Integral med delvis integrasjon og trigonometri

Fasit

a) \(\dfrac{1}{3}x^3\left(\ln x - \dfrac{1}{3}\right) + C\)
b) \(x = \dfrac{3}{2}\) og \(x = 2\)
c) Like mye positivt og negativt areal mellom 0 og \(x\)

Løsningsforslag

a

Siden vi skal regne ut integralet til produktet av to ulike funksjoner vil jeg forsøke delvis integrasjon. Jeg benytter DI-metoden, og velger at \(x^{2}\) er den faktoren som skal integreres, og \(\ln x\) er faktoren som skal deriveres.

Vi kan altså sette opp

b

Vi løser først det tilhørende ubestemte integralet ved hjelp av variabelskiftet \(u=\pi t+\frac{\pi}{4}\). Da er

Vi gjennomfører variabelskiftet

Vi setter opp det bestemte integralet og setter lik 0.

Vi vet at vi at følgende uttrykk er like

\(x\) er begrenset til intervallet \(\langle 0, \pi\rangle\), derfor får vi kun en gyldig løsning fra likning \((1)\)

Fra likning \((2)\) får vi følgende løsning

Løsningene er \(\underline{\underline{x=\frac{3}{2}}}\) og \(\underline{\underline{x=2}}\).

c

Hvis integralet av \(\int_{0}^{x} f(t) \, dt\) skal være lik 0 så må vi ha nøyaktig like mye areal mellom grafen og \(x\)-aksen på den positive og negative siden av \(x\)-aksen mellom \(0\) og \(x\). For en sinusfunksjon så vil vi like mye areal på begge sider av \(x\)-aksen når funksjonen har gjennomført et heltall antall perioder fra tiden \(t=0\).

Sumformel, kvotient og geometrisk rekke

Fasit

a) \(s_{100} = 20\,100\)
b) \(k = \dfrac{1}{3}\)
c) \(1{,}75757575\ldots = \dfrac{58}{33}\) (bevis)

Løsningsforslag

a

Summen av en aritmetisk rekke er gitt ved

Vi ser at differansen \(d=4\). For å finne ut hvor mange ledd det er i rekka vår kan vi løse

Summen av de 100 første leddene blir altså

b

Vi vet at summen av en uendelig geometrisk rekke som konvergerer er

Vi setter inn verdiene i uttrykket for \(k\)

c

Vi kan omskrive tallet som sum summen av uendelig rekke med ledd på denne måten \(0{,}75757575\ldots=0{,}75+0{,}0075+0{,}000075+\cdots\)

Hvert av disse leddene kan vi skrive om som brøker

Vi ser et mønster hvor hvert ledd er \(\frac{1}{100}\) av det forrige, altså har vi

Vi har altså vist at \(0{,}75757575\dots\) kan skrives som en uendelig geometrisk rekke, og med sumnotasjon blir rekka

Denne uendelig geometrisk rekka har \(a_{1}=\frac{3}{4}\) og \(k=\frac{1}{100}\). Summen av rekka er gitt ved

Siden vi nå vet at \(0{,}75757575+\dots=\frac{25}{33}\) så kan vi vise følgende

Vi har altså vist at \(1{,}75757575\ldots=\frac{58}{33}\).

Telt med vektorer i rommet

Et telt står i en plan skråning. Teltet har tre rette teltstenger som er plassert i punktene \(A(0, 0, 0)\), \(B(3, 1, 2)\) og \(C(-1, 3, 1)\). De tre teltstengene er samlet i toppunktet \(T\).

Lengden av teltstanga fra punkt \(C\) til punkt \(T\) er \(\sqrt{17}\). Teltstanga fra punkt \(A\) til punkt \(T\) følger linja \(\ell\), gitt ved

Fasit

a) \(\dfrac{5}{2}\sqrt{6}\)
b) \(T(1,\ 1,\ 4)\)

Løsningsforslag

a

Jeg vet at arealet til et parallellogram utspent av \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) er gitt ved \(\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert\), derfor må arealet av bunnen av teltet være gitt ved

Arealet er derfor

Arealet av bunnen av teltet er \(\underline{\underline{\frac{5}{2}\sqrt{ 6 }}}\).

b

\(T\) ligger på linja \(\ell\) med parameterframstillingen \(T(t, t, 4t)\). Vi vet at lengden av teltstanga \(CT\) er \(\sqrt{17}\), altså \(|\vec{CT}| = \sqrt{17}\). Vi setter opp:

Fra figuren skal toppunktet befinne seg over \(xy\)-planet, så vi velger \(t=1\).

Koordinatene til toppunktet er \(\underline{\underline{T(1,\,1,\,4)}}\).

