Integraler S2 v25

Regn ut integralene

Fasit

a) \(2e-\frac{4}{3}\)
b) \(\ln \left| x^{2}-x-6 \right|+C\)

Løsningsforslag

a

b

Vi ser at den deriverte av uttrykket i nevneren er det samme som telleren, og det er derfor lurt å forsøke variabelskiftet \(\textcolor{tomato}{u=x^{2}-x-6}\).

Vi substituerer inn i det opprinnelige uttrykket

Bestem f ut fra den deriverte

Bestem et uttrykk for funksjonen \(f\) når du får vite at

• \(f'(x)=-\frac{2}{x^{3}}\)
• Arealet av området som er avgrenset av grafen til \(f\), \(x\)-aksen og linjene \(x=1\) og \(x=2\) er \(\frac{11}{14}\). Dette arealet ligger over \(x\)-aksen.

Fasit

\(f(x)=\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{7}\)

Løsningsforslag

Vi vet at \(f'(x)=-\frac{2}{x^{3}}\) vil ha uendelig mange antideriverte med ulike konstantledd

Her er \(C\) et hvilket som helst tall. Siden vi har fått vite at arealet av området som avgrenses av grafen til \(f\), \(x=1\), \(x=2\) og \(x\)-aksen er lik \(\frac{11}{14}\), samt at hele arealet ligger over \(x\)-aksen, kan vi bruke et bestemt integral for å finne verdien av \(C\).

Vår antideriverte til \(f'(x)\) har altså \(C=\frac{2}{7}\), derfor har vi for alle \(x\neq 0\):

Tallfølge med programmering og induksjon

En elev arbeider med en tallfølge og har skrevet denne koden:

12345a = 2
n = 5
for i in range(1, n + 1):
    print(a)
    a = a + (i + 2)

Eleven har også skrevet denne koden:

1234567a = 2
n = 5
S = 0
for i in range(1, n + 1):
    S = S + a
    a = a + (i + 2)
print(S)

Tallene fra oppgave a) er starten på en rekke.

Fasit

a) Koden skriver ut tallfølgen 2, 5, 9, 14, 20. Differansen mellom leddene starter på 3 og øker med 1 for hvert ledd.
b) Eleven finner delsummen etter 5 ledd. Programmet skriver ut 50.
c) Se løsningsforslag (induksjonsbevis).

Løsningsforslag

a

Her setter vi opp en oversikt for å se hvordan variablene i programmet utvikler seg.

Vi ser en tallfølge hvor differansene mellom leddene starter på 3, og deretter øker med 1 for hvert ledd. Matematisk kan dette uttrykkes med den rekursive sammenhengen

Koden skriver ut leddene i tallfølgen 2, 5, 9, 14, 20.

b

Eleven har lagt til en variabel S. S gir en løpende sum av verdiene til a, derfor vil S være delsummen til rekka etter n ledd.

Eleven ønsker å finne delsummen til rekka etter 5 ledd, altså \(2+5+9+14+20=\underline{\underline{50}}\)

c

Påstanden vår er at

Vi viser at dette gjelder for \(n=1\)

Vi antar at formelen gjelder for \(n=k\) slik at

Vi finner \(a_{k+1}\) ved å bruke den rekursive sammenhengen fra b).

Deretter finner vi \(a_{k+1}\) ved å bruke formelen.

Trigonometrisk funksjon og likning

En funksjon \(f\) er gitt ved

En funksjon \(g\) er gitt ved

Fasit

a) Amplitude \(2\sqrt{ 3 }\), likevektslinje \(y=0\), periode \(\pi\), faseforskyvning \(\frac{\pi}{12}\) mot venstre.

Løsningsforslag

a

Vi sammenligner med det generelle uttrykket for sinusfunksjoner

Vi ser fra funksjonsuttrykket til \(g\) at

Når \(k=2\) så har sinusfunksjonen dobbelt så «tette» svingninger og perioden blir derfor \(T=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi\). Da blir også faseforskyvningen \(\frac{\phi}{2}=\frac{\pi}{12}\).

Amplituden er \(2\sqrt{ 3 }\), likevektslinja er \(y=0\), perioden er \(\pi\) og faseforskyvningen er \(\frac{\pi}{12}\) mot venstre.

b

Bordplate som trekant i 3D

Et bord har en bordplate med en form som en trekant \(ABC\). Dersom vi tenker oss bordet plassert i et tredimensjonalt koordinatsystem der enhetene langs aksene er desimeter, vil hjørnene ha koordinatene \(A(0, 0, 0)\), \(B(2, 3, 0)\) og \(C(1, 4, 1)\).

