№	Navn	Poeng	LF
1-1	Bestemt integral og areal	4	✔︎
1-2	Ubestemt integral med substitusjon	2	KI
1-3	Ukjent program S2 v24	4	✔︎
1-4	Trekant og plan i rommet	8	KI
1-5	Sinusfunksjon og egenskaper	4	KI

№	Navn	Poeng	LF
2-1	Fotball hjørnespark og vektorer	6	KI
2-2	Volum av pære med omdreiningslegeme	2	KI
2-3	Sensor for utelys og trigonometri	6	KI
2-4	Kubikktall og induksjonsbevis	6	✔︎
2-5	Kuleflate og plan	4	KI
2-6	Sum av integralrekke	2	✔︎

Bestemt integral og areal

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[f(x)=-x^{3}+3x \]

Oppgave

Regn ut integralet
\[\int_{-1}^{0} f(x) \, dx \]

b) Bestem arealet av området som er avgrenset av grafen til \(f\), \(x\)-aksen og linjene \(x=-1\) og \(x=1\)

Fasit

a) \(-\frac{5}{4}\)
b) \(\frac{5}{2}\)

Løsningsforslag

a

\[\begin{aligned} \int_{-1}^{0} \left( -x^{3}+3x \right) \, dx& \\ \left[ -\frac{1}{4}x^{4}+\frac{3}{2}x^{2} \right]_{-1}^0& \\ 0-\left( -\frac{1}{4}(-1)^{4} + \frac{3}{2}(-1)^{2} \right)& \\ -\left( -\frac{1}{4} + \frac{3}{2} \right)&=-\frac{5}{4} \end{aligned} \]

Integralet er \(\underline{\underline{-\frac{5}{4}}}\).

b

Jeg finner først nullpunktene ved å faktorisere uttrykket.

\[f(x)=-x^{3}+3x=-x(x^{2}-3)=-x\left(x^{2}-\left( \sqrt{ 3 } \right)^{2} \right) = -x(x+\sqrt{ 3 })(x-\sqrt{ 3 }) \]

Vi har nullpunkter når \(f(x)=0\). Det vil si at vi har nullpunkter når \(x=-\sqrt{ 3 }, x=0, x=\sqrt{ 3 }\). Det er kun nullpunktet \(x=0\) som ligger mellom \(x=-1\) og \(x=1\).

For å finne ut om funksjonen er positiv eller negativ i intervallene så sjekker jeg funksjonsverdien i \(x=-1\) og \(x=1\).

\[f(-1)=-(-1)^{3}+3(-1)=1-3=-2 \]

\[f(1)=-(1)^{3}+3 \cdot 1=-1+3=2 \]

Alternativ måte å sjekke hvor funksjonen er positiv og negativ

Siden integralet \(\int_{-1}^{0} f(x) \, d < 0\) og det ikke finnes noen nullpunkter for \(x \in \langle-1, 0 \rangle\), så må \(f\) være negativ når \(x \in \langle-1, 0 \rangle\)

\(f\) er altså negativ i intervallet \([-1, 0\rangle\) og positiv i intervallet \(\langle 0 , 1]\). Vi finner arealet ved å ta integralene av hver del (og husker minustegn foran integralet til området som ligger under \(x\)-aksen).

\[\begin{aligned} A&=-\int_{-1}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{1} f(x) \, dx \\ A&=- \left( -\frac{5}{4} \right) +\left[ -\frac{1}{4}x^{4}+\frac{3}{2}x^{2} \right]_{0}^1 \\ A&=\frac{5}{4} + -\frac{1}{4}+\frac{3}{2}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2} \end{aligned} \]

Arealet av området er \(\underline{\underline{\frac{5}{2}}}\).

Antisymmetri

Du kan utnytte antisymmetrien til \(f\) til å argumentere for at arealet avgrenset av \(x=-1\), \(f\), \(x\)-aksen og \(x=0\) vil være like stort som arealet avgrenset av \(f\), \(x\)-aksen, \(x=0\) og \(x=1\).

Oppgave 1-2 (2 poeng)

Ubestemt integral med substitusjon

Oppgave

Regn ut integralet.

\[\int \sin^3(x) \cdot \cos(x) \, \mathrm{d}x \]

Fasit

Løsningsforslag R2 eksamen V2024#Oppgave 1-2

Fasit

\(\underline{\underline{\dfrac{\sin^4(x)}{4} + C}}\)

Løsningsforslag

Vi bruker substitusjonen

\[u = \sin(x) \implies \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \cos(x) \implies \mathrm{d}u = \cos(x)\,\mathrm{d}x \]

Integralet skrives om:

\[\int \sin^3(x) \cdot \cos(x)\,\mathrm{d}x = \int u^3\,\mathrm{d}u \]

Vi integrerer:

\[\int u^3\,\mathrm{d}u = \frac{u^4}{4} + C \]

Vi substituerer tilbake \(u = \sin(x)\):

\[\frac{u^4}{4} + C = \mathbf{\underline{\underline{\dfrac{\sin^4(x)}{4} + C}}} \]

Oppgave 1-3 (4 poeng)

Ukjent program S2 v24

En elev har laget programmet under.

