Størst prosentvis prisøkning

Prisen for en vare A øker fra 120 kroner til 180 kroner. Prisen for en vare B øker fra 16 kroner til 26 kroner.

Fasit

Vare B øker prosentvis mest med \(62{,}5 \, \%\) (vare A: \(50 \, \%\))

Løsningsforslag

Vi regner ut den prosentvise prisøkningen for begge varene:

Vare A:

Vare B:

Vare B har størst prosentvis prisøkning med \(\underline{\underline{62{,}5 \, \%}}\), selv om den nominelle økningen (10 kr) er lavere enn for vare A (60 kr).

Maur i standardform og vekt

Forskere har kommet fram til at det er omtrent 20 billiarder maur på jorden.

En billiard er tusen millioner millioner.

I en normalt stor maurtue er det mellom 200 000 og 300 000 maur. Anta at en maur veier mellom 7 mg og 9 mg.

Fasit

a) \(2 \cdot 10^{16}\)
b) Mellom \(1{,}4 \, \mathrm{kg}\) og \(2{,}7 \, \mathrm{kg}\)

Løsningsforslag

a

En billiard er tusen millioner millioner:

Dermed er 20 billiarder:

b

Antallet maur i en normalt stor maurtue er mellom 200 000 og 300 000. En maur veier mellom 7 mg og 9 mg.

Laveste vekt (200 000 maur à 7 mg):

Høyeste vekt (300 000 maur à 9 mg):

Alle maurene i en normalt stor maurtue veier til sammen omtrent \(\underline{\underline{1{,}4 \, \mathrm{kg} \text{ til } 2{,}7 \, \mathrm{kg}}}\).

Proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser

Nedenfor er det beskrevet tre situasjoner: A, B, C. Avgjør om hver enkelt situasjon beskriver:

• proporsjonale størrelser
• omvendt proporsjonale størrelser
• verken proporsjonale størrelser eller omvendt proporsjonale størrelser

Husk å argumentere for alle tre svarene dine.

Fasit

A) Omvendt proporsjonale størrelser
B) Verken proporsjonale eller omvendt proporsjonale størrelser
C) Proporsjonale størrelser

Løsningsforslag

Situasjon A – Leie av badstue for 2200 kr:

Prisen per person \(p\) og antall personer \(n\) henger sammen ved \(p = \frac{2200}{n}\). Når antallet dobles, halveres prisen per person. Dette er definisjonen på omvendt proporsjonalitet.

Antallet personer og prisen per person er \(\underline{\underline{\text{omvendt proporsjonale størrelser}}}\).

Situasjon B – Ta tre, betal for to:

Tilbudet «ta tre, betal for to» betyr at hver gang du tar nøyaktig tre flasker (eller multipler av tre), får du den tredje gratis. Hvis du tar én eller to flasker, betaler du fullpris per flaske.

La \(p\) være prisen på én flaske, og se på samlet pris \(P\) for ulike antall flasker \(n\):

Pris per flaske \(\frac{P}{n}\) er ikke konstant — den varierer med \(n\). Dermed er \(P\) ikke proporsjonal med \(n\) (det er ikke ett tall \(k\) slik at \(P = k\cdot n\) for alle \(n\)). Sammenhengen er heller ikke omvendt proporsjonal, fordi \(P\) vokser når \(n\) vokser.

Antallet flasker og prisen du betaler er \(\underline{\underline{\text{verken proporsjonale eller omvendt proporsjonale}}}\).

Situasjon C – Vaffelrøre:

Dobler du antall porsjoner, dobler du mengden mel. Forholdet mellom mengde mel og antall porsjoner er konstant.

Antallet porsjoner og mengden mel er \(\underline{\underline{\text{proporsjonale størrelser}}}\).

Lisas salg og to programmer

Lisa driver en butikk. Butikken skal begynne å selge et nytt produkt 1. januar 2025. Lisa håper å selge 1000 enheter av produktet i januar. Hun håper også at salget av produktet vil øke hver måned.

Lisa har laget de to programmene nedenfor.

12345678910e = 1000
t = 0
m = 1

while m <= 12:
    t = t + e
    e = e * 1.04
    m = m + 1

print(t)

12345678910e = 1000
t = 0
m = 1

while m <= 12:
    t = t + e
    e = e + 40
    m = m + 1

print(t)

Fasit

a) P1 linje 7: salget øker med 4 % hver måned. P2 linje 7: salget øker med 40 enheter hver måned.
b) Totalt antall solgte enheter i løpet av de 12 månedene. Program 1: 15 026, Program 2: 14 640.