Radianer og eksakte trigonometriske verdier

Fasit

a) \(\dfrac{4}{9}\pi\) radianer
b) \(\cos v = -\dfrac{\sqrt{15}}{4}\), \(\tan v = \dfrac{1}{\sqrt{15}}\)

Løsningsforslag

a

Vi tar utgangspunkt i en sirkel med radius \(r=1\) og legger toppunktet til en vinkel \(\theta\) i sentrum av sirkelen. Vinkelbeina vil skjære sirkelperiferien og avgrense en sirkelbue \(b\).

Det absolutte vinkelmålet er forholdet mellom sirkelbuen \(b\) og omkretsen til hele sirkelen.

Vi kan bruke forholdet mellom et vinkelmål og en hel omdreining for å gjøre om fra grader til radianer. La \(\theta\) være det absolutte vinkelmålet til \(80^\circ\), da er

\(80^\circ\) er \(\frac{4}{9}\pi\) radianer.

b

Vi vet at hypotenusen i en enhetssirkel er 1, derfor har vi \(\text{mk}=-\frac{1}{4}\). Lengden av den siste kateten i en slik trekant må være

Vi ser at vinkelen vår må befinne seg i tredje kvadrant siden \(v \in \left[ \pi, \frac{3\pi}{2} \right]\). Det betyr at \(\cos v=-\sqrt{ \frac{15}{16} }\).

\(\tan v\) er gitt ved

Sinusfunksjon og cosinusfunksjon

Figuren viser grafen til funksjonen

Fasit

a) \(g(x) = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x + \pi\right) - 1\)
b) \(x = \dfrac{8}{3}\) og \(x = \dfrac{16}{3}\)

Løsningsforslag

a

Vi kan omskrive en sinusfunksjon til en cosinusfunksjon ved å endre på faseforksyvningen. Likevektslinje, periode og amplitude vil være lik som for sinusfunksjonen.

Vi ser at \(f\) har et bunnpunkt i \((0,-3)\). Vi vet at \(\cos u\) har bunnpunkt når \(u=\pi\), så vi kan faseforskyve med \(\pi\)

b

Vi vet at \(\cos 60\degree=\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\), derfor må \(\cos \left( \frac{\pi}{3}+2k\pi \right)=\frac{1}{2}=\cos \left( \frac{5\pi}{3}+2k\pi \right)\) der \(k \in \mathbb{Z}\). Vi kan løse for \(x\) i to steg. Først setter vi opp likningen

Siden \(x\) er begrenset til \(\left[ 0,3\pi \right]\), så er det kun løsningen \(x=\frac{16}{3}\) som er gyldig fra denne likningen.

Deretter kan vi sette opp

På grunn av avgresningen av \(x\), så får vi kun en gyldig løsning hvis vi velger \(k=-1\).

Likningen har løsningene \(x=\frac{8}{3}\) og \(x=\frac{16}{3}\).

Ball i bevegelse med posisjonsvektor

En ball ruller av taket på et hus og ned på bakken. Vi plasserer et koordinatsystem slik at

• \(y\)-aksen ligger på bakken parallelt med husveggen
• \(x\)-aksen ligger på bakken, står vinkelrett på husveggen og skjærer \(y\)-aksen der ballen forlater hustaket
• \(z\)-aksen angir høyden over bakken med positiv retning oppover

Måleenheten på aksene er meter.

Posisjonen til ballen er gitt ved

der \(t\) er antall sekunder etter at ballen forlater taket.

Fasit

a) 6 m over bakken; posisjon \((1,\ 2,\ 4{,}425)\) etter 0,5 s
b) \(\approx 11{,}8 \, \mathrm{m/s}\)
c) \(t \approx 0{,}84 \, \mathrm{s}\)

Løsningsforslag

a

\(z\)-komponenten til \(\vec{r}(t)\) gir oss høyden ved tiden \(t=0\)

Posisjonen til ballen etter 0,5 s er gitt ved

Kanten av hustaket er 6 meter over bakken og ballen befinner seg i punktet \((1, 2, 4{,}425)\) etter 0,5 sekunder.

b

Vi må først finne ut når ballen treffer bakken, altså når \(\vec{r}_{z}(t)=0\), se linje 1 i GeoGebra. Vi kan se bort fra negative løsninger siden denne modellen kun er gyldig etter at ballen har forlatt kanten av taket.

Farten til ballen er gitt ved

Jeg tolker oppgaven slik at vi kun er interessert i farten og ikke retningen til ballen i det den treffer bakken. Z-komponenten til fartsvektoren er \(\frac{d}{dt}(6-0{,}7t-4{,}9t^{2})=-0{,}7-9{,}8t\). Farten er i så fall gitt ved

Farten når ballen treffer bakken vil være (se linje 2 i GeoGebra)

Farten er \(\underline{\underline{\approx 11{,}8 \text{ m/s}}}\) når ballen treffer bakken.

c

Vi løser likningen (se linje 3 i GeoGebra)

Igjen kan vi se bort fra den negative løsningen.

