Elever i klassen basert på prosentandel

\(88\,\%\) av elevene i en klasse deltar i en undersøkelse. Det er \(3\) elever som ikke deltar i undersøkelsen.

Fasit

25 elever i klassen.

Løsningsforslag

Siden 88 % har svart, så må de gjenværende 12 prosentene tilsvare de 3 elevene. Vi kan gå veien om en ved å finne ut hvor mange elever 1 prosent tilsvarer.

1 % tilsvarer altså 0,25 elever, og dermed tilsvarer 100 % 25 elever.

Det er 25 elever i klassen.

Median og gjennomsnitt i heiskø

Trine og Truls står i kø for å ta en skiheis. De teller hvor mange personer som blir med i hver av vognene som kjører forbi før det blir deres tur. Resultatene ser du nedenfor:

Fasit

a) Medianen er \(5\) og gjennomsnittet er \(5\).
b) Den kumulative frekvensen for \(6\) personer er \(7\) (det var 7 av de 10 observasjonene som var \(\le6\)).

Løsningsforslag

a

Medianen er det midterste tallet etter at vi har sortert dem stigende

Siden både 4 og 6 står i midten så er medianen 5.

Gjennomsnittet er summen av tallene delt på antallet observasjoner.

Medianen er 5 og gjennomsnittet er 5.

b

Den kumulative frekvensen for 6 personer er antallet observasjoner som er 6 eller mindre. Det er 7 av de 10 observasjonene som er på 6 personer eller mindre.

Den kumulative frekvensen for 6 personer er 7, det betyr at det i 7 av de 10 tilfellene var 6 personer eller færre i vogna i skiheisen.

Vekt på sekker med hundemat

Lotta har kjøpt fire små og to store sekker med hundemat. Sekkene veier til sammen \(44 \mathrm{~kg}\). De store sekkene veier \(7 \mathrm{~kg}\) mer enn de små.

Fasit

Liten sekk: \(\underline{\underline{5 \, \mathrm{kg}}}\), stor sekk: \(\underline{\underline{12 \, \mathrm{kg}}}\)

Løsningsforslag

La \(x\) være vekten til en liten sekk (i kg) og \(y\) vekten til en stor sekk (i kg).

Vi setter opp to likninger ut fra opplysningene i oppgaven:

Vi setter uttrykket for \(y\) inn i den første likningen:

Vi finner \(y\):

En liten sekk veier \(\underline{\underline{5 \, \mathrm{kg}}}\) og en stor sekk veier \(\underline{\underline{12 \, \mathrm{kg}}}\).

Areal og omkrets av halvsirkel og trekant

Et område har form som en halvsirkel med radius \(r = 1{,}0 \mathrm{~m}\). Et annet område har form som en likebeint trekant \(ABC\), der \(AB = 3{,}0 \mathrm{~m}\) og høyden \(h = 1{,}0 \mathrm{~m}\). Se figurene ovenfor.

Fasit

• Halvsirkelen har størst areal: \(\underline{\underline{A_\text{halvsirkel} \approx 1{,}57 \, \mathrm{m}^2}}\)
• Trekanten har størst omkrets: \(\underline{\underline{O_\text{trekant} \approx 6{,}61 \, \mathrm{m}}}\)

Løsningsforslag

Areal av halvsirkelen

Arealet av en hel sirkel er \(\pi r^2\). En halvsirkel er halvparten av en hel sirkel:

Areal av trekanten

Trekanten har grunnlinje \(AB = 3{,}0 \, \mathrm{m}\) og høyde \(h = 1{,}0 \, \mathrm{m}\):

Sammenligning areal:

Halvsirkelen har størst areal.

Omkrets av halvsirkelen

Omkretsen består av den rette kanten (diameteren) og den buede kanten (halvsirkelbuen):

• Diameter: \(2r = 2 \cdot 1{,}0 = 2{,}0 \, \mathrm{m}\)
• Halvsirkelbue: \(\pi r = \pi \cdot 1{,}0 \approx 3{,}14 \, \mathrm{m}\)

Omkrets av trekanten

Trekanten er likebeint med \(AB = 3{,}0 \, \mathrm{m}\) og høyde \(h = 1{,}0 \, \mathrm{m}\). Høyden deler grunnlinjen i to like deler, slik at hver halvdel er \(\frac{3{,}0}{2} = 1{,}5 \, \mathrm{m}\).