12345678n = 0
S = 0

while S <= 200:
	n = n + 1
	S = S + 4*n - 2

print(n)

Oppgave

Forklar hva eleven prøver å finne ut.
Finn verdien eleven får skrevet ut når programmet kjøres.

Fasit

a) Delsummer av aritmetisk rekke hvor hvert ledd er gitt ved \(a_{n}=4n-2\)
b) 11

Løsningsforslag

a

Programmet viser en aritmetisk følge hvor hvert ledd er gitt av \(a_{n}=4n-2\) for \(n>0\). Programmet regner ut delsummene, \(S_{n}\), til den tilhørende rekka.

Programmet finner ut hvilket ledd i rekka som gjør at delsummen blir over 200.

b

Siden tallfølgen er aritmetisk kan vi regne ut summen av de \(n\) første leddene med

\[S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}n \]

Jeg vet at summen skal være over 200, at \(a_{1}=2\) og jeg kan erstatte \(a_{n}\) med \(4n-2\). Dette gir

\[\begin{aligned} 200&=\frac{2+4n-2}{2}n\\ 200&=2n^{2}\\ 100&=n^{2}\\ 10&=n \end{aligned} \]

\(n=10\) gir oss altså nøyaktig delsummen \(S_{10}=200\). \(n=11\) gir oss den første delsummen som er over 200.

Programmet skriver ut 11.

Oppgave 1-4 (8 poeng)

Trekant og plan i rommet

Vi har gitt punktene \(A(1, 1, 0)\), \(B(4, 1, 1)\) og \(C(2, 0, -1)\).

Oppgave

Bestem arealet av trekanten \(\triangle ABC\).
Bestem avstanden fra punktet \(C\) til linja gjennom \(A\) og \(B\).

\(A\), \(B\) og \(C\) ligger i planet \(\alpha\). Punktet \(P\) har koordinatene \(P(-2, 1, 4)\).

Oppgave

Lag en parameterframstilling for linja \(\ell\) som går gjennom punktet \(P\) og står vinkelrett på planet \(\alpha\).

En rett linje \(m\) går gjennom punktet \(P\), er parallell med planet \(\alpha\) og skjærer \(z\)-aksen i punktet \(D\).

Oppgave

Bestem koordinatene til \(D\).

Fasit

Løsningsforslag R2 eksamen V2024#Oppgave 1-4

Fasit

a) \(\underline{\underline{\text{Areal} = \dfrac{\sqrt{26}}{2} \approx 2{,}55}}\)
b) \(\underline{\underline{d = \dfrac{\sqrt{65}}{5} \approx 1{,}61}}\)
c) \(\underline{\underline{\ell \colon (x, y, z) = (-2 + t,\ 1 + 4t,\ 4 - 3t)}}\)
d) \(\underline{\underline{D = \left(0,\ 0,\ \dfrac{10}{3}\right)}}\)

Løsningsforslag

a

Vi finner vektorene \(\overrightarrow{AB}\) og \(\overrightarrow{AC}\):

\[\overrightarrow{AB} = B - A = (4-1,\ 1-1,\ 1-0) = (3, 0, 1) \]

\[\overrightarrow{AC} = C - A = (2-1,\ 0-1,\ -1-0) = (1, -1, -1) \]

Kryssprodukt:

\[\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} \]

\[= \mathbf{i}(0\cdot(-1) - 1\cdot(-1)) - \mathbf{j}(3\cdot(-1) - 1\cdot 1) + \mathbf{k}(3\cdot(-1) - 0\cdot 1) \]

\[= \mathbf{i}(0+1) - \mathbf{j}(-3-1) + \mathbf{k}(-3-0) = (1, 4, -3) \]

Lengden av kryssproduktet:

\[|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26} \]

Arealet av trekanten er halvparten av parallelogrammet utspent av \(\overrightarrow{AB}\) og \(\overrightarrow{AC}\):

\[\text{Areal} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{\sqrt{26}}{2} \approx \mathbf{2{,}55} \]

b

Avstanden fra et punkt \(C\) til linja gjennom \(A\) og \(B\) er:

\[d = \frac{|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|} \]

Vi beregner \(|\overrightarrow{AB}|\):

\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{10} \]

Dermed:

\[d = \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{26}{10}} = \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{260}}{10} = \frac{\sqrt{4 \cdot 65}}{10} = \frac{2\sqrt{65}}{10} = \frac{\sqrt{65}}{5} \approx \mathbf{1{,}61} \]

c

Linja \(\ell\) gjennom \(P(-2, 1, 4)\) og vinkelrett på planet \(\alpha\) har retningsvektor lik normalvektoren til \(\alpha\).