Farta til ballen er 10 m/s etter \(\underline{\underline{0{,}84}}\) sekunder.

Vurder påstander om rekke, plan og areal

Avgjør om hver enkelt påstand nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

Fasit

a) Usann – tre kollineære punkter bestemmer ikke et entydig plan
b) Usann – rekka divergerer for \(x = \dfrac{1}{e}\)
c) Sann – de to arealene er like store

Løsningsforslag

a

Påstand: Likningen til et plan kan alltid bestemmes av 3 punkter i planet.

Påstanden er usann. Tre punkter bestemmer et entydig plan hvis og bare hvis de ikke er kollineære (ikke ligger på samme rette linje). Hvis tre punkter er kollineære, spenner vektorene \(\vec{AB}\) og \(\vec{AC}\) over det samme retningsrommet, og kryssprodukt \(\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{0}\). Vi får dermed ingen normalvektor og kan ikke bestemme planet entydig.

Moteksempel: La \(A=(0,0,0)\), \(B=(1,0,0)\) og \(C=(2,0,0)\). Disse tre punktene ligger på \(x\)-aksen, og uendelig mange plan inneholder denne linja (f.eks. \(y=0\)-planet, \(z=0\)-planet, \(y=z\)-planet m.fl.).

Påstanden er usann.

b

Jeg vet at summen av en uendelig geometrisk rekke er gitt ved

dersom \(-1< k<1\).

Hvis vi vi lar \(x=\frac{1}{e}\) så vil rekka bli

La oss se hva \(\ln \frac{1}{e}-1\) blir

Det første leddet i rekka er \(a_{1}=1\) og det andre leddet er \(a_{2}=-2\), det vil si at

\(k\) ligger ikke i intervallet \(\langle-1,1\rangle\), og dermed konvergerer ikke rekka.

Påstanden er usann, rekka konvergerer ikke når \(x=\frac{1}{e}\).

c

\(f\) og \(g\) kommer til å avgrense maksimalt 2 områder siden \(f\) er en tredjegradsfunksjon og \(g\) er en andregradsfunksjon. For å finne disse to områdene må vi først finne skjæringspunktene mellom grafene.

Jeg fant skjæringspunktene i GeoGebra. (Vi ser her at kravet om at \(a>-1\) gjør at vi får reelle løsninger).

La oss undersøke arealet av områdene som er avgrenset. Jeg gjør dette i GeoGebra ved å integrere fra skjæringspunkt til skjæringspunkt ved hjelp av IntegralMellom.

Påstanden stemmer. Vi ser at arealene mellom grafene er like store.

Jordbær som omdreiningslegeme

Fasit

\(V \approx 35 \, \mathrm{cm}^3\) (avhenger av målinger fra bildet)

Løsningsforslag

Vi legger et koordinatsystem med origo spissen på jordbæret og måler avstanden fra \(x\)-aksen til kanten av jordbæret. Jeg har gjort dette i GeoGebra ved å sette ut punkter, se figur 1.

Jeg valgte en andregradsmodell siden denne passet «godt nok». Vi ser at modellen følger omrisset av jordbæret relativt godt fram til punkt \(H\). Vi underestimerer volumet mellom \(C\) og \(D\), men vi overestimerer mellom \(D\) og \(E\). Jeg setter integrasjonsgrensen til 3,65 cm siden toppen av jordbæret «bøyer seg tilbake» inn mot stilkfestet.

Jeg beregner volumet som et omdreiningslegeme med \(\pi \int_{a}^{b} \left( f(x) \right)^{2} \, \mathrm{d}x\) i GeoGebra.

Volumet av jordbæret er omtrent \(\underline{\underline{ 35 \mathrm{~cm}^{3} }}\).

Russebil med trigonometrisk fartsfunksjon

Anders og Ivana har kjøpt seg russebil. De skal kjøre bilen til en garasje, men på turen begynner motoren å fuske. Farten \(v\) følger funksjonen

Her er \(v\) gitt i km/t, og \(t\) er antall timer etter at motoren har begynt å fuske.

Når bilen begynner å fuske, er det 2 km til garasjen som bilen skal parkeres i.

Fasit

a) Gjennomsnittsfart 54 km/t etter \(\approx 0{,}00873 \, \mathrm{t}\) (≈ 31 s)
b) Størst akselerasjon ved vendepunktene: \(\approx 0{,}00436 \, \mathrm{t}\) og \(\approx 0{,}01309 \, \mathrm{t}\)
c) \(\approx 0{,}03684 \, \mathrm{t}\) (≈ 2 min 13 s)

Løsningsforslag

a

Vi ser at likevektslinja er ved 54 km/t, og at sinusfunksjonen har amplituden 6 km/t, samt at den er faseforskjøvet slik vi er allerede har toppfarten 60 km/t ved tiden \(t=0\). Dermed kan vi konkludere med at gjennomsnittsfarten må være 54 km/t i det vi kommer til fartens første bunnpunkt. Ut fra grafen i GeoGebra ser vi at dette er etter 0,00873 timer.

