Ubestemt integral med delvis integrasjon

Fasit

\(4x\sin x + 4\cos x + C\)

Løsningsforslag

Vi bruker delvis integrasjon (DI-metoden):

$$\underline{\underline{ 4(x \sin x + \cos x) + C }}$$

Volum av omdreiningslegeme – kopp

Funksjonen er gitt ved

Innsiden av en kopp har samme form som vi får når vi dreier grafen til \(f\) om førsteaksen i et koordinatsystem der enheten langs aksene er cm.

Fasit

\(V = 90\pi \approx 270 \, \mathrm{cm}^3\)

Løsningsforslag

Koppen dannes når grafen til \(f(x) = \sqrt{x+4}\) dreies om \(x\)-aksen. Volumet av et omdreiningslegeme er gitt ved

Her er \(a = 0\) og \(b = 10\):

Koppen rommer \(\underline{\underline{90\pi \, \mathrm{cm}^3}}\) kakao. Det tilsvarer litt over \(\underline{\underline{ 270 \, \mathrm{cm}^{3} }}\).

Nedenfor ser du grafen til funksjonen \(f\) gitt ved \(f(x)=x^3+x^2-2 x\).

:::

1. \[\\int_{-2}^1 f(x) \\mathrm{~d} x \]
2. \[\\int_{-2}^1 f(x) \\mathrm{~d} x-\\int_0^1 f(x) \\mathrm{~d} x \]
3. \[\\int_{-2}^0 f(x) \\mathrm{~d} x+\\int_0^1 f(x) \\mathrm{~d} x \]
4. \[\\int_{-2}^0 f(x) \\mathrm{~d} x-\\int_0^1 f(x) \\mathrm{~d} x \]

:::

Kristian ønsker å finne en verdi \(a<0\), som er slik at \(\int_a^1 f(x) d x=0\).
Han bruker en kalkulator og finner at \(a \approx -0{,}6\).

Unni påstår at likningen til Kristian har to løsninger.

Fasit

a) 4
b) \(\frac{37}{12}\)
c) Mellom -3 og -2,5.

Løsningsforslag

a

Områder som ligger over \(x\)-aksen vil ha identisk areal og integral. Områder som ligger under \(x\)-aksen vil ha motsatt fortegn på integralet og arealet.

Vi deler derfor opp integrasjonen vår i to deler, en for området over \(x\)-aksen (fra \(x=-2\) til \(x=0\)), og en annen del for området under \(x\)-aksen (fra \(x=0\) til \(x=1\)).

Området fra \(x=-2\) til \(x=0\) ligger over \(x\)-aksen, arealet og integralet er identiske. Området fra \(x=0\) til \(x=1\) ligger under \(x\)-aksen, så arealet og integralet vil ha motsatt fortegn. For å beregne det samlede arealet må vi derfor endre fortegnet til integralet fra \(x=0\) til \(x=1\), altså

Uttrykk 4 gir arealet markert på figuren.

b

Jeg finner først det ubestemte integralet

Arealet er gitt ved

Arealet er \(\underline{\underline{\frac{37}{12}}}\).

c

Likningen til Kristian er sann når vi velger \(a\) slik at vi får nøyaktig like store områder på oversiden og undersiden av \(x\)-aksen.

Fra figuren kan vi se at Kristians beregning ser riktig ut, området som er avgrenset av \(x\)-aksen og \(f(x)\) fra \(x=-0{,}6\) til \(x=1\) ser ut til å ha omtrent like mye areal over og under \(x\)-aksen.

Hvis vi tar \(\int_{-2}^{1} f(x) \, dx\) så må svaret bli positivt siden det er mer areal på oversiden av \(x\)-aksen.

Vi ser videre at \(f(x)\) er negativ for \(x<-2\), altså må det være mulig å velge en verdi for \(a\) som er mindre enn \(-2\) slik at \(\int_{a}^{1} f(x) \, dx=0\).

• Hvis vi velger \(a=-2{,}5\) så ser det ut til at vi har litt mer areal over \(x\)-aksen enn under.
• Hvis vi velger \(a=-3\) så ser det ut til at vi har litt mer areal under \(x\)-aksen enn over.