Normalvektoren til \(\alpha\) er \(\mathbf{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (1, 4, -3)\) (beregnet i oppgave a).

Parameterframstilling for \(\ell\):

\[\ell \colon (x, y, z) = (-2, 1, 4) + t(1, 4, -3) = (-2 + t,\ 1 + 4t,\ 4 - 3t), \quad t \in \mathbb{R} \]

d

Punkt \(D\) ligger på \(z\)-aksen, så \(D = (0, 0, d)\) for et tall \(d\).

Linja \(m\) gjennom \(P(-2, 1, 4)\) og \(D\) er parallell med planet \(\alpha\). Det betyr at retningsvektoren \(\overrightarrow{PD}\) er vinkelrett på normalvektoren \(\mathbf{n} = (1, 4, -3)\).

Vi beregner \(\overrightarrow{PD}\):

\[\overrightarrow{PD} = D - P = (0-(-2),\ 0-1,\ d-4) = (2, -1, d-4) \]

Betingelsen \(\overrightarrow{PD} \perp \mathbf{n}\) gir \(\overrightarrow{PD} \cdot \mathbf{n} = 0\):

\[1 \cdot 2 + 4 \cdot (-1) + (-3)(d-4) = 0 \]

\[2 - 4 - 3d + 12 = 0 \]

\[10 - 3d = 0 \]

\[d = \frac{10}{3} \]

Dermed er \(D = \left(0,\ 0,\ \dfrac{10}{3}\right)\).

Oppgave 1-5 (4 poeng)

Sinusfunksjon og egenskaper

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[f(x) = 2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}x - \frac{\pi}{3}\right) - 1, \quad D_f = \langle 0, 20 \rangle. \]

Oppgave

Løs likningen \(f(x) = 0\).
Finn amplituden, likevektslinja, perioden og forskyvningen langs likevektslinja.

Fasit

Løsningsforslag R2 eksamen V2024#Oppgave 1-5

Fasit

a) \(\underline{\underline{x \in \{3,\, 7,\, 15,\, 19\}}}\)
b) Amplitude: \(\underline{\underline{2}}\), likevektslinje: \(\underline{\underline{y = -1}}\), periode: \(\underline{\underline{12}}\), forskyvning: \(\underline{\underline{2 \text{ mot høyre}}}\)

Løsningsforslag

a

Vi skal løse \(f(x) = 0\):

\[2\sin\!\left(\frac{\pi}{6}x - \frac{\pi}{3}\right) - 1 = 0 \]

\[\sin\!\left(\frac{\pi}{6}x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \]

Vi setter \(u = \dfrac{\pi}{6}x - \dfrac{\pi}{3}\) og løser \(\sin u = \dfrac{1}{2}\).

Sinus er \(\dfrac{1}{2}\) for \(u = \dfrac{\pi}{6} + 2n\pi\) og \(u = \pi - \dfrac{\pi}{6} + 2n\pi = \dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi\), der \(n \in \mathbb{Z}\).

Tilfelle 1:

\[\frac{\pi}{6}x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2n\pi \]

\[\frac{\pi}{6}x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2n\pi = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \]

\[x = 3 + 12n \]

Tilfelle 2:

\[\frac{\pi}{6}x - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi \]

\[\frac{\pi}{6}x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2n\pi = \frac{7\pi}{6} + 2n\pi \]

\[x = 7 + 12n \]

Vi finner løsningene i \(D_f = \langle 0, 20 \rangle\):

Tilfelle 1: \(x = 3 + 12n\) gir \(x = 3\) (for \(n=0\)) og \(x = 15\) (for \(n=1\)).
Tilfelle 2: \(x = 7 + 12n\) gir \(x = 7\) (for \(n=0\)) og \(x = 19\) (for \(n=1\)).

\(\underline{\underline{x \in \{3,\, 7,\, 15,\, 19\}}}\)

b

Vi skriver funksjonen om til standardform \(f(x) = A\sin\!\left(\frac{2\pi}{T}(x - x_0)\right) + d\):

\[f(x) = 2\sin\!\left(\frac{\pi}{6}(x - 2)\right) - 1 \]

Dette leser vi av slik (vi trekker ut \(\dfrac{\pi}{6}\) fra parentesen: \(\dfrac{\pi}{6}x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6}(x-2)\)):

Amplitude: \(A = \textcolor{seagreen}{2}\)
Likevektslinje: \(y = \textcolor{steelblue}{-1}\) (vertikal forskyvning \(d = -1\))
Periode: \(T = \dfrac{2\pi}{\pi/6} = 12\)
Horisontal forskyvning: \(x_0 = \textcolor{tomato}{2}\) mot høyre (grafen er forskjøvet 2 enheter i positiv \(x\)-retning sammenlignet med \(2\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}x\right) - 1\))

Del 2

Oppgave 2-1 (6 poeng)

Fotball hjørnespark og vektorer

En fotballspiller skal ta et hjørnespark (corner) på en fotballbane. Posisjonen \(\vec{r}\) til ballen etter \(t\) sekunder er gitt ved

\[\vec{r}(t) = [30t,\ 5t,\ 7t - 4{,}9t^2]. \]

Her er posisjonen gitt i meter, og koordinatsystemet er lagt slik at origo er i hjørnet av fotballbanen, \(x\)-aksen går langs kortsiden og \(y\)-aksen går langs langsiden.