Løsningsforslag

a

Program 1, linje 7: e = e * 1.04

Dette betyr at salget for neste måned er 4 % høyere enn salget denne måneden. Lisa antar at salget vokser eksponentielt – med samme prosentsats hver måned.

Program 2, linje 7: e = e + 40

Dette betyr at salget for neste måned er 40 enheter høyere enn salget denne måneden. Lisa antar at salget vokser lineært – med samme antall enheter hver måned.

b

Variabelen t akkumulerer salget for alle 12 månedene. Verdiene som skrives ut, forteller Lisa det totale antallet solgte enheter i løpet av året (januar–desember):

• Program 1 (eksponentiell vekst): \(\underline{\underline{15\,026 \text{ enheter}}}\)
• Program 2 (lineær vekst): \(\underline{\underline{14\,640 \text{ enheter}}}\)

Celsius og fahrenheit, lineær sammenheng

Grader celsius (\(\degree\mathrm{C}\)) og grader fahrenheit (\(\degree\mathrm{F}\)) er to ulike måleenheter for temperatur. Det er en lineær sammenheng mellom de to måleenhetene. Punktene i koordinatsystemet ovenfor viser temperaturer målt i grader celsius og i grader fahrenheit.

Fasit

a) \(F = \frac{9}{5} \cdot C + 32\)
b) \(20 \, \degree\mathrm{C}\)

Løsningsforslag

a

Vi leser av to punkter fra koordinatsystemet: \((0,\ 32)\) og \((100,\ 212)\).

Stigningstallet:

Siden punktet \((0,\ 32)\) ligger på \(y\)-aksen, er konstantleddet \(b = 32\).

Formelen er:

Vi kan sjekke med punktet \((-40,\ -40)\): \(\frac{9}{5} \cdot (-40) + 32 = -72 + 32 = -40\) ✓

b

Vi setter \(F = 68\) og løser for \(C\):

Avisabonnenter og eksponentialfunksjon

Funksjonen \(P\) gitt ved

er en modell som viser hvor mange personer som abonnerte på papirutgaven av en avis \(x\) år etter 2010.

I 2019 abonnerte 1000 personer på den digitale utgaven av avisen. Antallet personer som abonnerte på den digitale utgaven, økte med 5,5 % hvert år fra 2019 til 2024.

Fasit

a) \(P(0) = 4\,200\) abonnenter i 2010
b) Stigningstall \(\approx -150{,}9\) – gjennomsnittlig nedgang på ca. 151 papirabonnenter per år mellom 2014 og 2024
c) 2022

Løsningsforslag

a

Metode 1 – sett inn \(x = 0\):

Metode 2 – bruk at \(0{,}85^x \to 0\) når \(x \to \infty\):

Modellen har 600 som nedre grense (bunnlinje). I 2010 var det 3600 abonnenter over bunnlinjen, altså \(3600 + 600 = 4\,200\) totalt.

b

Vi beregner funksjonsverdiene i de to punktene:

Stigningstallet til sekantlinjen:

Praktisk tolkning: Antallet papirabonnenter gikk i gjennomsnitt ned med ca. 151 personer per år i perioden fra 2014 til 2024.

c

Vi definerer funksjonen for digitale abonnenter, der \(x\) er år etter 2010 (digitalt startet i 2019, altså ved \(x = 9\)):

Vi plotter \(P(x)\) og \(D(x)\) i GeoGebra og finner skjæringspunktet:

Fra grafen (se Skjaering) skjærer kurvene hverandre ved \(x \approx 11{,}6\), det vil si i løpet av 2021. Vi sjekker ved helårsregnskap:

For første gang i \(\underline{\underline{2022}}\) var det flere digitale enn papirabonnenter.

Medisindosering til pasient

En lege rører ut et pulver i vann for å lage medisin til en pasient.

Han bruker 6 mg av pulveret per milliliter vann.

Pasienten veier 75 kg og skal ha 15 mg pulver per kilogram kroppsvekt hvert døgn, fordelt på tre like store doser.

Fasit

\(62{,}5 \, \mathrm{ml}\) per dose

Løsningsforslag

Pasienten skal ha 15 mg pulver per kg kroppsvekt per døgn:

Fordelt på tre like store doser:

Medisinen inneholder 6 mg pulver per ml. Antall milliliter per dose:

Prosentvis endring i tre omganger

Prisen for en vare ble satt opp med 10 % i juni og med 20 % i august. I oktober ble prisen satt ned med 30 %.