Likningen til Kristian krever like mye areal på oversiden og undersiden av \(x\)-aksen. Unni har rett i at det finnes to løsninger på likningen, der den andre løsningen ligger i intervallet \(\langle -3, -2{,}5\rangle\).

Trigonometriske likninger og antall løsninger

Ta utgangspunkt i likningen

Fasit

a) \(x = \dfrac{\pi}{3}\) og \(x = \dfrac{4\pi}{3}\)
b) To løsninger: \(|a|>1\) eller \(a=\dfrac{1}{2}\); tre løsninger: \(a=\pm 1\); fire løsninger: \(-1< a<1\) og \(a \neq \dfrac{1}{2}\)

Løsningsforslag

a

I intervallet \([0, 2\pi)\):

\(\underline{\underline{x = \dfrac{\pi}{3}}}\) og \(\underline{\underline{x = \dfrac{4\pi}{3}}}\)

b

Likningen \(\left(\sin x - \dfrac{1}{2}\right)\left(\sin x - a\right) = 0\) gir

\(\sin x = \dfrac{1}{2}\) har to løsninger i \([0, 2\pi)\): \(x = \dfrac{\pi}{6}\) og \(x = \dfrac{5\pi}{6}\).

\(\sin x = a\) kan ha \(0\), \(1\) eller \(2\) løsninger avhengig av \(a\), og eventuelt de samme som \(\sin x = \dfrac{1}{2}\).

To løsninger:

• \(|a| > 1\): \(\sin x = a\) har ingen løsninger. Totalt 2 løsninger fra \(\sin x = \dfrac{1}{2}\).
• \(a = \dfrac{1}{2}\): Begge faktorer gir samme to løsninger. Totalt 2 løsninger.

Tre løsninger:

• \(a = 1\): \(\sin x = 1\) gir \(x = \dfrac{\pi}{2}\) (én ny løsning). Totalt 3 løsninger.
• \(a = -1\): \(\sin x = -1\) gir \(x = \dfrac{3\pi}{2}\) (én ny løsning). Totalt 3 løsninger.

Fire løsninger:

• \(-1 < a < 1\) og \(a \neq \dfrac{1}{2}\): \(\sin x = a\) gir to nye løsninger (ulike fra \(\dfrac{\pi}{6}\) og \(\dfrac{5\pi}{6}\)). Totalt 4 løsninger.

Sanne og usanne påstander om fart og vinkel

Fasit

Påstand 1: Usann. Påstand 2: Sann.

Løsningsforslag

Påstand 1: Usann.

Arealet under en fartsgraf representerer tilbakelagt strekning (posisjon), ikke akselerasjon. Akselerasjon er den deriverte av farten, ikke integralet.

Påstand 2: Sann.

Aritmetisk og geometrisk rekke

Ta utgangspunkt i den aritmetiske rekken

Ta utgangspunkt i den uendelige geometriske rekken

En ball faller fra 2 meters høyde. Hver gang ballen treffer bakken, spretter den opp til en høyde som er 75 % av høyden den falt fra.

Fasit

a) \(825\)
b) \(x \in \left\langle -\dfrac{1}{2},\, \dfrac{3}{2} \right\rangle\)
c) \(14 \, \mathrm{m}\)

Løsningsforslag

a

Den aritmetiske rekken \(-3 + 0 + 3 + \ldots + 69\) har \(a_1 = -3\), \(d = 3\) og siste ledd \(a_n = 69\).

Summen av rekken er \(\underline{\underline{825}}\).

b

Rekken \(5 + 5\cdot\left(\dfrac{1}{2}-x\right) + 5\cdot\left(\dfrac{1}{2}-x\right)^2 + \ldots\) er geometrisk med kvotient \(k = \dfrac{1}{2} - x\).

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \(|k| < 1\):

Konvergensområdet er \(\underline{\underline{x \in \left\langle -\dfrac{1}{2},\, \dfrac{3}{2} \right\rangle}}\).

c

Ballen faller \(2 \, \mathrm{m}\), spretter opp \(2 \cdot 0{,}75 \, \mathrm{m}\), faller ned \(2 \cdot 0{,}75 \, \mathrm{m}\), spretter opp \(2 \cdot 0{,}75^2 \, \mathrm{m}\), osv.

Ballen beveger seg totalt \(\underline{\underline{14 \, \mathrm{m}}}\).