En plante på veggen har en gren som vokser slik at den følger en rett linje gjennom punktene \(D(3, 7, 3)\) og \(E(2, 3, 2)\).

Fasit

a) Ja, vinkelen ved \(B\) er større enn \(90°\) (ca. \(99{,}2°\))
b) \(\underline{\underline{\text{Areal} = \dfrac{\sqrt{38}}{2} \approx 3{,}08 \, \mathrm{dm}^2}}\)
c) Retningsvektoren til grenen er parallell med planet — linja og planet har ingen felles punkt.

Løsningsforslag

a

Vi undersøker om noen av vinklene er større enn \(90°\) ved å beregne skalarproduktet mellom sidene som møtes i hvert hjørne. En vinkel er stump dersom og bare dersom skalarproduktet er negativt.

Vi setter opp vektorene mellom hjørnene:

Vinkel ved \(A\):

Vinkelen ved \(A\) er akutt.

Vinkel ved \(B\):

Vinkelen ved \(B\) er stump, altså større enn \(90°\).

Vinkel ved \(C\):

Vinkelen ved \(C\) er akutt.

Vi kan beregne den eksakte vinkelen ved \(B\):

Konklusjon: Vinkelen ved \(B\) er større enn \(90°\).

b

Arealet av trekant \(ABC\) beregner vi med kryssprodukt-formelen:

Vi beregner kryssproduktet:

Lengden av kryssproduktet:

Arealet blir:

c

Vi skal vise at grenen (linja gjennom \(D(3,7,3)\) og \(E(2,3,2)\)) aldri treffer bordplaten (planet gjennom \(A\), \(B\) og \(C\)).

Steg 1: Finn planlikningen for bordplaten.

Fra deloppgave b) vet vi at \(\mathbf{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (3, -2, 5)\) er normalvektor til planet. Siden \(A(0,0,0)\) ligger i planet, blir planlikningen:

Steg 2: Parametriser grenen.

Retningsvektoren til grenen er:

Et punkt på grenen: \((x, y, z) = (3 - s,\, 7 - 4s,\, 3 - s)\) for \(s \in \mathbb{R}\).

Steg 3: Sett inn i planlikningen.

Siden koeffisienten foran \(s\) er \(0\), er uttrykket konstant lik \(10\) for alle \(s\). Ligningen \(10 = 0\) har ingen løsning.

Det betyr at \(\overrightarrow{DE} \cdot \mathbf{n} = (-1)(3) + (-4)(-2) + (-1)(5) = -3 + 8 - 5 = 0\), altså er retningsvektoren til grenen vinkelrett på normalvektoren til planet. Dermed er grenen parallell med bordplaten.

Siden \(D\) ikke ligger i planet (\(3 \cdot 3 - 2 \cdot 7 + 5 \cdot 3 = 9 - 14 + 15 = 10 \neq 0\)), ligger grenen i sin helhet utenfor planet.

Avstanden fra et vilkårlig punkt på grenen til bordplaten er konstant:

Konklusjon: Grenen er parallell med bordplaten og aldri treffer den.

Caspers kode

Casper har skrevet denne koden:

123456789101112131415def f(x):
	return x**3

def g(x):
	return -2*x**2

dx = 0.0001

s = 0
x = 0
while x <= 2:
	s = s + f(x)*dx + g(x)*dx
	x = x + dx

print(s)

Fasit

\(\underline{\underline{s \approx -\dfrac{4}{3} \approx -1{,}333}}\)

Løsningsforslag

Koden regner ut en venstre-Riemann-sum for summen \(f(x) + g(x)\) over intervallet \([0, 2]\).

Løkken starter med \(x = 0\) og øker med \(\mathrm{d}x = 0{,}0001\) for hvert steg. For hvert \(x\) legger den til

Når \(\mathrm{d}x \to 0\) nærmer summen seg det bestemte integralet

Vi beregner integralet:

Med \(\mathrm{d}x = 0{,}0001\) (ikke null) vil koden gi en liten numerisk avrundingsfeil, og verdien som skrives ut er omtrent \(-1{,}33333\).

Verdien som skrives ut er \(\underline{\underline{s \approx -\dfrac{4}{3} \approx -1{,}333}}\).

Vinkel i sirkel og trigonometri

I en sirkel er radius lik 3.

Figuren nedenfor viser en vinkel \(v\) der toppunktet er plassert i sentrum av sirkelen og buelengden er 4.

Om en annen vinkel \(u\) får du vite at \(u \in \left\langle 0, \frac{\pi}{2} \right\rangle\) og \(\tan u = 2\).

