Ubestemt integral h24

Fasit

\(\frac{1}{3}x^{3}\left( \ln x-\frac{1}{3} \right)+C\)

Løsningsforslag

Siden vi skal regne ut integralet til produktet av to ulike funksjoner vil jeg forsøke delvis integrasjon. Jeg benytter DI-metoden, og velger at \(x^{2}\) er den faktoren som skal integreres, og \(\ln x\) er faktoren som skal deriveres.

Vi ser at produktet i rad 2 er \(\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3}x^{3}\), som vi kan integrere.

Vi kan altså sette opp

Integral med ukjent grense

Fasit

b) \(x=0 \vee x=1\)

Løsningsforslag

Vi setter opp likningen og løser

Denne likningen har tre løsninger: \(x=0 \vee x=-1 \vee x=1\). Vi forkaster løsningen \(x=-1\) siden vi har fått oppgitt at \(x>-1\) i oppgaveteksten.

Aritmetiske og geometriske rekker h24

Fasit

a) 20 100
b) \(\frac{1}{3}\)

Løsningsforslag

a

Summen av en aritmetisk rekke er gitt ved

Vi ser at differansen \(d=4\). For å finne ut hvor mange ledd det er i rekka vår kan vi løse

Summen av de 100 første leddene blir altså

b

Vi vet at summen av en uendelig geometrisk rekke som konvergerer er

Vi setter inn verdiene i uttrykket for \(k\)

c

Vi kan omskrive tallet som summen av en uendelig rekke med ledd på denne måten \(0{,}75757575\ldots=0{,}75+0{,}0075+0{,}000075+\cdots\)

Hvert av disse leddene kan vi skrive om som brøker

Vi ser et mønster hvor hvert ledd er \(\frac{1}{100}\) av det forrige, altså har vi

Vi har altså vist at \(0{,}75757575\dots\) kan skrives som en uendelig geometrisk rekke, og med sumnotasjon blir rekka

Denne uendelig geometrisk rekka har \(a_{1}=\frac{3}{4}\) og \(k=\frac{1}{100}\). Summen av rekka er gitt ved

Siden vi nå vet at \(0{,}75757575+\dots=\frac{25}{33}\) så kan vi vise følgende

Vi har altså vist at \(1{,}75757575\ldots=\underline{\underline{\frac{58}{33}}}\).

Varians i diskret sannsynlighetsfordeling

Tabellen viser sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel \(X\).

\(E(X)=2\).

Vis at \(b=6\), og bestem \(\text{Var}(X)\).

Fasit

\(\mathrm{Var}(X)=5{,}2\)

Løsningsforslag

Vi vet at forventningsverdien er summen av produktene av \(x \cdot P(X=x)\), se rad 2 i tabell 1. Det betyr at

Vi har vist at \(\underline{\underline{b=6}}\).

Variansen til \(X\) er gitt ved

Variansen \(\underline{\underline{\mathrm{Var}(X)=5{,}2}}\).

Figurer som viser normalfordeling

En gartner sår 1000 frø. Frøene har en spireevne på 70 %.

En stokastisk variabel er normalfordelt med \(E(X)=50\) og \(\sigma=10\).

Fasit

a) Figur 2
b) Figur 3

Løsningsforslag

a

Vi kan bruke en binomisk sannsynlighetsmodell siden vi kan regne dette som 1000 uavhengige forsøk hvor frøene enten spirer eller ikke spirer. På grunn av sentralgrensesetningen kan vi også bruke normalfordeling som en tilnærming til den binomiske fordelingen.

I dette tilfellet er normalfordelingen en svært god tilnærming til den binomiske fordelingen siden variansen er mye større enn 5.

Vi bestemmer forventningsverdien og standardavviket

Vi vet at omtrent 68 % av utfallene kommer til å havne innenfor ett standardavvik fra forventningsverdien, altså at \(P(\mu-\sigma< X<\mu+\sigma)\approx 0{,}68\).

Vi ser at figur 1 må ha et standardavvik på mer enn 100, derfor må figur 2 være riktig figur.

b

Vi kan bruke samme tankegang som i forrige oppgave. Vi ser at figur 4 har mye mer enn 68 % av sitt skraverte areal innenfor intervallet \(\left[ \mu-\sigma , \mu+\sigma \right]=\left[ 40 , 60 \right]\).

Figur 3 viser sannsynlighetstettheten.