Oppgave

Hvor stor er farten til ballen idet den blir skutt?
Hvor langt fra hjørnemerket er ballen når den treffer fotballbanen igjen?
Hvor stor er farten til ballen når den er på sitt høyeste? Hvor høyt over fotballbanen er ballen da?

Fasit

Løsningsforslag R2 eksamen V2024#Oppgave 2-1

Fasit

a) \(\underline{\underline{|\vec{v}(0)| = \sqrt{974} \approx 31{,}2 \, \mathrm{m/s}}}\)
b) Ballen lander \(\dfrac{50\sqrt{37}}{7} \approx 43{,}4 \, \mathrm{m}\) fra hjørnemerket.
c) \(\underline{\underline{|\vec{v}| = 5\sqrt{37} \approx 30{,}4 \, \mathrm{m/s}}}\), høyde \(\underline{\underline{2{,}5 \, \mathrm{m}}}\)

Løsningsforslag

Vi bruker GeoGebra CAS til å definere posisjonsvektoren og beregne alle størrelser.

GeoGebra CAS – hjørnespark-vektorer

a

Farten er lengden av hastighetsvektoren \(\vec{v}(t) = \vec{r}'(t)\).

Vi definerer \(\vec{r}(t) = (30t,\ 5t,\ 7t - 4{,}9t^2)\) og deriverer (linje 1–2 i CAS).

Ved \(t = 0\) (idet ballen sparkes) gir CAS:

\[\vec{v}(0) = (30,\ 5,\ 7) \]

\[|\vec{v}(0)| = \sqrt{30^2 + 5^2 + 7^2} = \sqrt{900 + 25 + 49} = \sqrt{974} \approx 31{,}2 \]

Farten til ballen idet den blir skutt er \(\underline{\underline{\sqrt{974} \approx 31{,}2 \, \mathrm{m/s}}}\).

b

Ballen treffer banen igjen når \(z\)-koordinaten er 0 (og \(t > 0\)). Vi setter opp likningen

\[7t - 4{,}9t^2 = 0 \]

CAS gir \(t = 0\) eller \(t = \dfrac{10}{7}\) s (linje 5). Vi bruker \(t = \dfrac{10}{7}\).

Posisjonen ved landing er (linje 6):

\[\vec{r}\!\left(\frac{10}{7}\right) = \left(\frac{300}{7},\ \frac{50}{7},\ 0\right) \]

Avstand fra origo (hjørnemerket) er lengden av \((x, y)\)-komponenten:

\[d = \sqrt{\left(\frac{300}{7}\right)^{\!2} + \left(\frac{50}{7}\right)^{\!2}} = \frac{50\sqrt{37}}{7} \approx 43{,}4 \]

CAS bekrefter dette i linje 7.

Ballen er \(\underline{\underline{\dfrac{50\sqrt{37}}{7} \approx 43{,}4 \, \mathrm{m}}}\) fra hjørnemerket når den treffer banen.

c

Ballen er på sitt høyeste når \(z\)-komponenten av hastighetsvektoren er null:

\[v_z = 7 - 9{,}8t = 0 \implies t = \frac{5}{7} \, \mathrm{s} \]

CAS bekrefter \(t = \dfrac{5}{7}\) i linje 8.

Da er hastighetsvektoren (linje 9):

\[\vec{v}\!\left(\frac{5}{7}\right) = (30,\ 5,\ 0) \]

Farten er (linje 10):

\[|\vec{v}| = \sqrt{30^2 + 5^2} = \sqrt{925} = 5\sqrt{37} \approx 30{,}4 \, \mathrm{m/s} \]

Høyden ved dette tidspunktet er:

\[z\!\left(\frac{5}{7}\right) = 7 \cdot \frac{5}{7} - 4{,}9 \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^{\!2} = 5 - \frac{49}{10} \cdot \frac{25}{49} = 5 - 2{,}5 = 2{,}5 \]

Farten på det høyeste punktet er \(\underline{\underline{5\sqrt{37} \approx 30{,}4 \, \mathrm{m/s}}}\), og ballen er da \(\underline{\underline{2{,}5 \, \mathrm{m}}}\) over fotballbanen.

Oppgave 2-2 (2 poeng)

Volum av pære med omdreiningslegeme

Bildet nedenfor viser halve snittflaten til en pære som er skåret over på midten. Bildet er satt inn i et koordinatsystem. Enheten langs begge aksene er centimeter.