Fasit

a) 4/3 radianer og omtrent 75º
b) \(\sin u = \frac{2}{\sqrt{ 3 }}\) og \(\cos u =\frac{1}{\sqrt{ 3 }}\)

Løsningsforslag

a

Radius \(r=3\) og buelengden \(b=4\).

Det går \(360\degree\) på \(2\pi\) radianer.

Vinkelen er \(\underline{\underline{ \frac{4}{3} }}\) radianer og omtrent \(\underline{\underline{ 75 \degree }}\).

b

Hvis \(\tan u =2\) så er \(\frac{mk}{hk}=2\). Hvis vi gir hosliggende katet lengden 1, så blir motstående katet 2. Da blir hypotenusen

Vi kan dermed sette opp eksakte verdier for \(\sin u\) og \(\cos u\).

Bil på spiralvei i parkeringshus

En bil kjører opp en spiralformet vei inne i et parkeringshus.

Posisjonen til bilen etter \(t\) sekunder er gitt ved

der bakkenivået er \(xy\)-planet i et koordinatsystem med meter som enhet langs aksene.

Fasit

a) \(\underline{\underline{\frac{20}{3} \approx 6{,}67 \, \mathrm{m}}}\) over bakkenivået
b) \(\vec{v}(t) = \left[ -\dfrac{4\pi}{5}\sin\!\left(\dfrac{\pi}{5}t\right),\ \dfrac{4\pi}{5}\cos\!\left(\dfrac{\pi}{5}t\right),\ \dfrac{1}{3} \right]\), fart \(\underline{\underline{\approx 2{,}54 \, \mathrm{m/s}}}\) (konstant)
c) Avstanden mellom etasjene er \(\underline{\underline{\frac{10}{3} \approx 3{,}3 \, \mathrm{m}}}\)

Løsningsforslag

Vi har gitt posisjonsvektor

a

\(z\)-koordinaten gir høyden over bakkenivået (\(xy\)-planet). Vi setter \(t = 5\):

Bilen er \(\underline{\underline{\frac{20}{3} \approx 6{,}67 \, \mathrm{m}}}\) over bakkenivået etter 5 sekunder.

b

Vi deriverer \(\vec{r}(t)\) komponentvis for å finne fartsvektoren. I GeoGebra CAS definerer vi \(r(t)\) og beregner \(v(t) = \vec{r}\,'(t)\), farten \(|\vec{v}(t)|\) og evaluerer ved \(t = 10\):

CAS gir:

Farten er lengden av fartsvektoren:

Siden \(\sin^2(\cdot) + \cos^2(\cdot) = 1\) forenkler CAS uttrykket til:

Farten er konstant – den er uavhengig av \(t\). Etter 10 sekunder er farten den samme:

Farten til bilen etter 10 sekunder er \(\underline{\underline{\frac{\sqrt{144\pi^2+25}}{15} \approx 2{,}54 \, \mathrm{m/s}}}\).

c

Vi antar at én etasje tilsvarer én full omdreining av spiralen. En full omdreining skjer når argumentet \(\frac{\pi}{5}t\) øker med \(2\pi\), det vil si når \(t\) øker med \(10\) sekunder.

Høydeforskjellen i løpet av én omdreining (\(\Delta t = 10 \, \mathrm{s}\)) er:

Dette er en realistisk etasjehøyde for et parkeringshus (typisk \(2{,}5\)–\(3{,}5 \, \mathrm{m}\)).

Avstanden mellom etasjene er \(\underline{\underline{\frac{10}{3} \approx 3{,}3 \, \mathrm{m}}}\).

Noras sparing og lån

Nora blir 37 år i 2026 og vil begynne å spare til egen pensjon.

Hun vil sette et fast beløp inn på en konto i banken 1. januar hvert år. Hun vil begynne sparingen 1. januar 2026 og holde på til og med januar 2055.

Målet hennes er å ha 3 750 000 kroner i banken etter at rentene for 2055 er lagt til. Nora venter at den årlige rentesatsen på kontoen vil være 2,5 %.

Nora har et huslån. Lånet har årlige terminer, og Nora betaler terminbeløpet i januar hvert år. I januar 2026 vil lånet være på 3 000 000 kroner.

Nora vil betale ned lånet før det året hun fyller 70. Hun har regnet seg fram til at hun da må betale 150 000 kroner hver termin fra og med januar 2026 til og med januar 2058.

Nora ønsker å hjelpe datteren med egenkapital til bolig. Nora oppretter derfor en ekstra sparekonto og setter opp en spareplan med ett årlig innskudd i 10 år. Det første innskuddet skal være 10000 kroner, deretter skal beløpene hun setter inn, øke med 6 % per år. Nora venter at rentesatsen vil være 2,5 % per år.