Grensekostnad og enhetskostnad del 1

En bedrift produserer og selger en vare. Kostnaden \(K(x)\) i kroner er gitt ved

Her er \(x\) antall enheter produsert og solgt per uke.

Bedriften regner med å selge varen for 400 kr per enhet.

Fasit

a) 100 enheter
b) 650 enheter

Løsningsforslag

a

Vi kan finne grensekostnaden ved å derivere kostnadsfunksjonen

Enhetskostnaden er gitt ved

Vi setter disse lik hverandre

Vi ser bort fra den negative løsningen av likningen siden vi snakker om produksjon av \(x\) enheter.

Grensekostnaden er lik enhetskostnaden ved produksjon av 100 enheter. Dette er også den produksjonsmengden som gir de laveste enhetskostnadene.

b

Inntektene fra salget er gitt ved

Vi har største overskudd når grensekostnaden er lik grenseinntekten

Bedriften må produsere og selge 650 enheter for at overskuddet skal bli størst mulig.

Marcos logistiske løpetrening

Marco skal løpe maraton og starter løpetrening. I tabellen nedenfor ser du hvor mange kilometer han løp noen av ukene etter at han startet treningen.

Marco merket etter noen uker at løpeskoene begynte å bli slitt, og at han trengte nye sko. Han bestemte seg for ả kjøpe nye sko etter å ha løpt totalt 500 km.

Fasit

b) Ved \(t=10{,}4\), det vil si i den 11. uka. Økningen var da 9,4 km per uke.
c) Litt under 12 uker, med 43–45 km per uke i gjennomsnitt avhengig av hvordan man gjør tilnærmingen.

Løsningsforslag

a

Jeg la inn dataene i GeoGebra og gjorde en regresjonsanalyse med logistisk modell. Som vi ser fra funksjonen som GeoGebra foreslår, så passer funksjonen \(L(t)\) godt til denne situasjonen.

En logistisk modell vil passe godt for denne typen situasjon, siden veksten vil avta før funksjonen nærmer seg en øvre grense. Den øvre grensen er i dette tilfellet 156,3 km. Det høres ut som en rimelig øvre grense for maratontrening (Jakob Ingebrigtsen, som er verdensmester på 1500 m, trener opp mot 180 km i uka på det meste).

b

Vi vet at funksjonen vokser raskest i vendepunktet, så vi finner dette med GeoGebra i linje 2. \(t=10{,}43\) tilsvarer at vi er omtrent midtveis i den ellevte uka. Økningen i vendepunktet er det samme som den deriverte til funksjonen i vendepunktet, se linje 3 i GeoGebra.

Antall løpte kilometer øker raskest i den ellevte uka, og økningen er da på omtrent 9,4 km per uke.

c

Vi kan løse denne oppgaven på flere måter, men oppgaveteksten legger på mange måter opp til at vi skal bruke funksjonsuttrykket fra a), og finne ut hvor mange uker det går før arealet under grafen blir 500 km.

Å anta at \(L(t)\) har tilnærmet kontinuerlig endring kan være en god tilnærming siden Marco sannsynligvis løper flere ganger i uka,

Vi kan finne en god tilnærming til svaret ved å løse likningen

og deretter finne gjennomsnittet ved å dividere 500 km med antall uker \(b\).

Vi kan finne en enda bedre tilnærming til svaret dersom vi forskyver grensene for integrasjonen med 0,5 mot høyre

Vi løser likningen i linje 4 i GeoGebra, og finner at det tar omtrent 11,19 uker før Marco har løpt 500 km og kjøper nye sko. I gjennomsnitt har han da løpt 44,7 km i uka, se linje 5.

Hypergeometrisk hypotesetest

En bedrift skal ansette en ny person i en stilling og har fått 100 godt kvalifiserte søkere. 60 av søkerne er kvinner, og 40 av søkerne er menn. Ledelsen i bedriften rekker ikke å intervjue alle, derfor blir 8 kvinner og 12 menn tilfeldig invitert til intervju av ledelsen.

Fagforeningen lurer på om dette faktisk er tilfeldig, eller om ledelsen bevisst velger menn. De ber deg gjennomføre en hypotesetest med signifikansnivå 5 %.

Fasit

b) Ja, vi kan forkaste \(H_{0}\) siden \(p=0{,}038\).

