Derivasjon av eksponential og potensfunksjon

Fasit

\(\underline{\underline{f'(x) = -2e^{-2x} + x^4}}\)

Løsningsforslag

Vi deriverer ledd for ledd.

Første ledd: \(e^{-2x}\)

Vi bruker kjerneregelen med \(u = -2x\) og \(e^u\):

Andre ledd: \(\frac{1}{5}x^5\)

Vi bruker potensregelen:

Tredje ledd: \(2\pi\)

\(2\pi\) er en konstant, og den deriverte av en konstant er 0.

Samlet:

Nullpunkter og ekstremalpunkter for g

En funksjon \(g\) er gitt ved \(g(x) = \frac{1}{2}e^x \cdot (2x-1)^2\)

Fasit

a) \(\underline{\underline{x = \frac{1}{2}}}\) (dobbelrot)
b) Se løsningsforslag.
c) Toppunkt: \(\underline{\underline{\left(-\frac{3}{2},\ 8e^{-3/2}\right)}}\), bunnpunkt: \(\underline{\underline{\left(\frac{1}{2},\ 0\right)}}\)

Løsningsforslag

a

Vi skal finne nullpunktene til \(g(x) = \frac{1}{2}e^x \cdot (2x-1)^2\).

Siden \(\frac{1}{2}e^x > 0\) for alle \(x\), må \((2x-1)^2 = 0\).

\(g\) har ett nullpunkt: \(\underline{\underline{x = \frac{1}{2}}}\) (dobbelrot).

b

Vi bruker produktregelen på \(g(x) = u(x) \cdot v(x)\) med

Produktregelen gir

Vi faktoriserer ut \(\frac{1}{2}e^x(2x-1)\):

Dette er det vi skulle vise. \(\square\)

c

Vi setter \(g'(x) = 0\). Siden \(\frac{1}{2}e^x > 0\) for alle \(x\), er det tilstrekkelig å løse

Vi bestemmer fortegnet til \(g'(x) = \frac{1}{2}e^x \cdot \textcolor{steelblue}{(2x-1)} \cdot \textcolor{seagreen}{(2x+3)}\):

\(g\) har et toppunkt i \(x = -\frac{3}{2}\) og et bunnpunkt i \(x = \frac{1}{2}\).

Vi beregner \(y\)-verdiene:

Koordinater:

• Toppunkt: \(\underline{\underline{\left(-\frac{3}{2},\ 8e^{-3/2}\right)}}\)
• Bunnpunkt: \(\underline{\underline{\left(\frac{1}{2},\ 0\right)}}\)

Eksponential- og logaritmelikninger

Løs likningene

Fasit

a) \(\underline{\underline{x = \dfrac{2}{3}}}\)
b) \(\underline{\underline{x = \dfrac{1}{10}}}\)

Løsningsforslag

a

Vi skriver 81 som en potens med grunntall 3:

Likningen blir da

Siden grunntalene er like, kan vi sette eksponentene like:

b

Vi bruker logaritmereglene for å forenkle venstresiden:

Først bruker vi potensregelen \(\lg a^n = n \lg a\):

Likningen er altså

Grenseverdier med algebraisk forenkling

Fasit

a) Grenseverdien eksisterer ikke (venstre- og høyregrense stemmer ikke overens).

Løsningsforslag

a

Vi ser at nevneren går mot null når \(x\to 3\), mens telleren går mot \(3 \cdot (9-3)=3\cdot 6 = 18\).

La oss se hva som skjer når vi nærmer oss \(3\) fra venstre side. Jeg velger \(x=2{,}5\) for å få en følelse for tallene.

Hvis vi hadde valgt en verdi nærmere \(3\) ville fått et enda mer ekstremt negativt svar.

Når vi nærmer oss 3 fra høyre side så får vi (vi velger 3,5)

Hvis vi hadde valgt et tall nærmere 3 ville vi fått et enda mer ekstremt positivt svar.