Pæresnitt i koordinatsystem

Oppgave

Bruk informasjonen i bildet til å bestemme det omtrentlige volumet av pæra.

Fasit

\(\underline{\underline{V \approx 310 \, \mathrm{cm}^3}}\)

Løsningsforslag

Vi skal bestemme det omtrentlige volumet av pæra ved å modellere konturen med en funksjon og beregne volumet av omdreiningslegemet rundt \(x\)-aksen.

Steg 1 – Les av datapunkter fra bildet

Vi leser av omtrentlige koordinater langs den øvre kanten av pærekonturen (halvt snitt) fra koordinatsystemet i bildet. Enheten er centimeter:

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)	\(10\)	\(11\)	\(12\)
\(y\)	\(1{,}0\)	\(2{,}1\)	\(3{,}0\)	\(3{,}6\)	\(3{,}9\)	\(3{,}9\)	\(3{,}7\)	\(3{,}4\)	\(2{,}9\)	\(2{,}2\)	\(1{,}4\)	\(0{,}7\)	\(0{,}0\)

Pæra strekker seg fra \(x = 0\) til \(x \approx 12 \, \mathrm{cm}\), med maksimal bredde \(y \approx 3{,}9 \, \mathrm{cm}\) ved \(x \approx 4{-}5 \, \mathrm{cm}\).

Steg 2 – Finn regresjonspolynom i GeoGebra

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og bruker polynomregresjon av grad 4 (Polynomregresjon(L, 4) der L er listen av punkter). Dette gir funksjonen \(f\) som modellerer halve pærekonturen:

\[f(x) \approx 0{,}000312x^4 - 0{,}001838x^3 - 0{,}1356x^2 + 1{,}2739x + 0{,}9923 \]

Datapunkter og regresjonskurve for pærekonturen

Kurven passer godt til de avleste punktene.

Steg 3 – Beregn volumet med CAS

Volumet av omdreiningslegemet som dannes når grafen til \(f\) roteres rundt \(x\)-aksen er gitt ved:

\[V = \pi \int_0^{12} (f(x))^2 \, \mathrm{d}x \]

Vi beregner integralet i GeoGebra CAS:

CAS-beregning av volumet

GeoGebra gir \(V \approx 309{,}55 \, \mathrm{cm}^3\).

Svar: Det omtrentlige volumet av pæra er \(\underline{\underline{V \approx 310 \, \mathrm{cm}^3}}\).

Oppgave 2-3 (6 poeng)

Sensor for utelys og trigonometri

En sensor skal slå på utelyset foran ytterdøra til et hus. Lyset blir slått på \(T(x)\) timer etter midnatt. \(T(x)\) er gitt ved

\[T(x) = 4 \cdot \sin(0{,}0055\pi \cdot x - 0{,}5\pi) + 19. \]

\(x\) er antall dager etter 31. desember 2023 slik at \(x = 1\) svarer til 1. januar 2024. Tidspunktet sensoren slår på utelyset, varierer fra kl. 15:00 til kl. 23:00, og det varierer periodisk i løpet av et år. Den 1. april slår lyset seg på kl. 19:00.

Oppgave

Forklar hvordan de ulike verdiene i modellen \(T(x)\) passer med opplysningene gitt ovenfor.
Når i 2024 vil tidspunktet da lyset slår seg på, flytte seg 3 minutter per dag?
Når endrer dette tidspunktet seg raskest, og hvor stor er endringen da?

Fasit

Løsningsforslag R2 eksamen V2024#Oppgave 2-3

Fasit

a) Se forklaring i løsningsforslaget.
b) Tidspunktet endrer seg 3 minutter per dag rundt \(\underline{\underline{16. \text{ februar}}}\), \(\underline{\underline{14. \text{ mai}}}\), \(\underline{\underline{16. \text{ august}}}\) og \(\underline{\underline{12. \text{ november}}}\).
c) Tidspunktet endrer seg raskest rundt \(\underline{\underline{31. \text{ mars}}}\) (og 29. september) med ca. \(\underline{\underline{4{,}1 \text{ min/dag}}}\).

Løsningsforslag

a

Modellen er \(T(x) = 4 \cdot \sin(0{,}0055\pi \cdot x - 0{,}5\pi) + 19\).

Likevektslinjen 19 svarer til gjennomsnittet av minimums- og maksimumsverdi:

\[\frac{15 + 23}{2} = 19 \checkmark \]

Amplituden 4 svarer til halvparten av variasjonsbredden:

\[\frac{23 - 15}{2} = 4 \checkmark \]

Tidspunktet varierer altså mellom \(19 - 4 = 15\) (kl. 15:00) og \(19 + 4 = 23\) (kl. 23:00).