Vi finner lengden av sidekantene \(AC\) og \(BC\) med Pytagoras:

Sammenligning omkrets:

Trekanten har størst omkrets.

Nedbetalingsplan for Marcos lån

Marco har tatt opp et lån med fast årlig rente. Lånet skal betales tilbake i løpet av 10 år, med én termin i året. Figuren ovenfor viser nedbetalingsplanen.

Fasit

a) Marco har tatt opp \(\underline{\underline{100\,000 \, \mathrm{kr}}}\)
b) Dette er et \(\underline{\underline{\text{serielån}}}\)

Løsningsforslag

a

Fra figuren leser vi av at avdraget er 10 000 kr i hver av de 10 terminene.

Lånebeløpet er summen av alle avdragene:

Marco har tatt opp et lån på \(100\,000 \, \mathrm{kr}\).

b

Fra figuren ser vi at avdraget er likt i alle terminer — det er \(10\,000 \, \mathrm{kr}\) per termin hele veien.

Rentedelen derimot avtar for hvert år. Det er fordi restgjelden blir mindre og mindre, og da beregnes rentene av et stadig lavere beløp.

Et lån med like store avdrag og avtagende renter kalles et serielån.

Et annuitetslån har derimot like store totale terminbeløp (avdrag + renter er det samme hver termin), og det ser vi ikke her.

Begrunnelse: Avdragene er konstant \(10\,000 \, \mathrm{kr}\) per termin, så dette er et serielån.

Median og gjennomsnitt fra klassedelt alder

I tabellen nedenfor finner du informasjon om alderen til \(100\) personer som er medlemmer på et treningssenter:

Trine påstår at gjennomsnittsalderen er ca. \(38\) år, og at medianalderen er ca. \(35\) år.

Gjør beregninger og vis at påstandene kan være riktige. Trine må ha gjort en antakelse for å kunne regne seg fram til disse verdiene. Gjør rede for en mulig antakelse.

Fasit

Gjennomsnitt ≈\(38{,}1\) år, median ≈\(35\) år (ved jevn fordeling i hver klasse).

Løsningsforslag

Trine må ha antatt at det er omtrent like mange personer i hver alder i hver klasse, altså at det for eksempel er 5 16-åringer, 5 17-åringer, 5 18-årnger og 5 19-åringer i den første klassen.

Hvis den antakelsen stemmer så kan vi finne gjennomsnittsalder ved å ta klassemidtpunktet for hver klasse og multiplisere med antallet medlemmer i klassen.

Gjennomsnittsalderen er omtrent \(\frac{3810}{100}=\underline{\underline{38{,}1}}\) år.

Medianen er «den midterste personen» blant de 100 hvis vi sorterer dem etter alder. Altså vil medianen være gjennomsnittet av alderen til person nr. 50 og 51.

Vi tenker oss de 100 personene sortert etter alder i en lang rekke. De 20 yngste personene er under 20 år. I den neste klassen er det 40 personer, og medianpersonen vil være gjennomsnittet av person nr. 30 og 31 inni denne klassen.

Hvis vi fordeler personene i klassen \([20, 40\rangle\) i 5-årsgrupper så finner vi ut at person nummer 21–30 er mellom 20–24 år, person 31–40 er 25–30 år, person 41–50 er 30–35 år og 51–60 er 35–40 år. Personene 50 og 51 er altså begge rett rundt 35 år, og dermed er medianalderen 35 år.

Gjennomsnittet er ca. 38 år og medianalderen er ca. 35 år hvis personene er jevnt fordelt innenfor hver klasse.

Program for reduksjon av matsvinn

Et av FNs bærekraftsmål er å redusere matsvinn. Sofie har lest at en familie på fire kaster ca. \(160\text{ kg}\) mat hvert år. Hun har laget programmet nedenfor.

123456789101112matsvinn = 160
mål = matsvinn / 2
vf = 0.87

år = 2025

while matsvinn > mål:
    matsvinn = matsvinn * vf
    år = år + 1

print(år)
print(matsvinn)

Når Sofie kjører programmet, blir disse verdiene skrevet ut:

2030
79.74734731199999

Fasit

Sofie ønsker å finne ut hvor mange år det tar før matsvinnet er halvert (til under \(80\text{ kg}\)). Verdiene viser at målet nås i \(2030\) med utslipp på \(79{,}7\text{ kg}\).