Kuleflate og tangentplan

En likning for en kuleflate \(S\) er gitt ved

En annen kuleflate \(K\) har sentrum i \((1, -1, 3)\) og radius \(2\).

Et plan \(\alpha\) tangerer kuleflaten \(K\) i punktet \(P(3, -1, 3)\).

Et annet plan \(\beta\) er gitt ved

Fasit

a) Sentrum \((2,0,-1)\), radius \(3\)
b) \(x = 3\)
c) Ja, planet skjærer kuleflaten

Løsningsforslag

a

Vi fullfører kvadratene i ligningen \(x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2z = 4\):

Sentrum er \(\underline{\underline{(2,\, 0,\, -1)}}\) og radius er \(\underline{\underline{r = 3}}\).

b

Kule \(K\) har sentrum \(M(1, -1, 3)\) og radius \(2\). Vi sjekker at \(P(3,-1,3)\) ligger på kula:

Normalvektoren til tangentplanet er \(\overrightarrow{MP} = (2, 0, 0)\).

Planet gjennom \(P(3,-1,3)\) med normalvektor \((2,0,0)\):

En likning for plan \(\alpha\) er \(\underline{\underline{x = 3}}\).

c

Avstand fra sentrum \(M(1,-1,3)\) til planet \(\beta\colon 3x + y - 2z + 1 = 0\):

Siden \(d \approx 0{,}80 < 2 = r\), vil planet \(\beta\) skjære gjennom kuleflaten \(K\).

Planet \(\beta\) skjærer gjennom kuleflaten \(\underline{\underline{K}}\).

Induksjonsbevis for geometrisk rekke

Fasit

Se løsningsforslag for fullstendig bevis.

Løsningsforslag

Vi beviser ved induksjon at

Basissteg (\(n = 0\)):

VS \(= 1\), HS \(= \dfrac{4^1 - 1}{3} = \dfrac{3}{3} = 1\). VS \(=\) HS \(\checkmark\)

Induksjonssteg:

Anta at påstanden holder for \(n = k\), dvs.

Vi viser at den da også holder for \(n = k+1\):

Dette er nettopp formelen for \(n = k+1\). Påstanden er bevist ved induksjon. \(\blacksquare\)

Miniubåt, fart og kollisjon med fiskestim

En miniubåt passerer 250 meter under en bøye som ligger på havoverflaten.

I et koordinatsystem der \(x\)-aksen og \(y\)-aksen ligger parallelt med havoverflaten, \(z\)-aksen står normalt på havoverflaten, og enheten langs aksene er meter, er posisjonen til miniubåten \(t\) sekunder etter passeringen gitt ved

Posisjonen til en fiskestim i området \(t\) sekunder etter at miniubåten passerte under bøyen, er gitt ved

Fiskestimen har en tilnærmet kuleform med radius på 15 meter. Miniubåten er 4 meter bred, 5 meter høy og 8 meter lang.

Fasit

a) \(\approx 10{,}3 \, \mathrm{m/s}\)
b) \(312{,}5 \, \mathrm{m}\) under havoverflaten
c) Minimumsavstand \(\approx 39{,}8 \, \mathrm{m}\) — ingen kollisjon

Løsningsforslag

a

Vi definerer posisjonsvektoren, deriverer og beregner farten ved \(t = 2\) i GeoGebra CAS:

Farten til miniubåten etter 2 sekunder er \(\underline{\underline{\approx 10{,}3 \, \mathrm{m/s}}}\).

b

Vi definerer \(z\)-koordinaten, løser \(z'(t) = 0\) og evaluerer minimumsposisjonen i GeoGebra CAS:

CAS gir \(t = 25\) og \(\mathrm{dyp}(25) = -\frac{625}{2} = -312{,}5\).

Miniubåten er dypest \(\underline{\underline{312{,}5 \, \mathrm{m}}}\) under havoverflaten.

c

Vi definerer begge posisjonsvektorene, beregner differansevektoren \(\vec{d}(t) = \vec{r}(t) - \vec{s}(t)\) og avstandsfunksjonen \(A(t) = |\vec{d}(t)|\). Så bruker vi Min(A, 0, 60) for å finne minimumsavstanden numerisk:

CAS gir minimumsavstand \(\approx 39{,}83 \, \mathrm{m}\) ved \(t \approx 8{,}39 \, \mathrm{s}\).