Perioden finner vi fra koeffisienten foran \(x\) i argumentet:

\[P = \frac{2\pi}{0{,}0055\pi} = \frac{2}{0{,}0055} \approx 363{,}6 \text{ dager} \approx 1 \text{ år} \checkmark \]

Faseforskyvningen \(-0{,}5\pi\) gir minimum der \(\sin = -1\), altså når

\[0{,}0055\pi \cdot x - 0{,}5\pi = -0{,}5\pi \implies x = 0 \]

\(x = 0\) svarer til 31. desember 2023, og minimum \(T = 15\) (kl. 15:00) tidligst på vinteren er rimelig.

Kontroll 1. april (\(x = 91\), siden januar har 31 dager, februar 29 (skuddår) og mars 31):

\[T(91) = 4 \cdot \sin(0{,}0055\pi \cdot 91 - 0{,}5\pi) + 19 \approx 19{,}01 \approx 19 \checkmark \]

Lyset slår seg på ca. kl. 19:00 den 1. april.

b

Vi bruker GeoGebra CAS til å definere \(T(x)\), beregne den deriverte og løse \(|T'(x)| = 0{,}05\) (siden \(3 \text{ min/dag} = 0{,}05 \text{ t/dag}\)).

GeoGebra CAS: T(x), derivert og løsninger av T'(x)=±0,05

Fra CAS-utklippet ser vi:

\[T'(x) = \frac{11}{500}\pi \cdot \cos\left(\frac{11}{2000}\pi x - \frac{1}{2}\pi\right) \approx 0{,}06912 \cdot \cos(0{,}01728x - 1{,}5708) \]

\(T'(x) = 0{,}05\) (lyset slår seg på 3 min senere per dag):

\[x \approx 46{,}81 \quad \text{og} \quad x \approx 135{,}01 \]

\(T'(x) = -0{,}05\) (lyset slår seg på 3 min tidligere per dag):

\[x \approx 228{,}62 \quad \text{og} \quad x \approx 316{,}83 \]

Vi konverterer til datoer (med \(x = 1\) som 1. januar 2024):

\(x\)	Dato	Beskrivelse
\(47\)	ca. 16. februar	Lyset slår seg på 3 min/dag senere
\(135\)	ca. 14. mai	Lyset slår seg på 3 min/dag senere
\(229\)	ca. 16. august	Lyset slår seg på 3 min/dag tidligere
\(317\)	ca. 12. november	Lyset slår seg på 3 min/dag tidligere

Tidspunktet endrer seg 3 minutter per dag rundt 16. februar, 14. mai, 16. august og 12. november.

c

\(|T'(x)|\) er størst når \(|\cos(\ldots)| = 1\), altså når cosinus-leddet er \(\pm 1\).

Maksimalt positiv endring (lyset slår seg på senest mulig per dag): \(\cos(\ldots) = 1\), som gir

\[0{,}0055\pi \cdot x - 0{,}5\pi = 0 \implies x = \frac{0{,}5}{0{,}0055} = \frac{1000}{11} \approx 90{,}9 \]

\(x \approx 91\) svarer til ca. 31. mars / 1. april.

Fra CAS-utklippet: xMaks := 90,909 og Maks := 0,06912.

Den største endringsraten er

\[|T'(x)|_{\max} = 0{,}022\pi \approx 0{,}06912 \text{ t/dag} = 0{,}06912 \cdot 60 \approx 4{,}1 \text{ min/dag} \]

Tilsvarende skjer den raskeste negative endringen (lyset slår seg på tidligere) en halv periode senere:

\[x \approx 90{,}9 + \frac{363{,}6}{2} \approx 272{,}7 \approx \text{29. september} \]

Tidspunktet sensoren slår på lyset endrer seg raskest rundt 31. mars (og 29. september), med ca. \(\underline{\underline{4{,}1 \text{ min/dag}}}\).

Oppgave 2-4 (6 poeng)

Kubikktall og induksjonsbevis

<sodipodi:namedview
id="namedview202"
pagecolor="#ffffff"
bordercolor="#000000"
borderopacity="0.25"
inkscape:showpageshadow="2"
inkscape:pageopacity="0.0"
inkscape:pagecheckerboard="0"
inkscape:deskcolor="#d1d1d1"
inkscape:zoom="0.13191608"
inkscape:cx="386.60943"
inkscape:cy="98.547501"
inkscape:window-width="1512"
inkscape:window-height="913"
inkscape:window-x="3"
inkscape:window-y="38"
inkscape:window-maximized="0"
inkscape:current-layer="svg202" />

De fem første kubikktallene er \(1^{3}, 2^{3}, 3^{3}, 4^{3}\) og \(5^{3}\), se figuren over. La \(S_{n}\) være summen av de \(n\) første kubikktallene.

Oppgave

Beskriv den rekursive sammenhengen mellom \(S_{n}\) og \(S_{n+1}\). Bestem en eksplisitt formel for \(S_{n}\).
Lag et program som regner ut \(S_{50}\) ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a.
Bruk induksjonsbevis til å bevise den eksplisitte formelen for \(S_{n}\).