Løsningsforslag

I programmet ser jeg følgende:

• Linje 1: matsvinnet starter på 160 kg
• Linje 2: Målet er å halvere matsvinnet til 80 kg
• Linje 3: Vekstfaktoren er 0,87, altså 13 % nedgang.
• Linje 7: Starter en løkke som kjører fram til matsvinnet er mindre enn målet vårt på 80 kg
• Linje 8: Reduserer matsvinnet med 13 %
• Linje 9: Beregner hvilket år vi er i

Sofie ønsker å finne ut hvor mange år det tar før vi har halvert matsvinnet vårt.

Verdiene som skrives ut forteller at vi når målet i 2030 dersom vi reduserer med 13 % per år, og at utslippet da vil være 79,7 kg per familie på fire.

Ledelsen ved en bedrift ønsker å redusere utslippet av miljøskadelige stoffer de neste årene. I dag har bedriften to produksjonsprosesser:

1. Den ene slipper ut \(5000\text{~tonn}\) per år
2. Den andre slipper ut \(1000\text{~tonn}\) per år.

Ledelsen mener funksjonen

er en god modell for utslippet \(U(x)\) tonn per år etter \(x\) år.

Myndighetene har krevd at utslippet skal reduseres til \(800\text{ tonn}\) per år.

Fasit

a) Den ene prosessen reduseres med \(5\%\) per år, den andre holdes konstant på \(1000\text{ tonn}\).
b) \(18\) år.
c) \(33{,}4\%\) reduksjon.
d) Stigningstallet ≈\(-131\), som betyr en gjennomsnittlig årlig nedgang på \(131\text{ tonn}\) de første 30 årene.
e) Nei, modellen har alltid \(U(x)>1000\) og vil aldri nå \(800\)).

Løsningsforslag

a

\(U(x)\) består av to ledd: \(\textcolor{maroon}{5000 \cdot 0{,}95^{x}}\) og \(\textcolor{seagreen}{1000}\).

1. \(\textcolor{maroon}{5000 \cdot 0{,}95^{x}}\) er en eksponentialfunksjon som synker med 5 % for hvert år. Dette viser at prosessen som i dag slipper ut 5000 tonn per år kommer til å reduseres med 5 %.
2. \(\textcolor{seagreen}{1000}\) er en konstant funksjon, denne verdiene endrer seg altså ikke i framtiden. Dette viser at prosessen som i dag slipper ut 1000 tonn per år kommer til å fortsette på samme måte i framtiden.

Ledelsen ønsker å minke utslippet fra den ene prosessen med 5 % per år, og ikke gjøre noe med den andre prosessen.

b

Til de neste oppgavene har jeg brukt GeoGebra til å regne ut svarene, se figur 1.

For å finne antall år før utslippene blir halvert har jeg lagt ut linja \(y=\frac{6000}{2}\) og funnet skjæringen med \(U\), se punkt \(A\).

Utslippene vil være halvert til 3000 tonn per år etter 18 år.

c

For å finne utslippet etter 10 år har jeg lagt ut linja \(x=10\) og funnet skjæringen med \(U\), se punkt \(B\). Utslippene er 3993,7 tonn etter 10 år.

Jeg har beregnet den prosentvise endringen i algebrafeltet, se linjen merket c) ProsEndring.

Utslippene har minket med 33,4 % etter 10 år.

d

Jeg la ut punktene \(C(0,U(0))\) og \(D(30,U(30))\) i GeoGebra og trakk en linje mellom dem. Etter å ha ordnet uttrykket for linja ser jeg at stigningstallet til linja er \(-130{,}9\).

Stigningstallet til linja er omtrent -131, dette betyr at utslippene i gjennomsnitt minker med 131 tonn per år hvert år i løpet av de 30 første årene.

e

Jeg sjekket dette ved å lete etter skjæringen i mellom \(y=800\) og \(U(x)\) i GeoGebra. Da fikk jeg svaret Udefinert siden disse funksjonene ikke skjærer hverandre. Dette kunne jeg også sett fra funksjonsuttrykket med leddet \(+1000\), som gjør at \(U(x)\) alltid vil være større enn 1000.