Grenseverdien eksisterer ikke siden grenseverdiene fra venstre og høyre side ikke stemmer overens.

Sannsynlighet for skytter Arne Treff

Skiskytter Arne Treff skal skyte en serie på tre skudd. Det har tidligere vist seg at Arne treffer på 80 % av skuddene sine. Vi antar at alle skuddene er uavhengige av hverandre.

Fasit

a) \(0{,}64\)
b) \(0{,}384\)
c) \(0{,}104\)

Løsningsforslag

La \(p = 0{,}8\) være sannsynligheten for treff og \(q = 1 - p = 0{,}2\) sannsynligheten for bom.

a

Skuddene er uavhengige, så vi ganger sannsynlighetene:

b

Arne treffer på nøyaktig to av tre skudd. Det betyr at han bommer på nøyaktig ett skudd. Det er \(\binom{3}{2} = 3\) måter å velge hvilke to skudd som er treff.

c

Høyst ett treff betyr \(X = 0\) eller \(X = 1\).

Kontinuitet av funksjoner med delt forskrift

Funksjonene \(f\) og \(g\) er gitt ved

og

Fasit

a) \(f\) er kontinuerlig i \(x = 0\).
b) \(g\) er ikke kontinuerlig i \(x = 0\).

Løsningsforslag

En funksjon \(h\) er kontinuerlig i \(x = a\) hvis og bare hvis

Vi undersøker dette kravet i \(x = 0\) for begge funksjoner.

a

Vi beregner venstregrenseverdi, funksjonsverdi og høyregrenseverdi for \(f\):

(siden \(x \ge 0\) gjelder for \(x = 0\))

Alle tre er like: \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 2\).

\(f\) er kontinuerlig i \(x = 0\).

b

Vi beregner venstregrenseverdi, funksjonsverdi og høyregrenseverdi for \(g\):

(spesifisert direkte i definisjonen)

Grenseverdiene fra venstre og høyre er begge \(2\), men \(g(0) = 1 \ne 2\).

Kontinuitetskravet er ikke oppfylt.

\(g\) er ikke kontinuerlig i \(x = 0\).

Hengelåskode og simulering

Peder har glemt koden på hengelåsen sin. Koden består av tre sifre. Peder husker at sifrene 7, 8, 9 og 0 ikke er med i koden. Han bestemmer seg for å prøve seg fram.

Fasit

a) \(\underline{\underline{P = \frac{1}{216} \approx 0{,}46 \,\%}}\)
b) Simuleringen gir ca. \(0{,}43 \,\%\), nært den teoretiske verdien \(0{,}46 \,\%\).

Løsningsforslag

a

Sifrene 7, 8, 9 og 0 er ikke med, så hvert siffer velges fra mengden \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) — 6 mulige sifre per posisjon. Vi antar at sifrene kan gjentas (vanligste tolkning for hengelåskoder).

Antall mulige koder:

Peder vet ikke koden, og vi antar han gjetter tilfeldig blant alle 216 mulige koder. Det er bare én riktig kode, så sannsynligheten for å treffe på første forsøk er:

Sannsynligheten er \(\underline{\underline{\frac{1}{216} \approx 0{,}46 \,\%}}\).

b

Vi simulerer situasjonen 100 000 ganger. I hver runde trekkes en tilfeldig «fasit-kode» og en tilfeldig «gjetting», begge med sifre fra \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Vi teller hvor mange ganger gjettingen treffer fasit-koden.

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(42)
n = 100_000
faktisk = rng.integers(1, 7, size=(n, 3))
gjett = rng.integers(1, 7, size=(n, 3))
treff = np.all(faktisk == gjett, axis=1)
print(f"Estimat: {np.mean(treff):.4f}")

Resultat:

Estimat: 0.0043

Simuleringen gir ca. \(0{,}43 \,\%\), som stemmer godt med den teoretiske verdien \(\frac{1}{216} \approx 0{,}46 \,\%\). Avviket skyldes tilfeldig variasjon i simuleringen.