For at miniubåten skal kollidere med fiskestimen, må avstanden mellom sentrene være mindre enn fiskestimens radius (\(15 \, \mathrm{m}\)) pluss halvparten av miniubåtens største tverrsnitt (\(\approx 4 \, \mathrm{m}\)), altså under \(19 \, \mathrm{m}\).

Siden minimumsavstanden \(\approx 39{,}8 \, \mathrm{m} \gg 19 \, \mathrm{m}\), vil miniubåten ikke kollidere med fiskestimen.

Sinusmodell for elektrisk spenning

Tabellen nedenfor viser elektrisk spenning målt i en stikkontakt i Norge.

Nettspenningen i Norge (den elektriske spenningen i vanlige stikkontakter) er 230 V.

Truls lurer på om målingene som er gjort, kan være riktige. Han finner ut at spenningen i kontakten er en vekselspenning. Det betyr at spenningen varierer periodisk med tiden. Når spenningen oppgis å være 230 V, er dette noe som kalles effektivverdien til spenningen og er gitt ved

der \(T\) er perioden til funksjonen \(U\).

Fasit

a) \(U(t) \approx 323\sin(100\pi t)\)
b) \(t \approx 0{,}0025 \, \mathrm{s}\) og \(t \approx 0{,}0075 \, \mathrm{s}\)
c) \(U_{\text{effektiv}} = \dfrac{323}{\sqrt{2}} \approx 229 \, \mathrm{V} \approx 230 \, \mathrm{V}\) — målingene er riktige

Løsningsforslag

a

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og bruker RegSin til å finne en sinusmodell:

RegSin gir

Siden fasevinkelen (\(-0{,}003\)) og konstantleddet (\(-0{,}91\)) er svært nær null, og \(314{,}81 \approx 100\pi\), forenkler vi til

Modellen \(\underline{\underline{U(t) \approx 323\sin(100\pi t)}}\) beskriver spenningen godt.

b

Vi løser \(U(t) = 230\):

Spenningen er \(230 \, \mathrm{V}\) ved \(\underline{\underline{t \approx 0{,}0025 \, \mathrm{s}}}\) og \(\underline{\underline{t \approx 0{,}0075 \, \mathrm{s}}}\).

c

Vi bruker modellen \(U(t) = 323\sin(100\pi t)\) med periode \(T = 0{,}0200 \, \mathrm{s}\):

Siden \(\displaystyle\int_0^T \sin^2(\omega t)\, \mathrm{d}t = \dfrac{T}{2}\) for en hel periode:

Effektivverdien er \(\approx 229 \, \mathrm{V} \approx 230 \, \mathrm{V}\), som stemmer godt med at nettspenningen i Norge er 230 V. Målingene kan være riktige.

CCl4-konsentrasjon og geometrisk rekke

Karbontetraklorid (\(\text{CCl}_4\)) er et skadelig stoff som brytes sakte ned i kroppen og delvis lagres i fettvev. Så lenge konsentrasjonen av \(\text{CCl}_4\) i kroppen er under 10 enheter, klarer leveren å skille ut stoffet som normalt. Når konsentrasjonen overstiger 10 enheter, begynner ammoniakk å hope seg opp i blodet, og det blir potensielt farlig.

Sofie skal bo nær et gammelt industriområde der det har foregått ulovlig dumping av kjemikalier. Hver natt kommer hun til å puste inn \(\text{CCl}_4\) som fordamper fra grunnen og kommer inn på soverommet hennes gjennom ventilasjon og sprekker i kjelleren.

Sofie utsettes for 2 enheter \(\text{CCl}_4\) per natt. Vi regner med at kroppen hennes klarer å skille ut 18 % av total mengde i kroppen i løpet av en dag.

Anta at Sofie kun skiller ut \(\text{CCl}_4\) når hun ikke blir utsatt for stoffet, og at hun bare blir utsatt for \(\text{CCl}_4\) om natten.

Sofie leser en artikkel om \(\text{CCl}_4\) der det blir påstått at en voksen person aldri vil ha mer enn 10 enheter av stoffet i kroppen dersom personen utsettes for 2 enheter \(\text{CCl}_4\) per natt.