Det er ikke mulig å komme ned til 800 tonn per år med dagens modell.

Påstander om gjennomsnitt og median i et rom

I et rom er det \(10\) personer. Nedenfor ser du alderen til hver person:

Fasit

a) Det kommer an på alderen på den som kommer. Hvis den er 29 år så blir medianen uendret.
b) Ja, hvis personen er 17 år.

Løsningsforslag

a

Akkurat nå er det 10 personer i rommet. Medianalderen blir da gjennomsnittet av aldrene til person nummer 5 og 6. Denne medianalderen er foreløpig \(\frac{28+30}{2}=29\) år.

Dersom det kommer en ellevte person inn så er det person nr. 6 som vil være medianalderen:

• Hvis personen er yngre enn 29 år så vil medianalderen bli 28
• Hvis personen er eldre enn 29 år så vil medianalderen bli 30
• Hvis personen er 29 år så blir den nye medianalderen 29

Påstanden er riktig.

b

Hvis det kommer en ny person inn i rommet så blir det 11 personer i rommet. Hvis deres gjennomsnittsalder skal være 30 så må summen av alle aldrene være \(11 \cdot 30 = 330\) år.

Foreløpig er summen av aldrene 313 år. Hvis den siste personen er 17 år så blir blir summen 330 år, og dermed blir gjennomsnittet

Påstanden er riktig.

Formlike trekanter over elv

Kari skal over en elv. Hun har laget skissen ovenfor. Avstanden fra \(A\) til \(D\) er \(5 \mathrm{~m}\), avstanden fra \(D\) til \(E\) er \(10 \mathrm{~m}\), og avstanden fra \(B\) til \(C\) er \(40 \mathrm{~m}\).

Fasit

a) \(\triangle ABC\) og \(\triangle ADE\) er formlike fordi de har felles vinkel i \(A\) og begge har en rett vinkel (ved \(B\) og \(D\)).
b) \(\underline{\underline{BD = 15 \, \mathrm{m}}}\)

Løsningsforslag

a

Vi skal forklare at \(\triangle ABC\) og \(\triangle ADE\) er formlike.

To trekanter er formlike hvis de har to par like vinkler (da er den tredje vinkelen automatisk lik også).

• Begge trekantene har en felles vinkel i \(A\) — samme vinkel inngår i begge trekantene.
• Begge trekantene har en rett vinkel: \(\angle ABС = 90°\) (ved \(B\)) og \(\angle ADE = 90°\) (ved \(D\)), siden \(BC\) og \(DE\) er loddrette linjer i skissen (Kari har målt avstanden rett over elven).

Siden to vinkler er like i begge trekantene, er \(\triangle ABC \sim \triangle ADE\).

b

Vi bruker at formlike trekanter har like forholdstall mellom tilsvarende sider.

De tilsvarende sidene er:

• \(AD\) svarer til \(AB\)
• \(DE\) svarer til \(BC\)

Vi setter inn kjente verdier (\(AD = 5 \, \mathrm{m}\), \(DE = 10 \, \mathrm{m}\), \(BC = 40 \, \mathrm{m}\)):

Siden \(AB = AD + DB\), finner vi:

Avstanden fra \(B\) til \(D\) er \(15 \, \mathrm{m}\).

Halvert fuglebestand

En fuglebestand i et område er blitt halvert i løpet av de fem siste årene.
I dag er det 12 000 fugler i bestanden.

Forskere mener bestanden vil fortsette å bli halvert hvert femte år framover.

Fasit

a) –
b) 4527 fugler
c) 3 år

Løsningsforslag

a

Jeg bruker regresjon for å vise dette, se figuren.

Funksjonen \(\underline{\underline{F(x)=12000\cdot 0{,}87^{x}}}\) er en god modell for utviklingen.

b

Jeg sjekket verdien av \(F(7)\) i GeoGebra, se skjermbildet.

Etter 7 år vil det være 4527 fugler ifølge modellen.

c

Når bestanden er redusert med 35 % er det 65 % igjen, altså \(12000 \cdot 0{,}65\). Jeg la inn linja \(y=12000 \cdot 0{,}65\) og fant skjæringen i punktet \(A\).

