Derivasjon av tre typer funksjoner

Deriver funksjonene

Fasit

a) \(f'(x) = 20x^3 + e^x\)
b) \(g'(x) = 2\ln x + 2\)
c) \(h'(x) = \dfrac{16e^{-2x}}{(1 + e^{-2x})^2}\)

Løsningsforslag

a

Vi deriverer ledd for ledd:

b

Vi bruker produktregelen \((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\) med \(u = 2x\) og \(v = \ln x\):

c

Vi bruker kjerneregelen med \(u = 1 + e^{-2x}\):

Polynom med faktorisering

Et polynom \(P\) er gitt ved

Fasit

a) \(P(1)=0\), altså må \((x-1)\) være en faktor i \(P(x)\).
b) \(P(x)=(x-1)^{2}(x-4)\)

Løsningsforslag

a

\(P(x)\) vil være delelig med \((x-1)\) dersom vi kan faktorisere \(P(x)\) på denne måten \(P(x)=(x-1) \cdot a(x-x_{1})(x-x_{2})\). For å kunne gjennomføre denne faktorisering så må \(x=1\) være et nullpunkt til \(P\).

\((x-1)\) må være en faktor i \(P\) og \(P\) må derfor være delelig på \((x-1)\).

b

\((x-1)\) er en faktor. Vi gjennomfører polynomdivisjon for å kunne finne de de andre faktorene.

Dette gir oss at \(P(x) = (x - 1)(x^2 - 5x + 4)\).

Vi faktoriserer andregradsuttrykket \(x^2 - 5x + 4\) ved hjelp av heltallsmetoden. Vi ser etter to tall som har sum \(-5\) og produkt \(4\). Tallene er \(-1\) og \(-4\):

Fjerdegradspolynom med faktorer

Et polynom \(Q\) er gitt ved

Du får oppgitt at \((x + 1)\), \((x - 1)\) og \((x - 2)\) er faktorer i \(Q(x)\).

Fasit

a) Se løsningsforslag
b) \(a = -8\), \(b = 11\), \(c = 8\)

Løsningsforslag

a

Siden \((x + 1)\), \((x - 1)\) og \((x - 2)\) er faktorer i \(Q(x)\), vet vi at \(Q(-1) = 0\), \(Q(1) = 0\) og \(Q(2) = 0\).

\(Q(-1) = 0\):

\(Q(1) = 0\):

\(Q(2) = 0\):

b

Fra likning 1 og 2:

Setter \(b = 11\) inn i likning 1: \(a + c = -11 + 11 = 0\), altså \(c = -a\).

Setter \(b = 11\) og \(c = -a\) inn i likning 3:

Da er \(c = -(-8) = 8\).

Aritmetisk rekke med formel

For en annen aritmetisk rekke gjelder

Fasit

a) \(7400\)
b) \(a_n = 4n - 2\)

Løsningsforslag

a

Vi har en aritmetisk rekke med \(a_1 = 1\) og \(d = 6\).

Finner antall ledd: \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\) gir

Summen av rekken er

b

Fra \(a_5 - a_2 = 12\) får vi

Fra \(a_1 + a_2 + a_3 = 18\) får vi

Formelen for \(a_n\) blir

Sprettball og uendelig rekke

En ball slippes fra en høyde på 10,0 m. Første gang ballen treffer bakken, spretter den 6,0 m loddrett opp. Hver gang den så treffer bakken igjen, spretter den loddrett opp til en høyde som er 60 % av høyden den fikk ved forrige sprett.

Fasit

\(40{,}0 \text{ m}\)

Løsningsforslag

Ballen faller først \(10{,}0\) m ned. Deretter spretter den \(6{,}0\) m opp og \(6{,}0\) m ned, så \(6{,}0 \cdot 0{,}6 = 3{,}6\) m opp og ned, osv.

Etter det første fallet beveger ballen seg opp og ned for hver sprett, så vi ganger med 2. Sprettene danner en uendelig geometrisk rekke med \(a_1 = 6{,}0\) og \(k = 0{,}6\):

Tredjegradsfunksjon med transformasjon

Funksjonen \(f\) er gitt ved

Funksjonen \(g\) er gitt ved

Fasit

a) Toppunkt \((1, 0)\), bunnpunkt \((3, -4)\)
b) Vendepunkt \((2, -2)\)
c) Se løsningsforslag
d) Toppunkt \((3, 11)\), bunnpunkt \((1, 3)\)

Løsningsforslag

a

Vi utvider \(f(x)\):

Deriverer:

Setter \(f'(x) = 0\): \(x = 1\) eller \(x = 3\).

