ut til kontroll av de 200 første kundene som bruker selvbetjeningskassen en tilfeldig dag.

Ledelsen i butikkjeden har mistanke om at færre enn 10 prosent av kundene blir kontrollert.

Ledelsen bestemmer seg for å undersøke hvor mange kunder som ble kontrollert en tilfeldig valgt dag. Det viser seg at 579 kunder brukte selvbetjeningskassen den dagen. Av disse ble 47 trukket ut til kontroll.

Fasit

a) \(0{,}9^5 \approx 0{,}590\)
b) \(\text{E}(X) = 20\), \(\text{Var}(X) = 18\)
c) \(P(X \geq 25) \approx 0{,}145\)
d) Se løsningsforslag
e) Mistanken er ikke berettiget (\(p\)-verdi \(\approx 0{,}066 > 0{,}05\))

Løsningsforslag

a

Sannsynligheten for at én kunde ikke blir kontrollert er \(1 - 0{,}1 = 0{,}9\).

For fem kunder etter hverandre:

b

\(X\) er binomisk fordelt med \(n = 200\) og \(p = 0{,}1\).

c

Siden \(n\) er stor, kan vi tilnærme \(X\) med normalfordeling:

(Vi bruker kontinuitetskorreksjon: \(P(X \geq 25) = P(X > 24{,}5)\).)

d

Ledelsen mistenker at andelen kontrollerte er lavere enn 10 %. Vi setter opp:

Vi gjennomfører en venstresidig test med signifikansnivå \(\alpha = 0{,}05\).

e

Vi har \(n = 579\) og \(\hat{p} = \dfrac{47}{579} \approx 0{,}0812\).

Under \(H_0\) er \(X\) binomisk fordelt med \(n = 579\) og \(p = 0{,}1\). Vi tilnærmer med normalfordeling:

Testobservator:

\(p\)-verdi: \(P(Z \leq -1{,}51) = \Phi(-1{,}51) \approx 0{,}066\)

Siden \(p\)-verdien \(0{,}066 > 0{,}05 = \alpha\), forkaster vi ikke \(H_0\).

\(\underline{\underline{\text{Konklusjon: Det er ikke grunnlag for å si at mistanken er berettiget.}}}\)

Virussmitte og logistisk modell

Et virus sprer seg i et land. Da virusutbruddet ble oppdaget, var allerede 1,5 prosent av befolkningen smittet. En forsker mente at dersom det ikke ble satt inn tiltak, ville 22 prosent av befolkningen ha blitt smittet etter 20 døgn og 44 prosent etter 30 døgn.

Andelen som har blitt smittet \(t\) døgn etter at viruset ble oppdaget, kan modelleres med en funksjon \(g\) på formen

Det ble satt inn tiltak mot viruset den dagen utbruddet ble oppdaget. Vi kan gå ut fra at andelen nye registrerte smittede i løpet av døgn \(t\) etter at utbruddet ble oppdaget, er gitt ved modellen

Fasit

a) \(N = 0{,}60\), \(a = 39\), \(k \approx 0{,}156\)
b) 60 % av befolkningen
c) Se graf
d) Døgn 18
e) Omtrent 20 % av befolkningen

Løsningsforslag

a

Vi bruker de tre opplysningene til å sette opp likninger.

\(g(0) = 0{,}015\):

\(g(20) = 0{,}22\):

\(g(30) = 0{,}44\):

Fra (II) og (III):

La \(u = e^{-10k}\). Da:

Fra (I) og (II): \(0{,}015(1+a) = 0{,}22(1 + au^2)\)

Vi løser dette likningssystemet numerisk og får

b

Når \(t \to \infty\), har vi \(e^{-kt} \to 0\), slik at

\(\underline{\underline{\text{Ifølge modellen ville 60 \% av befolkningen blitt smittet.}}}\)

c

Vi tegner grafen til \(f\) i GeoGebra:

d

\(f(t) = 0{,}0070 \cdot e^{-\frac{(t-18)^2}{300}}\) er en Gauss-kurve med toppunkt i \(t = 18\).

Eksponenten \(-\dfrac{(t-18)^2}{300}\) er størst (dvs. lik 0) når \(t = 18\).

\(\underline{\underline{\text{Smitten øker raskest døgn 18.}}}\)

e

Den totale andelen av befolkningen som blir smittet er

Vi beregner integralet numerisk:

from scipy.integrate import quad
import numpy as np

f = lambda t: 0.007 * np.exp(-(t-18)**2 / 300)
result, _ = quad(f, 0, np.inf)
print(result)  # 0.1997

\(\underline{\underline{\text{Omtrent 20 \% av befolkningen blir smittet.}}}\)