Andregradsulikhet med faktorisering

Fasit

\(-5 < x < 1\)

Løsningsforslag

\((x+5)(x-1) < 0\) når faktorene har motsatt fortegn. Nullpunktene er \(x = -5\) og \(x = 1\). Parabelen er konveks, så uttrykket er negativt mellom nullpunktene.

Løsning: \(\underline{\underline{-5 < x < 1}}\)

Nullpunkter til tredjegradsfunksjon

Fasit

\(x = -2\), \(x = 1\), \(x = 6\)

Løsningsforslag

\(f(1) = 1 - 5 - 8 + 12 = 0\), så \((x-1)\) er en faktor.

Polynomdivisjon: \(f(x) = (x-1)(x^2 - 4x - 12)\)

\(x^2 - 4x - 12 = 0 \implies x = \dfrac{4 \pm \sqrt{64}}{2} = \dfrac{4 \pm 8}{2}\), som gir \(x = 6\) eller \(x = -2\).

Nullpunktene er \(\underline{\underline{x = -2}}\), \(\underline{\underline{x = 1}}\) og \(\underline{\underline{x = 6}}\).

Påstander om rasjonal funksjon

En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved

Fasit

Påstand 1 og 2 er riktige.

Løsningsforslag

Påstand 1 (riktig): Nullpunkt der \(2x+6=0 \Rightarrow x=-3\). Nevneren \(x^2+4>0\) alltid, så \(x=-3\) er gyldig og eneste nullpunkt.

Påstand 2 (riktig): Vertikale asymptoter der \(x^2+4=0\), men \(x^2=-4\) har ingen reelle løsninger.

Påstand 3 (feil): \(f(0) = 6/4 = 3/2\), grafen skjærer \(y\)-aksen.

Påstand 4 (feil): Telleren har lavere grad enn nevneren, så \(f(x) \to 0\). Horisontal asymptote er \(y=0\).

Bankinnskudd med rente bakover

For fem år siden vant Oskar i Lotto. Han satte pengene i banken og har fått \(4{,}5\ \%\) rente per år. I dag har han \(250\,000\) kroner på kontoen.

:::

1. \[250\,000 \cdot 0{,}955^5 \]
2. \[\dfrac{250\,000}{1{,}045^5} \]
3. \[250\,000 \cdot 1{,}045^5 \]
4. \[250\,000 \cdot 0{,}955^{-5} \]
5. \[\dfrac{250\,000}{0{,}955^5} \]
6. \[250\,000 \cdot 1{,}045^{-5} \]

:::

Fasit

2. og 6)

Løsningsforslag

\(V_0 \cdot 1{,}045^5 = 250\,000 \implies V_0 = \dfrac{250\,000}{1{,}045^5} = 250\,000 \cdot 1{,}045^{-5}\)

Uttrykk 2) og 6) er riktige.

Merk: \(0{,}955 \neq \tfrac{1}{1{,}045}\), så 4) og 5) er ikke ekvivalente med 2) og 6).

Trekantareal og sin 45 grader

Gitt en trekant \(ABC\) der \(AB = 3\sqrt{2}\), \(AC = 8\) og \(\angle A = 45\degree\).

Gitt en trekant \(PQR\) der \(PQ = 3\sqrt{2}\), \(PR = 8\) og \(\angle P = 140\degree\).

Fasit

a) Vis ved hjelp av trekanten
b) \(T = 12\)
c) Trekant \(ABC\)

Løsningsforslag

a

Trekanten er rettvinklet og likebeint med kateter \(= 1\) og hypotenus \(= \sqrt{2}\).

b

c

\(\sin 140\degree = \sin 40\degree \approx 0{,}643 < \sin 45\degree \approx 0{,}707\)

Siden sidene er like men \(\sin 45\degree > \sin 140\degree\), har trekant \(ABC\) størst areal.

Femkanttall og programmering

Siri arbeider med femkanttall. Hun har oppdaget en sammenheng og laget programmet nedenfor.

1234567tall = 1
differanse = 4

while tall <= 60:
	print(tall)
	tall = tall + differanse
	differanse = differanse + 3

Fasit

Tallene 1, 5, 12, 22, 35, 51 og 70 skrives ut. Siri har oppdaget at antallet nye sirkler øker med 3 fra ett femkanttall til det neste.

Løsningsforslag

Variabelen tall inneholder antall sirkler i et femkanttall slik tall utvikler seg slik tabellen viser.

Tallene 1, 5, 12, 22, 35, 51 og 70 skrives ut av programmet.

Siri har oppdaget at antallet nye sirkler i femkanttalene (de som er tegnet oppe mot høyre i figuren) øker med 3 for hvert femkanttall.

Vekt og lengde potensfunksjon

Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom lengde og vekt for en type fisk.

Sammenhengen kan beskrives med en modell gitt på formen

der \(F(x)\) gram er vekten til en fisk som er \(x\) centimeter lang.

Fasit

a) \(F(x) \approx 0{,}00966 \cdot x^{3{,}00}\)
b) \(\approx 210 \mathrm{~gram/cm}\)
c) \(\approx 289 \mathrm{~gram/cm}\)
d) \(\approx 72{,}8\ \%\)

Løsningsforslag

a

Legger inn datapunktene i GeoGebra og bruker PotensRegresjon. GeoGebra gir:

b

Gjennomsnittlig øker vekten med omtrent \(210\ \mathrm{gram}\) per centimeter ekstra lengde i intervallet \(75\)–\(95\ \mathrm{cm}\).

c

\(F'(100) = a \cdot b \cdot 100^{b-1} \approx 0{,}00966 \cdot 3{,}00 \cdot 100^{2{,}00} \approx \underline{\underline{289 \mathrm{~gram/cm}}}\)

Når fisken er \(100\ \mathrm{cm}\), øker vekten med omtrent \(289\ \mathrm{gram}\) per centimeter ekstra lengde.

d

Vekten øker med omtrent \(\underline{\underline{72{,}8\ \%}}\).