Fasit

Varen koster nå mindre – den er blitt \(7{,}6 \, \%\) billigere.

Løsningsforslag

Vi finner den samlede vekstfaktoren ved å multiplisere vekstfaktorene for hver endring:

Siden vekstfaktoren er \(0{,}924 < 1\), koster varen nå \(\underline{\underline{\text{mindre}}}\) enn før den første prisøkningen.

Den samlede endringen er:

Varen er blitt \(7{,}6 \, \%\) billigere totalt sett, selv om den ble satt opp to ganger.

Kjøretid og tidsforskjell

Når en strekning på \(s\) kilometer kjøres to ganger, er tidsforskjellen \(t\) minutter gitt ved

der \(v_1\) kilometer per time er gjennomsnittsfarten den første gangen strekningen kjøres, og \(v_2\) kilometer per time er gjennomsnittsfarten andre gangen.

Camilla kjører 18 km hver morgen for å komme til skolen.

En mandag kjørte hun med en gjennomsnittsfart på 58 km/t. Fredag i samme uke kjørte hun med en gjennomsnittsfart på 65 km/t.

Camilla vil sammenlikne to andre dager hun kjørte til skolen. Den ene dagen var gjennomsnittsfarten dobbelt så høy som den andre dagen. Tidsforskjellen mellom kjøreturene var 20 minutter.

Fasit

a) Ca. \(2\) minutter lengre på mandagen
b) 40 minutter (langsom dag) og 20 minutter (rask dag)

Løsningsforslag

a

Vi setter inn \(s = 18\), \(v_1 = 58\) og \(v_2 = 65\):

Camilla brukte ca. 2 minutter lengre på kjøreturen på mandagen.

b

La \(v_1\) være farten den langsomme dagen. Da er \(v_2 = 2v_1\). Vi setter inn \(t = 20\) og \(s = 18\):

Kjøretid den langsomme dagen:

Kjøretid den raske dagen:

Isabels Snapchat-følgere

For 8 måneder siden hadde Isabel 290 000 følgere på Snapchat. I dag har hun 340 000 følgere.

Fasit

a) \(f(x) = 290\,000 + 6\,250x\) (lineær, \(x\) = måneder siden for 8 måneder siden)
b) \(g(x) = 290\,000 \cdot 1{,}020^x\)

Løsningsforslag

La \(x\) være antall måneder etter tidspunktet for 8 måneder siden. Da er \(f(0) = 290\,000\) og \(f(8) = 340\,000\).

a

Øker med samme antall → lineær funksjon \(f(x) = ax + b\).

Startverdi: \(b = 290\,000\)

Økning per måned:

b

Øker med samme prosent → eksponentialfunksjon \(g(x) = b \cdot k^x\).

Startverdi: \(b = 290\,000\)

Vi finner vekstfaktoren \(k\) fra \(g(8) = 340\,000\):

Antallet følgere øker med ca. \(2{,}0 \, \%\) per måned.

Lønnstilbud fra tre bedrifter

Du har fått tilbud om jobb hos tre ulike bedrifter. Bedriftene har ulike måter å regne ut lønn på.

Du forventer å ha like mange reiseoppdrag hos hver av de tre bedriftene.

Fasit

a) A: 444 000 kr, B: 804 000 kr, C: 924 000 kr
b) Bedrift C best ved færre enn 18 oppdrag, bedrift B best ved 18–93 oppdrag, bedrift A best ved flere enn 93 oppdrag

Løsningsforslag

a

Med 3 reiseoppdrag:

b

Vi setter opp funksjoner for årslønn med \(n\) reiseoppdrag:

Vi plotter funksjonene i GeoGebra og leser av skjæringspunktene:

Fra grafen (se BC, AC og AB):

B og C er like gode ved \(n = 18\) oppdrag (se punkt BC = (18, 1\,044\,000)):

A og B er like gode ved \(n = 93\) oppdrag (se punkt AB = (93, 2\,244\,000)):

Konklusjon:

• Bedrift C gir best lønn ved færre enn 18 reiseoppdrag per år
• Bedrift B gir best lønn ved 18 til 93 reiseoppdrag per år
• Bedrift A gir best lønn ved flere enn 93 reiseoppdrag per år

Kommunevalg og prosentvis framgang

Oversikten nedenfor er hentet fra valgresultat.no etter kommunestyrevalget høsten 2023.

\(^{\textcolor{tomato}{*}}\) I oversikten er «pp» brukt som forkortelse for prosentpoeng.