Fasit

a) \(S_{n+1}=S_{n}+(n+1)^{3}\) og \(S_{n}=\frac{1}{4}\left( n^{4}+2n^{3}+n^{2} \right)\)
b) \(S_{50}=1\,625\,625\)

Løsningsforslag

a

Jeg setter opp de første leddene og ser om jeg finner en rekursiv sammenheng som jeg kan bruke.

\[\begin{aligned} S_{1}&=1^{3}\\ S_{2}&=1^{3}+2^{3}=S_{1}+2^{3}\\ S_{3}&=1^{3}+2^{3}+3^{3}=S_{2}+3^{3} \end{aligned} \]

Jeg ser at hvert ledd er det forrige leddet, pluss det neste kubikktallet. En rekursiv sammenheng mellom summene er altså

\[\underline{\underline{S_{n+1}=S_{n}+(n+1)^{3}}} \]

For å bestemme en eksplisitt formel brukte jeg regresjon i GeoGebra.

En eksplisitt formel for summene er

\[S_{n}=\underline{\underline{\frac{1}{4}\left( n^{4}+ 2n^{3}+n^{2} \right)}} \]

b

Jeg bruker følgende program

S = 0 # starter summen på 0

for n in range(1, 51):
	# kjører løkka 50 ganger
	S = S + n**3 #legger n^3 til S

print(S)

Programmet gir at \(S_{50}=1 \, 625 \, 625\).

c

Påstanden vår er at

\[S_{n}=\frac{1}{4}\left( n^{4}+ 2n^{3}+n^{2} \right), \quad n \geq 1 \]

Vi viser først at formelen stemmer for \(k=1\).

\[S_{1}=\frac{1}{4}\left( 1^{4}+2 \cdot 1^{3} + 1^{2} \right) =\frac{1}{4}\left( 1+2+1 \right) = 1 \quad \checkmark \]

Vi antar at formelen stemmer for \(k=n\). Vi finner \(S_{k+1}\).

\[S_{k+1}=\frac{1}{4}\left( (k+1)^{4}+ 2(k+1)^{3}+(k+1)^{2} \right) \]

Så finner vi \(S_{k+1}\) ved å bruke den rekursive formelen.

\[S_{k+1}=S_{k}+(k+1)^{3}=\frac{1}{4}\left( k^{4}+ 2k^{3}+k^{2} \right)+(k+1)^{3} \]

Vi tester om disse er identiske.

\[\frac{1}{4}\left( (k+1)^{4}+ 2(k+1)^{3}+(k+1)^{2} \right)=\frac{1}{4}\left( k^{4}+ 2k^{3}+k^{2} \right)+(k+1)^{3} \]

Tester identiteten i CAS ✔︎

Venstre side er lik høyre side. Vi har vist at formlen gjelder for \(n=1\) og at dersom formelen gjelder for \(n=k\) så gjelder den også for \(n=k+1\). Vi har derfor bevist ved induksjon at følgende formel gjelder for summen av kubikktallene:

\[S_{n}=\frac{1}{4}\left( n^{4}+ 2n^{3}+n^{2} \right) \]

Oppgave 2-5 (4 poeng)

Kuleflate og plan

Punktene \(A(1, 2, 1)\) og \(B(3, 0, -3)\) ligger på en kuleflate. \(AB\) er en diameter til kuleflaten. Planet \(\gamma\) er gitt ved likningen \(x + 2y + 2z = 14\).

Oppgave

Finn den minste avstanden fra kuleflaten til planet \(\gamma\).

Et plan \(\alpha\) har samme avstand til kuleflaten og er parallelt med planet \(\gamma\).

Oppgave

Bestem en likning for planet \(\alpha\).

Fasit

a) \(\underline{\underline{4 - \sqrt{6} \approx 1{,}55}}\)
b) \(\underline{\underline{x + 2y + 2z = -10}}\)

Løsningsforslag

Vi bruker GeoGebra CAS til å utføre beregningene.

Kuleflate og plan – CAS-beregninger

Sentrum og radius:

Siden \(AB\) er diameter, er sentrum \(M\) midtpunktet av \(AB\):

\[M = \left(\frac{1+3}{2},\ \frac{2+0}{2},\ \frac{1+(-3)}{2}\right) = (2, 1, -1) \]

Radius er halvparten av \(|AB|\):

\[r = \frac{|AB|}{2} = \frac{\sqrt{(3-1)^2 + (0-2)^2 + (-3-1)^2}}{2} = \frac{\sqrt{4+4+16}}{2} = \frac{\sqrt{24}}{2} = \sqrt{6} \]

Planet \(\gamma\) har normalvektor \(\mathbf{n} = (1, 2, 2)\) med \(|\mathbf{n}| = \sqrt{1+4+4} = 3\).

a

Avstanden fra sentrum \(M(2, 1, -1)\) til planet \(\gamma\colon x + 2y + 2z = 14\) er:

\[d(M, \gamma) = \frac{|1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) - 14|}{3} = \frac{|2 + 2 - 2 - 14|}{3} = \frac{12}{3} = 4 \]

Den minste avstanden fra kuleflaten til planet er avstanden fra sentrum minus radius:

\[d_{\min} = d(M, \gamma) - r = 4 - \sqrt{6} \approx \mathbf{\underline{\underline{1{,}55}}} \]

Den minste avstanden fra kuleflaten til planet \(\gamma\) er \(4 - \sqrt{6} \approx 1{,}55\).

b

Planet \(\alpha\) er parallelt med \(\gamma\), altså på formen \(x + 2y + 2z = D\).