Aldersregnestykke med likningssystem

I dag er Abid, Therese og Harald til sammen 68 år. Therese er 17 år eldre enn Abid.

Om tre år vil Abid være dobbelt så gammel som Harald.

Fasit

Abid: 21 år, Therese: 38 år, Harald: 9 år

Løsningsforslag

La \(a\), \(t\), \(h\) være alderen til Abid, Therese og Harald. Likningssystemet:

Fra ligning 3: \(a = 2h + 3\). Fra ligning 2: \(t = 2h + 20\). Inn i ligning 1:

\((2h+3) + (2h+20) + h = 68 \implies 5h = 45 \implies h = 9\)

Dermed \(a = 21\) og \(t = 38\).

\(\underline{\underline{\text{Abid er 21 år, Therese er 38 år og Harald er 9 år.}}}\)

Areal av firkant med trigonometri

Gitt figuren ovenfor.

Fasit

a) Vis ved beregning
b) \(\dfrac{9 + 6\sqrt{3}}{4}\)

Løsningsforslag

a

I trekant \(ADC\): \(\angle D = 120\degree\), \(\angle DCA = 30\degree\), \(DC = \sqrt{3}\).

\(\angle DAC = 180\degree - 120\degree - 30\degree = 30\degree\)

Sinussetningen: \(\dfrac{AC}{\sin 120\degree} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sin 30\degree} \implies AC = \dfrac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 3 \qquad \square\)

b

Areal av \(ADC\): Siden \(\angle DAC = \angle DCA = 30\degree\) er \(AD = DC = \sqrt{3}\).

Areal av \(ABC\): \(BC = \sqrt{6}\), \(AC = 3\), \(\angle BAC = 45\degree\).

\(\angle ACB = 180\degree - 45\degree - 60\degree = 75\degree\)

Totalt:

Gråmønster i likesidet trekant

Maria tegner en likesidet trekant. Hun deler trekanten i flere og flere små likesidede trekanter og fargelegger et mønster. Figurene nedenfor viser hvordan hun arbeider.

Tenk deg at Maria fortsetter å dele opp trekanten og fargelegge etter samme mønster.

Fasit

a) Se algoritme
b) \(12\)

Løsningsforslag

a

Maria tar hvert steg den største hvite trekanten, deler den i 4 like trekanter og farger den midterste (inverterte) grå. Grå trekant nummer \(n\) har areal \(S/4^n\). Arealene danner en geometrisk rekke med kvotient \(1/4\).

Algoritme:

S_start = 36
total = 0
grå_areal = S_start / 4

gjenta 100 ganger:
    total = total + grå_areal
    grå_areal = grå_areal / 4

skriv ut total

b

S_start = 36
total = 0
graa_areal = S_start / 4

for i in range(100):
    total += graa_areal
    graa_areal /= 4

print(total)

Programmet skriver ut \(\underline{\underline{12{,}0}}\).

Størst mulig rektangel under kurve

Funksjonen \(f\) er gitt ved

Punktene \(A\), \(B\), \(C\) og \(D\) danner et rektangel. Punktet \(A\) ligger i origo, punktet \(B\) ligger på \(x\)-aksen, punktet \(C\) ligger på grafen til \(f\), og punktet \(D\) ligger på \(y\)-aksen. Se figuren nedenfor.

Fasit

a) \(5/2\)
b) \(x = \sqrt{3}\)

Løsningsforslag

a

b

Arealet er \(A(x) = x \cdot f(x) = \dfrac{10x}{x^2 + 3}\).

Siden \(A'(x) > 0\) for \(x < \sqrt{3}\) og \(A'(x) < 0\) for \(x > \sqrt{3}\), er \(x = \sqrt{3}\) et maksimumspunkt.

\(B\) må ligge i \(\underline{\underline{x = \sqrt{3}}}\).

Tangent til parabel og lagerhall

En arkitekt har tegnet et snitt av en lagerhall. Lagerhallen er 20 meter høy og har form som en parabel gitt ved

På taket av lagerhallen skal det plasseres et webkamera. Webkameraet skal festes på en stang som er 3 meter lang.

Den rette linjen på figuren går gjennom punktet \((0, 23)\) og er en tangent til grafen.

Fasit

a) \(y = -x + 23\)
b) \(21 - 4\sqrt{15} \approx 5{,}5 \mathrm{~m}\)

Løsningsforslag

a

\(p'(x) = -x/6\). La tangentpunktet være \((c, p(c))\) og tangenten gå gjennom \((0, 23)\):

For \(c = 6\): \(m = -1\), tangent: \(y = -(x-6) + 17 = \underline{\underline{-x + 23}}\)

b

Veggen er der \(p(x) = 0\): \(x = 4\sqrt{15} \approx 15{,}5\ \mathrm{m}\) fra senter.

Kameraet i \((0, 23)\) ser langs tangenten. En tyv på \(2\ \mathrm{m}\) er skjult når linjen fra kameraet til hodet \((x_t, 2)\) tangerer bygget i \(x = 6\):

Avstand fra vegg: \(21 - 4\sqrt{15} \approx \underline{\underline{5{,}5\ \mathrm{m}}}\).