Fasit

a) 11 netter
b) 20 %

Løsningsforslag

a

La \(c_n\) være konsentrasjonen rett etter den \(n\)-te natten. Kroppen skiller ut 18 % per dag, så 82 % gjenstår. Hvert døgn tilføres 2 nye enheter:

Dette er en geometrisk rekke med første ledd \(a_1 = 2\) og kvotient \(k = 0{,}82\), som gir sumformelen

Vi definerer \(c(n)\), løser \(c(n) = 10\) og kontrollerer \(c(11)\) og \(c(12)\) i GeoGebra CAS:

CAS gir \(n \approx 11{,}6\), og vi ser at \(c(11) \approx 9{,}86 < 10\) mens \(c(12) \approx 10{,}08 > 10\).

Sofie kan sove \(\underline{\underline{11 \text{ netter}}}\) på soverommet sitt før konsentrasjonen når et potensielt farlig nivå.

b

Grenseverdien til \(c_n\) når \(n \to \infty\) er \(\dfrac{2}{1-k}\) der \(k\) er andelen som gjenstår etter utskillelse. For at konsentrasjonen aldri skal overstige 10 enheter, må grenseverdien være \(\leq 10\):

Vi løser for \(k\) i GeoGebra CAS:

CAS gir \(k = \dfrac{4}{5}\), og utskillelsesprosenten er \(1 - k = \dfrac{1}{5} = 20\,\%\).

Artikkelen antar at kroppen skiller ut \(\underline{\underline{20 \,\%}}\) av \(\text{CCl}_4\)-mengden per dag.

Programmering og numerisk integrasjon

Funksjonen \(f\) er gitt ved

Programmet nedenfor beregner arealet avgrenset av grafen til \(f\), \(x\)-aksen og linjene \(x = 0\) og \(x = 2\) ved hjelp av to ulike metoder.

12345678910111213141516171819202122232425start = 0
slutt = 2
n = 100

dx = (slutt-start)/n

def f(x):
    return 3**(2*x)

def areal_til_hoyre():
    areal = 0
    for i in range(n):
        x = start + i*dx
        areal = areal + f(x)*dx
    return areal

def areal_til_venstre():
    areal = 0
    for i in range(1, n+1):
        x = start + i*dx
        areal = areal + f(x)*dx
    return areal

print(areal_til_hoyre())
print(areal_til_venstre())

1234567891011121314151617start = 0
slutt = 2
n = 100

dx = (slutt-start)/n

def f(x):
    return 3** (2*x)

def bedre_metode():
    areal = 0
    
    #Skriv ny kode her
    
    return areal
    
print(bedre_metode())

Fasit

a) areal_til_hoyre bruker venstre endepunkter (for lav), areal_til_venstre bruker høyre endepunkter (for høy)
b) Trapesmetode: (f(x) + f(x+dx)) / 2 * dx

Løsningsforslag

a

Funksjonen \(f(x) = 3^{2x} = 9^x\) er strengt stigende på \([0, 2]\).

For en stigende funksjon gjelder:

• areal_til_hoyre() bruker venstre endepunkt (\(x = 0, \Delta x, 2\Delta x, \ldots\)) i hvert delintervall. Venstre endepunkt gir den minste funksjonsverdien → summerer for lav verdi.
• areal_til_venstre() bruker høyre endepunkt (\(x = \Delta x, 2\Delta x, \ldots, 2\)). Høyre endepunkt gir den største funksjonsverdien → summerer for høy verdi.

Det faktiske arealet (nøyaktig) er \(\displaystyle\int_0^2 9^x \, \mathrm{d}x = \frac{9^2-1}{\ln 9} \approx 36{,}4\).

b

En bedre metode er trapesmetoden: vi bruker gjennomsnittet av funksjonsverdiene i begge endepunktene av hvert delintervall.

start = 0
slutt = 2
n = 100

dx = (slutt-start)/n

def f(x):
    return 3**(2*x)

def bedre_metode():
    areal = 0
    for i in range(n):
        x = start + i*dx
        areal = areal + (f(x) + f(x + dx)) / 2 * dx
    return areal

print(bedre_metode())

Trapesmetoden gir \(\approx 36{,}415\), som er svært nær den eksakte verdien \(\approx 36{,}410\).