Avstanden fra \(M(2, 1, -1)\) til \(\alpha\) er den samme som til \(\gamma\), det vil si \(4\), men \(\alpha\) ligger på motsatt side av sentrum:

\[d(M, \alpha) = \frac{|1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) - D|}{3} = \frac{|2 - D|}{3} = 4 \]

\[|2 - D| = 12 \implies D = 14 \quad \text{eller} \quad D = -10 \]

\(D = 14\) gir planet \(\gamma\) selv, så \(\alpha\) har \(D = -10\).

En likning for planet \(\alpha\) er \(\underline{\underline{x + 2y + 2z = -10}}\).

Oppgave 2-6 (2 poeng)

Sum av integralrekke

La \(a_{1}>0\) og la \(S(x)\) være summen av ei rekke gitt ved

\[S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{1} \cdot \left( \int_{0}^{x} e^{-t} \, \mathrm{d}t \right)^{n} \]

Bestem \(a_{1}\) slik at den minste mulige summen blir 1.

Fasit

Kanskje \(a_{1}=\lim_{b \to 2^- } b\). Usikker.

Løsningsforslag

Usikker løsning

Jeg skrev denne løsningen rett etter eksamen. Jeg husker jeg var veldig usikker på om dette var svaret de var ute etter, om jeg hadde gjort noe galt eller om det er noe galt med oppgaven. Hvis jeg får tid så skal jeg undersøke videre.

\[S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{1} \cdot \left( \int_{0}^{x} e^{-t} \, \mathrm{d}t \right)^{n} \]

Jeg ser at jeg kan bestemme integralet, så jeg begynner med det

\[\int_{0}^{x} e^{-t} \, dt =\left[ -e^{-t} \right]_{0}^{x}=-e^{-x}-(-e^{0})=1-e^{-x}=1-\frac{1}{e^{x}} \]

Jeg ser også at rekka er geometrisk med første ledd \(a_{1}\) og kvotient \(k(x)=1-\frac{1}{e^{x}}\).

Geometriske rekker er konvergente dersom \(-1< k<1\).

Jeg ser at

\[\lim_{ x \to \infty } \left( 1-\frac{1}{e^{x}} \right) = 1-0= 1 \]

Jeg undersøker om \(k(x)>-1\) ved å sette opp likningen

\(k(x)\) er strengt voksende, så vi bør få den minste summen når \(x\) nærmer seg \(-\ln 2\) fra den positive siden.

Verdien \(x = -\ln 2\) ligger utenfor konvergensområdet, så summen \(S(x) = 1\) oppnås aldri. Men \(S(x)\) kan komme vilkårlig nær \(1\) når \(x \to (-\ln 2)^+\), og summen kan aldri bli lavere enn \(1\). Den minste mulige summen er derfor \(1\), og \(a_1 = 2\).

R2 eksamen V2024

Oversikt over eksamensoppgavene

Del 1

Oppgave 1-1 (4 poeng)

Bestemt integral og areal

Fasit

Løsningsforslag

a

b

Oppgave 1-2 (2 poeng)

Ubestemt integral med substitusjon

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 1-3 (4 poeng)

Ukjent program S2 v24

Fasit

Løsningsforslag

a

b

Oppgave 1-4 (8 poeng)

Trekant og plan i rommet

Fasit

Løsningsforslag

a

b

c

d

Oppgave 1-5 (4 poeng)

Sinusfunksjon og egenskaper

Fasit

Løsningsforslag

a

b

Del 2

Oppgave 2-1 (6 poeng)

Fotball hjørnespark og vektorer

Fasit

Løsningsforslag

a

b

c

Oppgave 2-2 (2 poeng)

Volum av pære med omdreiningslegeme

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-3 (6 poeng)

Sensor for utelys og trigonometri

Fasit

Løsningsforslag

a

b

c

Oppgave 2-4 (6 poeng)

Kubikktall og induksjonsbevis

Fasit

Løsningsforslag

a

b

c

Oppgave 2-5 (4 poeng)

Kuleflate og plan

Fasit

Løsningsforslag

a

b

Oppgave 2-6 (2 poeng)

Sum av integralrekke

Fasit

Løsningsforslag