Løsningsforslag

a

Vi har en situasjon hvor vi har to ulike grupper og vi tenker oss at vi skal trekke 20 kandidater tilfeldig blant disse. Vi kan selvsagt ikke trekke den samme kandidaten til intervju 2 ganger, så dette blir en trekning uten tilbakelegging. Derfor passer en hypergeometrisk sannsynnlighetsfordeling godt i dette tilfellet.

Hvis trekningen hadde vært tilfeldig burde sannsynligheten for å trekke en mann på første trekning være \(p_{m}=\frac{40}{100}=0{,}4\). Altså kan vi sette opp følgende hypoteser

b

I GeoGebra har vi satt opp en hypergeometrisk fordeling med 100 kandidater hvorav 40 er menn. Vi velger 20 tilfeldige kandidater. Sannsynligheten for at minst 12 av disse er menn er \(P(X\geq12) = 0{,}038\).

\(\boldsymbol{p}\)-verdien på 0,038 er mindre enn signifikansnivået på 5 %, derfor forkaster vi nullhypotesen.

En hypotesetest med signifikansnivå 5 % gir grunnlag for å si at bedriften bevisst velger menn foran kvinner.

Påstand om sum av rekke

En uendelig geometriske rekke er gitt ved \(1+\left( \ln x -1 \right) + \left( \ln x -1 \right)^{2}\dots\)

Påstand: Dersom \(x=\frac{1}{e}\) vil summen av rekka være \(\frac{1}{3}\).

Fasit

Påstanden er usann. \(k=-2\) og rekka konvergerer ikke.

Løsningsforslag

Jeg vet at summen av en uendelig geometrisk rekke er gitt ved

dersom \(-1< k<1\).

Hvis vi vi lar \(x=\frac{1}{e}\) så vil rekka bli

La oss se hva \(\ln \frac{1}{e}-1\) blir

Det første leddet i rekka er \(a_{1}=1\) og det andre leddet er \(a_{2}=-2\), det vil si at

\(k\) ligger ikke i intervallet \(\langle-1,1\rangle\), og dermed konvergerer ikke rekka.

Påstanden er usann, rekka konvergerer ikke når \(\boldsymbol{x=\frac{1}{e}}\).

Påstand om områder avgrenset av grafer

To funksjoner er gitt ved \(f(x)=x^{3}-x^{2}-ax\), der \(a \in \mathbb{R}\), og \(g(x)=-x^{2}+x\)

Påstand: Grafene til \(f\) og \(g\) avgrenser to områder som er like store når \(a>-1\).

Fasit

Påstanden er sann

Løsningsforslag

\(f\) og \(g\) kommer til å avgrense maksimalt 2 områder siden \(f\) er en tredjegradsfunksjon og \(g\) er en andregradsfunksjon. For å finne disse to områdene må vi først finne skjæringspunktene mellom grafene.

Jeg fant skjæringspunktene i GeoGebra. (Vi ser her at kravet om at \(a>-1\) gjør at vi får reelle løsninger).

La oss undersøke arealet av områdene som er avgrenset. Jeg gjør dette i GeoGebra ved å integrere fra skjæringspunkt til skjæringspunkt ved hjelp av IntegralMellom.

Påstanden stemmer. Vi ser at arealene mellom grafene er like store.

Rekursiv formel og programmering

Fasit

a) \(a_{n+1}=a_{n}+n^{2}\)
b) 67 455

Løsningsforslag

a

Jeg setter opp tallene i følgen og sjekker differansene mellom hvert ledd (det er alltid et godt tips for å finne mønstre!). Jeg fant ut at differansene mellom tallene var 1, 4, 9, 16, 25, og disse tallene kjenner jeg igjen som kvadrattallene.

Jeg sjekker om jeg finner en god sammenheng for et av leddene

Jeg ser at jeg kan generalisere denne sammenhengen som

b

Jeg brukte en for-løkke til å regne meg fram til delsummen til ledd nummer 30 og skrev ut svarene i konsollen.