Fortegnslinje for \(f'(x)\):

• \(f(1) = 0\): Toppunkt \(\underline{\underline{(1, 0)}}\)
• \(f(3) = (3-1)^2(3-4) = 4 \cdot (-1) = -4\): Bunnpunkt \(\underline{\underline{(3, -4)}}\)

b

\(f''\) skifter fortegn i \(x = 2\) (fra negativ til positiv), så dette er et vendepunkt.

Vendepunkt \(\underline{\underline{(2, -2)}}\)

c

Grafen krysser \(x\)-aksen i \(x = 1\) (dobbeltrot) og \(x = 4\). Vi har toppunkt \((1, 0)\), bunnpunkt \((3, -4)\) og vendepunkt \((2, -2)\).

d

Siden \(g(x) = -2 \cdot f(x) + 3\), er grafen til \(g\) en speiling av \(f\) om \(x\)-aksen, strukket med faktor 2, og flyttet 3 opp. De stasjonære punktene har samme \(x\)-verdier:

• \(f\) har toppunkt i \(x = 1 \implies g\) har bunnpunkt: \(g(1) = -2 \cdot 0 + 3 = 3\). Bunnpunkt \(\underline{\underline{(1, 3)}}\)
• \(f\) har bunnpunkt i \(x = 3 \implies g\) har toppunkt: \(g(3) = -2 \cdot (-4) + 3 = 11\). Toppunkt \(\underline{\underline{(3, 11)}}\)

Terningspill med to terninger

Vi har to terninger som begge har seks sider. Den ene er en vanlig terning, mens den andre har fire sider som viser ett øye, én side som viser to øyne, og én side som viser tre øyne.

Vi lar \(X\) være summen av antall øyne vi får når vi kaster de to terningene.

De to terningene brukes i et pengespill.

• Dersom summen av antall øyne blir 5 eller mindre i ett kast, gis det ingen gevinst.
• Dersom summen av antall øyne blir 6, 7 eller 8 i ett kast, gis det 72 kroner i gevinst.
• Dersom summen av antall øyne blir 9 i ett kast, gis det 360 kroner i gevinst.

Vi lar \(Y\) være gevinsten du får når du kaster terningene én gang.

Fasit

a) \(P(X = 6) = \dfrac{6}{36}\), \(P(X = 8) = \dfrac{2}{36}\)
b) Se løsningsforslag
c) \(\text{E}(Y) = 38 \text{ kr}\). Nei, du kan ikke forvente å gå i overskudd.

Løsningsforslag

a

Den vanlige terningen viser 1–6 med lik sannsynlighet \(\frac{1}{6}\). Den spesielle terningen har \(P(1) = \frac{4}{6}\), \(P(2) = \frac{1}{6}\) og \(P(3) = \frac{1}{6}\).

\(P(X = 6)\): Vi trenger kombinasjonene (vanlig, spesiell) som gir sum 6:

• \((3, 3)\): \(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\)
• \((4, 2)\): \(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\)
• \((5, 1)\): \(\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{6} = \frac{4}{36}\)

\(P(X = 8)\): Kombinasjoner som gir sum 8:

• \((5, 3)\): \(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\)
• \((6, 2)\): \(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\)

b

c

Vi finner forventet gevinst \(\text{E}(Y)\):

Siden det koster 40 kr per kast og forventet gevinst er 38 kr, er forventet nettoresultat \(38 - 40 = -2\) kr per kast.

Du kan ikke forvente å gå i overskudd i det lange løp.

Normalfordeling med ukjente parametere

I denne oppgaven kan du få bruk for tabellen over standard normalfordeling i vedlegg 1.

La \(X\) være normalfordelt med forventningsverdi \(\mu = 1\) og varians \(\sigma^2 = 4\).