Tore mener at Høyre har hatt størst prosentvis framgang siden siste kommunestyrevalg.

Fasit

a) Ca. \(1\,632\,536\) personer brukte ikke stemmeretten
b) Fremskrittspartiet hadde størst prosentvis framgang med ca. \(37{,}8 \, \%\)

Løsningsforslag

a

Fra oversikten: 4 341 850 stemmeberettigede, fremmøteprosent 62,4 %.

Antall som stemte:

Antall som ikke brukte stemmeretten:

b

Tore forveksler prosentpoeng (pp) med prosentvis endring. Høyre økte med 5,8 pp, men det er ikke det samme som prosentvis framgang.

Prosentvis framgang beregnes som:

Vi regner ut for partiene med positiv pp-endring:

Fremskrittspartiet har hatt størst prosentvis framgang med ca. \(\underline{\underline{37{,}8 \, \%}}\), ikke Høyre (28,9 %). Høyre har størst endring i prosentpoeng, men det er ikke det samme som størst prosentvis framgang.

Kasser av metallplater

Sofie arbeider ved en bedrift og skal lage kasser av metallplater. Metallplatene har form som rektangler og er 1200 mm lange og 800 mm brede.

For å lage kassene skal hun skjære bort et kvadrat i hvert av hjørnene og brette opp sidekantene.

Kassene skal fylles med sand.

Sofie ønsker en oversikt som viser volumet av ulike kasser hun kan lage av metallplatene.

Sofie ønsker å lage en modell som viser volumet av de ulike kassene hun kan lage av metallplatene.

Fasit

a) Volum \(= 1000 \cdot 600 \cdot 100 \, \mathrm{mm}^3 = 60\,000\,000 \, \mathrm{mm}^3 = 60 \, \mathrm{L}\)
b) Maksimalt volum ved \(x \approx 150 \, \mathrm{mm}\)
c) \(V(x) = (1200 - 2x)(800 - 2x) \cdot x\), se grafisk fremstilling
d) \(x \approx 157 \, \mathrm{mm}\), maks volum \(\approx 67{,}6 \, \mathrm{L}\)
e) Gyldighetsområde: \(0 < x < 400 \, \mathrm{mm}\)

Løsningsforslag

a

Med sidelengde \(x = 100 \, \mathrm{mm}\) på hvert utskåret kvadrat:

• Lengde: \(1200 - 2 \cdot 100 = 1000 \, \mathrm{mm}\)
• Bredde: \(800 - 2 \cdot 100 = 600 \, \mathrm{mm}\)
• Høyde: \(100 \, \mathrm{mm}\)

Vi omregner til liter (\(1 \, \mathrm{L} = 1\,000\,000 \, \mathrm{mm}^3\)):

b

La \(x\) være sidelengden (i mm) til de utskårede kvadratene. Vi lager en oversikt:

Ut fra tabellen ser vi at volumet er størst når \(x\) er omtrent \(150 \, \mathrm{mm}\).

c

Når Sofie skjærer bort kvadrater med sidelengde \(x\) mm, får kassen:

• Lengde: \((1200 - 2x) \, \mathrm{mm}\)
• Bredde: \((800 - 2x) \, \mathrm{mm}\)
• Høyde: \(x \, \mathrm{mm}\)

Funksjonsuttrykket (volum i L):

Vi tegner grafen i GeoGebra:

d

Fra grafen (se punkt Maks) er volumet størst ved \(x \approx 157 \, \mathrm{mm}\), og maksimalt volum er ca. \(67{,}6 \, \mathrm{L}\).

Sofie bør skjære bort kvadrater med sidelengde ca. \(\underline{\underline{157 \, \mathrm{mm}}}\). Da blir volumet størst mulig med ca. \(\underline{\underline{67{,}6 \, \mathrm{L}}}\).

e

For at kassen skal gi mening må alle dimensjonene være positive:

• Høyde: \(x > 0\)
• Bredde: \(800 - 2x > 0 \Rightarrow x < 400\)

(Lengdebetingelsen \(x < 600\) er oppfylt automatisk når \(x < 400\).)

Gyldighetsområdet er \(\underline{\underline{0 < x < 400 \, \mathrm{mm}}}\).

I praksis vil det også være en nedre grense (for eksempel \(x \geq 10 \, \mathrm{mm}\)) siden det ikke er mulig å skjære bort kvadrater som er for bitte små, men matematisk sett er \(0 < x < 400 \, \mathrm{mm}\) det naturlige gyldighetsområdet.