Summen av de 30 første leddene er 67 455.

a = 1
sum = 0
for n in range(1, 31):
   a = a + (n - 1) ** 2  # regner ut nytt ledd
   sum = sum + a         # finner delsummen
   print(f"Ledd {n}: {a}. Delsum {n}: {sum}")

a = 1
sum = 1
for n in range(1, 30):
	a = a + n ** 2
	sum = sum + a
	print(f"Ledd {n + 1}: {a}. Delsum {n + 1}: {sum}")

a = 1
sum = 1
for n in range(2, 31):
   a = (n - 1) ** 2 + a  
   sum = sum + a         
   print(f"Ledd {n}: {a}. Delsum {n}: {sum}")


a = 1
sum = 1
for n in range(1, 31):
	print(f"Ledd {n}: {a}. Delsum {n}: {sum}")
	a = a + n ** 2
	sum = sum + a

Oles studielån

Ole vil studere i Tyskland og skal fullføre en mastergrad i løpet av 5 år. Han undersøker hva han kan få i stipend og lån fra Lånekassen for å dekke opphold og skolepenger.

Etter 5 år vil det samlede lånebeløpet være 799 273 kr. Rentesatsen er 5,242 % per år.

Rentene i Lånekassen begynner først å løpe rett etter fullført studium. Første avdrag betales ett år etter at du har fullført studiet. Nedbetalingstid er maks 30 år med én termin per år.

Det er forventet at rentesatsen blir lavere fremover. Ole regner litt på det og tenker at med den forventede rentesatsen kan han klare å betale ned lånet på 25 år, med det samme terminbeløpet som i oppgave a).

Ole tenker at han etter hvert kan klare å betale et større terminbeløp. Han ser for seg at han betaler samme terminbeløp som i oppgave a) de 12 første årene. Deretter øker han terminbeløpet med 5 % per termin resten av nedbetalingstiden. Han antar at rentesatsen vil være 5,242 % per år gjennom hele perioden.

Fasit

b) 4,416 %
c) 24 år

Løsningsforslag

a

Summen av nåverdiene til terminbeløpene skal være lik lånebeløpet ved annuitetslån. Terminbeløpet er ukjent, og dette ble funnet i linje 1 i GeoGebra. Lånebeløpet er 53 437 kr.

b

Summen av nåverdiene til terminbeløpene skal være lik lånebeløpet ved annuitetslån. Vekstfaktoren er ukjent, og denne ble funnet i linje 2 i GeoGebra. Rentesatsen må være 4,416 %.

c

Summen av nåverdiene til terminbeløpene skal være lik lånebeløpet ved annuitetslån. De 12 første årene bruker vi vanlig formel, de \(b\) neste årene så vil terminbeløpet øke med 5 % per år. Antall ledd i rekka er ukjent, og dette ble bestemt i linje 3 i GeoGebra. Det tar 24 år før lånet er nedbetalt.

2-5 med Excel

Vi kan løse hele denne oppgaven med Excel og målsøking. Se utklippet av regnearket

For å løse a) kan vi sette at alle terminbeløpene skal være lik det første terminbeløpet, og for å beregne nåverdien av terminbeløpet i celle D10 har jeg brukt formelen =(C10/(1+$D$5)^B10). Vi kan da bruke målsøking på terminbeløpet og sjekke hva det må være for at summen skal bli lik lånebeløpet. (Obs, jeg har rundet av svaret etter målsøking.)

For å løse b) kan vi gå ned til 25 terminer og bruke målsøking på renta hvis summen skal bli lik lånebløpet. (Obs, jeg har rundet av svaret etter målsøking.)

I oppgave c) så har jeg satt at terminbeløpet skal fra år 13 skal være 1,05 ganger det forrige terminbeløpet. Ved å markere cellene i kolonne L så kunne jeg lett finne ut at etter 24 år ble summen mer enn lånebeløpet. Jeg fjernet terminbeløpene etter år 24.

Etterspørsel av vare

En bedrift produserer og selger en vare. Kostnaden \(K(x)\) i kroner er gitt ved

der \(x\) er antall enheter.

Etterspørselen etter varen er gitt ved

der \(p\) er prisen per vare i kroner

Fasit

a) 220 enheter.
b) \(-100x \ln \left( \frac{x}{300} \right)\)

Løsningsforslag

a

Etterspørselen etter varen er 222,2 enheter når prisen er 30 kr per vare. Det betyr at vi kan forvente å selge 222 enheter dersom vi prisen varen til 30 kr.

b

Vi lar etterspørselen \(E(p)\) være lik \(x\) (antall solgte varer), og løser med hensyn på \(p\), se linje 3 i GeoGebra.

Inntektene er gitt ved antall solgte varer \(\times\) prisen per vare.