Om en annen normalfordelt stokastisk variabel \(Y\) får du vite at \(P(Y \leq 0{,}92) = 0{,}0228\) og \(P(Y \geq 1{,}41) = 0{,}0668\).

Fasit

a) \(P(2 < X < 3) \approx 0{,}15\)
b) \(\mu = 1{,}20\) og \(\sigma = 0{,}14\)

Løsningsforslag

a

\(X\) er normalfordelt med \(\mu = 1\) og \(\sigma^2 = 4\), altså \(\sigma = 2\).

Vi standardiserer:

b

Vi slår opp i tabellen og finner \(z\)-verdiene:

Vi har likningssystemet:

Trekker (I) fra (II):

Setter inn i (I):

Sjørøverskatt med mynter

En sjørøverskatt har mynter med verdiene 1, 5 og 10 skilling. Myntene veier henholdsvis 5 g, 8 g og 12 g. Du får vite at

• skatten inneholder 85 mynter
• den samlede verdien er på 356 skilling
• den samlede vekten er 633 g

Fasit

a) Se løsningsforslag
b) 41 mynter med verdi 1, 25 mynter med verdi 5, 19 mynter med verdi 10

Løsningsforslag

a

La \(x\), \(y\) og \(z\) være antall mynter med verdiene 1, 5 og 10 skilling.

Antall mynter: \(x + y + z = 85\)

Samlet verdi: \(x + 5y + 10z = 356\)

Samlet vekt: \(5x + 8y + 12z = 633\)

b

Vi skriver inn i CAS:

Vi får \(\underline{\underline{x = 41, \; y = 25, \; z = 19}}\).

Skatten inneholder 41 mynter med verdi 1 skilling, 25 mynter med verdi 5 skilling og 19 mynter med verdi 10 skilling.

Harer på øy

På en øy ble det satt ut 50 harer. Tabellen nedenfor viser hvor mange harer det var på øya etter 0, 10, 20 og 30 uker.

Antall harer på øya \(t\) uker etter at harene ble satt ut, kan ifølge en forsker modelleres med en funksjon \(g\) på formen

Fasit

a) \(N \approx 200\), \(a \approx 3{,}00\), \(k \approx 0{,}118\)
b) \(N = 200\) er den øvre grensen for antall harer på øya (bæreevnen).

Løsningsforslag

a

Vi bruker logistisk regresjon i CAS med datapunktene \((0, 50)\), \((10, 104)\), \((20, 156)\) og \((30, 184)\).

Regresjonen gir

slik at modellen blir

b

Tallet \(N = 200\) er den øvre grensen (bæreevnen) for antall harer på øya. Når \(t \to \infty\), nærmer \(g(t)\) seg \(N = 200\). Det betyr at bestanden aldri vil overstige omtrent 200 harer.

Etterspørsel og grensekostnad vare

En ny vare blir lansert i et område. Vi antar at funksjonen \(q\) gitt ved

er en god modell for etterspørselen etter varen per uke, \(t\) uker etter lanseringen.

Enhetsprisen for varen settes lik 50 kroner det første året.

Etter at varen har vært i markedet i ett år, vil enhetsprisen \(p\) kroner være en funksjon av den ukentlige etterspørselen \(x\). Vi går ut fra at \(p\) er gitt ved

Grensekostnaden ved produksjon av \(x\) enheter er

Fasit

a) Se løsningsforslag
b) \(\approx 20\,955 \text{ kr}\)
c) \(\approx 905\,795 \text{ kr}\)
d) \(51{,}25 \text{ kr}\)

Løsningsforslag

a

Vi tegner grafen til \(q(t) = 230 \cdot e^{0{,}015t}\) for \(t \in [0, 52]\) i GeoGebra.

b

Inntekten i uke 40 er antall solgte enheter ganger enhetspris:

Vi regner ut i CAS og får

c

Den samlede inntekten er

Vi bruker CAS til å definere \(q\), beregne integralet og løse optimeringen:

Fra linje 2 i CAS leser vi av at den samlede inntekten er \(\approx \underline{\underline{905\,795 \text{ kr}}}\).

d

Inntektsfunksjonen er \(I(x) = x \cdot p(x) = x(-0{,}01x + 60) = -0{,}01x^2 + 60x\).