Funksjon med delt forskrift og ukjent ledd

Amalie arbeider med en funksjon \(f\) med delt forskrift og skal vise funksjonsuttrykket til de andre i klassen. Dessverre har hun sølt på arket sitt og klarer ikke å lese alt som står der.

Hun husker at \(f\) er kontinuerlig for alle \(x \in \mathbb{R}\). Hun husker også at uttrykket i midten er et tredjegradspolynom. I tillegg husker hun at \(f'(-2) = -9\) og \(f'(1) = 0\).

Fasit

Delen som mangler er \(-\dfrac{13}{27}x^{3} + \frac{7}{9}x^{2}- \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}\)

Løsningsforslag

For at \(f\) skal være kontinuerlig så må funksjonsverdien for \(f(-2)=\lim_{ x \to -2^{+} }f(x)\) og \(f(1)=\lim_{ x \to 1^{-} }f(x)\). Vi sjekker funksjonsverdiene.

Tredjegradsfunksjonen vår bør altså gå mot \(3\) når \(x\to-2^{+}\) og \(-4\) når \(x\to 1^{-}\).

I tillegg skal \(f'(-2)=-9\) og \(f'(1)=0\). Disse opplysningen sier oss at \(f\) må være deriverbar i \(x=-2\) og \(x=1\). Jeg setter opp uttrykket for en tredjegradsfunksjon i CAS i GeoGebra i linje 1 og legger inn de fire opplysningene våre i linje 2.

Det fullstendige funksjonsuttrykket for \(f\) er

Kombinatorikk med elever i arbeidsgruppe

Ti elever skriver navnet sitt på hver sin lapp. Elevene legger de ti lappene i en hatt. Fra hatten trekkes fire lapper tilfeldig. De fire elevene som trekkes ut, skal være med i en arbeidsgruppe.

Sju av de ti elevene er jenter. Resten er gutter.

Emma og Marie er to av jentene.

Fasit

a) \(\underline{\underline{210 \text{ måter}}}\)
b) \(\underline{\underline{P(\text{minst 2 gutter}) = \dfrac{1}{3} \approx 33{,}3\,\%}}\)
c) \(\underline{\underline{P(\text{nøyaktig 1 av Emma/Marie}) = \dfrac{8}{15} \approx 53{,}3\,\%}}\)

Løsningsforslag

Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne binomialkoeffisientene.

a

Vi skal velge 4 elever fra 10 uten hensyn til rekkefølge. Antall måter er gitt ved binomialkoeffisienten

Det er \(\underline{\underline{210}}\) mulige måter å sette sammen arbeidsgruppen på.

b

Vi søker \(P(\text{minst 2 gutter})\). Det er lettest å bruke komplementregelen:

Det er 3 gutter og 7 jenter blant de 10 elevene.

P(0 gutter): Alle 4 velges blant de 7 jentene.

P(1 gutt): Én gutt velges blant 3, tre jenter velges blant 7.

P(minst 2 gutter):

Sannsynligheten for at minst to gutter blir med i arbeidsgruppen er \(\underline{\underline{\dfrac{1}{3} \approx 33{,}3\,\%}}\).

c

Vi skal finne sannsynligheten for at nøyaktig én av de to jentene Emma og Marie blir med.

Vi deler de 10 elevene i to grupper: {Emma, Marie} (2 elever) og de øvrige 8 elevene.

Nøyaktig én av Emma/Marie betyr at vi velger 1 fra {Emma, Marie} og 3 fra de resterende 8.

Sannsynligheten for at bare én av de to jentene blir med i arbeidsgruppen er \(\underline{\underline{\dfrac{8}{15} \approx 53{,}3\,\%}}\).

Valgresultat og binomisk sannsynlighet

Ved kommunevalget i 2023 stemte 11,3 % på Fremskrittspartiet. Vi skal plukke ut 10 tilfeldige personer som stemte ved valget.