Det tar 3 år før bestanden er redusert med 35 % ifølge modellen.

Husleie regulert etter KPI

Tabellen ovenfor viser konsumprisindeksen for oktober måned i perioden 2021–2024.

Felix leier en leilighet. I oktober 2023 gikk husleien opp og ble satt til \(8500\) kroner per måned.

Husleieloven sier at ny leie kan fastsettes én gang i året, tidligst ett år etter forrige leiefastsetting. Endringen kan ikke overstige endringen i konsumprisindeksen (KPI).

I oktober 2024 fikk Felix varsel fra huseieren om at leien igjen skulle settes opp, og at ny pris ville bli \(9000\) kroner per måned.

Fasit

a) Huseieren hadde ikke lov til å sette opp leien til \(9000\) kr — maksimalt tillatt var \(\underline{\underline{8720{,}44 \, \mathrm{kr}}}\).
b) Se regneark/tabell i løsningsforslaget.
c) Med gjennomsnittlig KPI-vekst som antakelse: \(\underline{\underline{\approx 9559 \, \mathrm{kr/mnd}}}\) fra oktober 2026.

Løsningsforslag

Tabellen nedenfor er laget i regneark (openpyxl) og viser alle beregningene samlet:

a

Vi skal sjekke om en husleieøkning fra \(8500 \, \mathrm{kr}\) til \(9000 \, \mathrm{kr}\) er lovlig i oktober 2024.

Husleieloven sier at økningen ikke kan overstige endringen i KPI. Vi regner ut prosentvis KPI-endring fra oktober 2023 til oktober 2024:

Maksimalt tillatt husleie i oktober 2024 blir da:

Siden \(9000 \, \mathrm{kr} > 8720{,}44 \, \mathrm{kr}\), hadde huseieren ikke lov til å sette opp leien til \(9000 \, \mathrm{kr}\).

Huseieren kan maksimalt sette husleien til \(\underline{\underline{8720{,}44 \, \mathrm{kr}}}\) i oktober 2024.

b

Vi regner ut prosentvis endring i KPI for hvert år:

Utregning for 2021–2022: \(\dfrac{126{,}0 - 117{,}2}{117{,}2} \cdot 100 \approx 7{,}51 \,\%\)

c

Vi vet ikke fremtidig KPI, så vi må gjøre en antakelse. Vi bruker gjennomsnittlig årlig KPI-vekst fra 2021 til 2024 som grunnlag.

Total vekst fra 2021 til 2024 (3 år):

Vi tar utgangspunkt i maks tillatt husleie i oktober 2024 (\(8720{,}44 \, \mathrm{kr}\)):

Med gjennomsnittlig KPI-vekst som antakelse må Felix regne med å betale omtrent \(\underline{\underline{9559 \, \mathrm{kr/mnd}}}\) fra oktober 2026.

Lag presentasjon som viser døds- og fødselsrate

Datamaterialet ovenfor er hentet fra Statistisk sentralbyrås nettsider.

• Fødselsrate og dødsrate er antall fødte og døde per 1000 innbyggere.
• Samlet fruktbarhetstall forteller hvor mange barn som i gjennomsnitt fødes per kvinne.

Tenk deg at du skal presentere dette datamaterialet i et foredrag.

Presentasjonen skal inneholde

• diagrammer som illustrerer utviklingen gjennom perioden fra 1983 til 2023
• beregninger som viser prosentvise endringer fra 1983 til 2023

Fasit

Oppgaven er åpen og har mange mulige svar. Se løsningsforslag for et eksempel.

Løsningsforslag

Figur 2 viser et eksempel på svar på denne oppgaven, hvor jeg viser ulike framstillinger og beregninger.

Siden vi skal skal vise utvikling over tid fra 1983 til 2023 så passer linjediagrammer best. Jeg lager tre ulike linjediagrammer, ett diagram som passer til hver måleenhet (antall, antall per 1000 og antall per kvinne). For å vise beregninger med prosentvise endringer så har jeg laget en tabell som viser prosentvis endring fra 1983 fram til hvert år, og jeg har også vist formlene for beregningene i presentasjonen.