Grenseinntekten er \(I'(x) = -0{,}02x + 60\).

Overskuddet er størst når grenseinntekt er lik grensekostnad. Fra linje 4 i CAS ser vi at \(x = 875\).

Enhetsprisen blir

Annuitetslån og serielån Pia

Pia vurderer å låne 800 000 kroner. En bank tilbyr henne et annuitetslån med en nedbetalingstid på 20 år, én termin per år og en fast rentesats på 3,0 % per år. Første innbetaling er om ett år.

Banken tilbyr henne også et serielån med en nedbetalingstid på 20 år, én termin per år og en fast rentesats på 3,0 % per år. Tabellen nedenfor viser avdrag, renter, terminbeløp og restlån for de tre første terminene.

En annen bank tilbyr henne et serielån på 800 000 kroner. Dette lånet har en nedbetalingstid på 20 år, én termin per år og en fast rentesats per år. Summen av alle terminbeløpene for dette lånet blir 1 000 000 kroner.

Fasit

a) \(T \approx 53\,773 \text{ kr}\)
b) Summen er \(1\,052\,000 \text{ kr}\)
c) \(r \approx 2{,}38 \, \%\)

Løsningsforslag

a

Nåverdien av alle terminbeløpene \(T\) skal være lik lånebeløpet. Med vekstfaktor \(1{,}03\) per år:

Dette er en geometrisk rekke med \(a_1 = \frac{T}{1{,}03}\) og \(k = \frac{1}{1{,}03}\):

Vi løser i CAS:

Fra linje 2 leser vi av \(\underline{\underline{T \approx 53\,773 \text{ kr}}}\).

b

Avdraget er konstant: \(\frac{800\,000}{20} = 40\,000 \text{ kr}\).

Renten i termin \(n\) er \(0{,}03 \cdot (800\,000 - (n-1) \cdot 40\,000)\). Renten avtar med \(0{,}03 \cdot 40\,000 = 1\,200 \text{ kr}\) per termin.

Terminbeløpene er \(64\,000, \; 62\,800, \; 61\,600, \ldots\) som er en aritmetisk følge med \(a_1 = 64\,000\) og \(d = -1\,200\).

Siste terminbeløp: \(a_{20} = 64\,000 + 19 \cdot (-1\,200) = 41\,200\)

c

For et serielån med avdrag \(40\,000\) og rentesats \(r\) per år:

Terminbeløp i termin \(n\): \(40\,000 + r \cdot (800\,000 - (n-1) \cdot 40\,000)\)

Summen av alle terminbeløpene:

Hypotesetest om russetid

Tidligere statistikk fra en skole viser at 32 % av elevene i Vg3 hadde én eller flere timer fravær i russetiden.

Vi trekker tilfeldig ut 27 elever i Vg3. Vi antar at sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har fravær, er \(p=0{,}32\) og er uavhengig av de andre elevenes fravær.

Ledelsen ved skolen hadde en mistanke om at det nye fraværsreglementet som ble innført i august 2016, ville føre til mindre fravær. Før russetiden startet, satte de derfor opp to hypoteser som de ønsket å teste.

De ønsket å bruke et signifikansnivå på 5 %.

Det var 120 elever i Vg3 på skolen dette skoleåret.

Fasit

a) \(P(X \leq 7) \approx 0{,}33\)
b) Høyst 29 elever med fravær

Løsningsforslag

a

La \(X\) = antall elever av de 27 som har fravær. \(X\) er binomisk fordelt med \(n = 27\) og \(p = 0{,}32\).

«Minst 20 ikke har fravær» betyr at høyst \(27 - 20 = 7\) elever har fravær, altså \(X \leq 7\).

Sannsynligheten for at minst 20 av 27 elever ikke har fravær er \(\underline{\underline{0{,}33}}\).

b

La \(X\) = antall elever med fravær blant de 120. Under \(H_0\) er \(X\) binomisk fordelt med \(n = 120\) og \(p = 0{,}32\). Vi legger inn i GeoGebra og justerer på grensen helt fram til vi finner en sannsynlighet som ligger under signifikansnivået \(\alpha\).

Det høyeste antallet elever som kan ha fravær for at \(H_0\) forkastes, er \(\underline{\underline{29}}\).