I en valgkrets var det totalt 243 som stemte. Bildet viser en oversikt over de fem partiene som fikk størst oppslutning i denne valgkretsen.

Også her skal vi plukke ut 10 tilfeldige personer blant dem som stemte.

Fasit

a) \(\underline{\underline{P(X \geq 4) \approx 1{,}95 \,\%}}\)
b) \(\underline{\underline{P(Y \geq 4) \approx 65{,}0 \,\%}}\)

Løsningsforslag

a

La \(X\) være antall av de 10 personene som stemte Fremskrittspartiet.

Vi trekker 10 tilfeldige personer fra hele landet, der \(11{,}3\,\%\) stemte FrP. Siden populasjonen (alle som stemte ved valget) er svært stor i forhold til utvalget, er sannsynligheten tilnærmet konstant fra trekning til trekning. Derfor er \(X\) binomisk fordelt med \(n = 10\) og \(p = 0{,}113\).

Vi ønsker \(P(X \geq 4) = 1 - P(X \leq 3)\).

I GeoGebra CAS:

\(P(X \geq 4) \approx \underline{\underline{1{,}95 \,\%}}\)

Det er altså svært liten sannsynlighet for at minst 4 av de 10 stemte FrP.

b

I denne valgkretsen stemte 100 av 243 på Arbeiderpartiet. Vi trekker 10 personer uten tilbakelegging fra en avgrenset populasjon på 243 personer.

Begrunnelse for hypergeometrisk fordeling: Fordi populasjonen er liten (\(N = 243\)) i forhold til utvalget (\(n = 10\)), endres sannsynligheten for å trekke en Ap-velger for hvert nye trekk. Binomisk fordeling forutsetter konstant sannsynlighet og passer ikke her. Vi bruker derfor hypergeometrisk fordeling med

La \(Y\) være antall av de 10 som stemte Arbeiderpartiet. Vi ønsker \(P(Y \geq 4) = 1 - P(Y \leq 3)\).

I GeoGebra CAS:

(Se bildet over.)

\(P(Y \geq 4) \approx \underline{\underline{65{,}0 \,\%}}\)

Det er altså omtrent \(65\) % sannsynlighet for at minst 4 av de 10 tilfeldige personene stemte Arbeiderpartiet i denne valgkretsen.

T-skjorter, inntekt og overskudd

En bedrift produserer og selger T-skjorter. Prisen \(p(x)\) kroner per T-skjorte ved produksjon og salg av \(x\) T-skjorter per uke er gitt ved

De totale kostnadene \(K(x)\) kroner per uke er gitt ved

Bedriften ønsker å gjennomføre en kampanje hvor de en uke donerer 30 kroner per solgte T-skjorte til veldedighet.

Fasit

a) Største inntekt: \(\underline{\underline{I \approx 21\,945 \, \mathrm{kr/uke}}}\) ved \(x = 261\) T-skjorter.
b) Største overskudd: \(\underline{\underline{O \approx 8\,193 \, \mathrm{kr/uke}}}\) ved \(x = 219\) T-skjorter.
c) Bedriften kan selge maks \(\underline{\underline{251 \text{ T-skjorter}}}\) uten å gå med underskudd.

Løsningsforslag

Vi definerer inntektsfunksjonen og overskuddsfunksjonen:

Vi løser alle deloppgavene i GeoGebra CAS:

a

For å finne største inntekt setter vi \(I'(x) = 0\) og løser:

GeoGebra CAS (linje 7) gir \(x \approx 261\) (positiv løsning).

Vi sjekker at dette er et maksimum: \(I''(x) = -0{,}006x + 0{,}4\), og \(I''(261) = -0{,}006 \cdot 261 + 0{,}4 \approx -1{,}2 < 0\) — bekrefter maksimum.

GeoGebra CAS (linje 8): \(I(261) \approx 21\,945 \, \mathrm{kr}\).