Vi kan også finne gjennomsnittet av funksjonen slik vi har gjort i linje 2 i CAS i GeoGebra.

Gjennomsnittsfarten var 54 km/t for første gang etter 0,00873 timer eller 31 sekunder.

b

Bilen har størst akselerasjon i vendepunktene. Alle vendepunktene ligger langs likevektslinja \(y=54\), og vi kan også finne dem ved å løse \(v''(t)=54\), se linje 3 i CAS.

Perioden til funksjonen er 0,01745 timer eller 63 sekunder, se linja mellom \(B\) og \(D\) i figuren.

Akselerasjonen har sin største negative verdi etter 0,00436 timer eller 16 sekunder, og deretter hvert 63 sekund etter dette. Se punkt \(C\) i figuren.

Akselerasjonen har sin største positive verdi etter 0,01309 timer eller 47 sekunder, og deretter hvert 63 sekund etter dette. Se punkt \(D\) i figuren.

c

Vi kan sette opp likningen (se linje 5 i CAS)

Anders og Ivana må kjøre i 0,03684 timer eller ca 2,21 minutter for å komme til garasjen.

Rekursiv formel og programmering

Fasit

a) \(a_{n+1}=a_{n}+n^{2}\)
b) 67 455

Løsningsforslag

a

Jeg setter opp tallene i følgen og sjekker differansene mellom hvert ledd (det er alltid et godt tips for å finne mønstre!). Jeg fant ut at differansene mellom tallene var 1, 4, 9, 16, 25, og disse tallene kjenner jeg igjen som kvadrattallene.

Jeg sjekker om jeg finner en god sammenheng for et av leddene

Jeg ser at jeg kan generalisere denne sammenhengen som

b

Jeg brukte en for-løkke til å regne meg fram til delsummen til ledd nummer 30 og skrev ut svarene i konsollen.

Summen av de 30 første leddene er 67 455.

a = 1
sum = 0
for n in range(1, 31):
   a = a + (n - 1) ** 2  # regner ut nytt ledd
   sum = sum + a         # finner delsummen
   print(f"Ledd {n}: {a}. Delsum {n}: {sum}")

a = 1
sum = 1
for n in range(1, 30):
	a = a + n ** 2
	sum = sum + a
	print(f"Ledd {n + 1}: {a}. Delsum {n + 1}: {sum}")

a = 1
sum = 1
for n in range(2, 31):
   a = (n - 1) ** 2 + a  
   sum = sum + a         
   print(f"Ledd {n}: {a}. Delsum {n}: {sum}")


a = 1
sum = 1
for n in range(1, 31):
	print(f"Ledd {n}: {a}. Delsum {n}: {sum}")
	a = a + n ** 2
	sum = sum + a

Omdreiningslegeme av sirkel om y-aksen

En sirkel har sentrum i \(S(a, 0)\) og har radius \(R < a\). Sirkelen roteres om \(y\)-aksen.

Fasit

\(V = 2\pi^2 R^2 a\) (bevis)

Løsningsforslag

For å gjøre jobben enklere for meg selv så vil jeg flytte sirkelen fra \(S(a,0)\) til \(S^*(0,a)\) og rotere sirkelen om \(x\)-aksen istedenfor om \(y\)-aksen. Sirkelens radius er fremdeles \(R< a\).

En sirkel har likningen \(x^{2}+y^{2}=R^{2}\), eller omskrevet for \(y\) får vi

Der den positive løsningen vil gi oss den øvre halvsirkelen, og den negative løsningen gir oss den nedre halvsirkelen.

Vår sirkel er forskjøvet med \(a\) enheter i positiv \(y\)-retning, derfor er uttrykket for sirkelen vår

Vi kan bruke formelen for omdreiningslegeme for å finne volumet. Vi bruker først formelen for den øvre halvsirkelen og finner dermed volumet av en slags smultring uten hull. Deretter lager vi et hull i smultringen ved å trekke fra volumet av omdreiningslegemet definert av den nedre halvsirkelen.

Formelen for 360º omdreining rundt \(x\)-aksen er

Grensene for integrasjonen er \(x=-R\) og \(x=R\).

\(R\) er positiv, så vi har \(\text{sgn}(R)=1\) i vårt tilfelle (se faktaboks lenger nede for mer info).

Volumet av omdreiningslegemet er \(2\pi^{2} R^{2}a\), som skulle vises.