Den største mulige inntekten er \(\underline{\underline{I \approx 21\,945 \, \mathrm{kr/uke}}}\) ved produksjon og salg av 261 T-skjorter.

b

For å finne største overskudd setter vi \(O'(x) = 0\) og løser:

GeoGebra CAS (linje 10) gir \(x \approx 219\) (positiv løsning).

GeoGebra CAS (linje 11): \(O(219) \approx 8\,193 \, \mathrm{kr}\).

Det største mulige overskuddet er \(\underline{\underline{O \approx 8\,193 \, \mathrm{kr/uke}}}\) ved produksjon og salg av 219 T-skjorter.

c

Med kampanje doneres 30 kr per solgte T-skjorte, slik at overskuddsfunksjonen blir:

Vi vil finne det største antallet T-skjorter \(x\) der \(O_k(x) \geq 0\), dvs. vi løser \(O_k(x) = 0\).

GeoGebra CAS (linje 12) gir røttene \(x \approx -269{,}6\), \(x \approx 117{,}8\) og \(x \approx 251{,}8\).

Den største positive røtten er \(x \approx 251{,}8\). Vi sjekker: \(O_k(251) \approx 57 > 0\) og \(O_k(252) \approx -13 < 0\).

Bedriften kan produsere og selge maks \(\underline{\underline{251 \text{ T-skjorter}}}\) i kampanjeuken uten å gå med underskudd.

Oljefondet og eksponentiell modell

Oljefondet (Statens pensjonsfond utland) ble opprettet etter at vi fant olje i Nordsjøen. Formålet med oljefondet er å sikre framtiden i norsk økonomi.

Figuren nedenfor viser utviklingen av oljefondet fra og med 1998 til og med 2024.

I resten av oppgaven skal du bruke funksjonen \(V\) gitt ved

som modell for den totale verdien av oljefondet i milliarder kroner \(t\) år etter 1998.

Fasit

a) \(O(t) = 330 \cdot 1{,}18^{t}\) (eksponentiell modell, se begrunnelse)
b) \(\underline{\underline{V(20) \approx 8843 \, \mathrm{mrd\,kr}}}\), \(\underline{\underline{V'(20) \approx 1454 \, \mathrm{mrd\,kr/år}}}\)
c) Gjennomsnittlig vekstfart \([0, 10]\): \(\approx 138 \, \mathrm{mrd\,kr/år}\). Gjennomsnittlig vekstfart \([16, 26]\): \(\approx 1913 \, \mathrm{mrd\,kr/år}\). Vekstfarten er ca. 14 ganger så stor i den siste perioden.

Løsningsforslag

a

Grafen viser en kurve som vokser stadig raskere — verdien mangedobles over perioden og øker prosentvis omtrent like mye hvert år. Det tyder på eksponentiell vekst, ikke lineær.

Vi avleser to punkter fra grafen:

En eksponentiell modell har formen \(O(t) = a \cdot b^{t}\). Vi setter \(a = 330\) (startverdi) og bestemmer \(b\) fra

Modell: \(\underline{\underline{O(t) \approx 330 \cdot 1{,}18^{t}}}\)

Modellen passer godt med den gitte \(V(t) = 330 \cdot 1{,}1787^{t}\).

b

Vi bruker GeoGebra CAS med \(V(t) = 330 \cdot 1{,}1787^{t}\):

Tolkning: I år 2018 (\(t = 20\)) var oljefondet verdt ca. \(8843\) milliarder kroner, og verdien økte med ca. \(1454\) milliarder kroner per år.

c

Vi beregner gjennomsnittlig vekstfart i hvert intervall (se CAS-utklippet over):

Forholdet mellom vekstfartene:

Vekstfarten i perioden \([16, 26]\) er ca. 14 ganger så stor som i \([0, 10]\). Dette er som forventet for en eksponentiell funksjon — prosentveksten er konstant, men siden grunnlaget er mye større mot slutten, øker den absolutte veksten kraftig.