Målet er å ha 150 000 kroner på sparekontoen ett år etter at hun har satt inn det siste beløpet.

Fasit

a) 83 333 kr
b) 3,528 %
c) Nei, 149 581 kr

Løsningsforslag

a

Vi kaller det ukjente beløpet \(B\). Nora skal sette inn \(B\) på konto 30 ganger. Det siste beløpet skal ha fått renter i 1 år, mens det første beløpet skal ha fått renter i 30 år.

For å ha 3 750 000 kr på konto etter 30 år så kan vi altså sette opp en likning med ei rekke. Likningen er løst i linje 1 i GeoGebra.

Nora må sette inn 83 333 kr hvert år for å nå målet.

b

Vi kaller den ukjente vekstfaktoren til renta \(v\). Nora skal betale inn lånet over 33 terminer med første termin 1. januar 2026. Nåverdien (NV) til terminbeløpene vil være:

Likningen er løst i linje 2 i GeoGebra.

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen er 3,528 %.

c

Sparebeløpene til Nora kan sees på som en rekke der det første beløpet er 10000 kr og får renter i 10 år, mens det siste beløpet er \(10000\cdot 1{,}06^{9}\) og får renter i ett år.

Beløpet er beregnet i linje 3 i GeoGebra.

Nora vil ikke nå målet på 150 000 kr. Hun vil ha 149 581 kr på kontoen etter 10 år.

Harens fart og gjennomsnittsfart

En hare løper vekk fra en rev som angriper den. Farten \(v\) til haren er gitt ved

Her er \(v\) meter per sekund, og \(t\) er antall sekunder etter at haren starter å løpe.

Gjennomsnittsfarten \(v_g\) til haren de første \(x\) sekundene er gitt ved

Fasit

a) Akselerasjonen er null etter \(\underline{\underline{t \approx 0{,}97 \, \mathrm{s}}}\). Dette er tidspunktet der haren har størst fart: \(v(0{,}97) \approx \underline{\underline{16{,}6 \, \mathrm{m/s}}}\).
b) \(\underline{\underline{s \approx 103{,}4 \, \mathrm{m}}}\)
c) \(\underline{\underline{v_g \approx 13{,}4 \, \mathrm{m/s}}}\)

Løsningsforslag

Vi bruker GeoGebra CAS med numerisk evaluering.

Definer \(v(t)\) og finn akselerasjonen \(a(t) = v'(t)\), løs \(a(t) = 0\), beregn integralet over \([0, 7]\), og løs \(\int_0^x v(t)\,\mathrm{d}t = 200\) numerisk:

a

Vi definerer \(v(t)\) og deriverer for å finne akselerasjonen:

GeoGebra løser \(a(t) = 0\) numerisk og gir \(t \approx 0{,}972 \, \mathrm{s}\).

Det tar omtrent \(\underline{\underline{t \approx 0{,}97 \, \mathrm{s}}}\) før akselerasjonen er null.

Tolkning: For \(t < 0{,}97\) er \(a(t) > 0\), haren øker farten. For \(t > 0{,}97\) er \(a(t) < 0\), haren bremser ned. Tidspunktet \(t \approx 0{,}97\) er altså når haren har sin høyeste fart: \(v(0{,}972) \approx \underline{\underline{16{,}6 \, \mathrm{m/s}}}\).

b

Strekningen haren løper i løpet av de første 7 sekundene er

GeoGebra beregner integralet numerisk:

c

Vi søker \(x\) slik at gjennomsnittsfarten de første \(x\) sekundene er lik \(\frac{200}{x}\), altså slik at haren har tilbakelagt nettopp 200 meter:

Antideriverte til \(v(t)\) er

GeoGebra løser likningen \(V(x) - V(0) = 200\) numerisk og gir (den positive løsningen) \(x \approx 14{,}954 \, \mathrm{s}\).

Gjennomsnittsfarten de første 200 meterne er dermed

Vis at rekke blir ln 2

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved \(1+x+x^{2}+x^{3}+\dots\)

Det kan vises at

Bruk denne sammenhengen til å vise at

I denne oppgaven kan du se bort fra integrasjonskonstantene.

Fasit

Oppgaven er et bevis. Se løsningsforslag.

Løsningsforslag

Vi har fått oppgitt at

Vi gjennomfører resonnementet vårt i flere steg.

Integrasjon av høyre side

Vi ser først på høyre side av likning 1. Vi ser at vi kan integrere denne siden ved å gjøre variabelskiftet \(u=1-x \implies \frac{du}{dx}=-1 \iff dx =-1 \cdot du\).

Integralet blir (sett bort fra integrasjonskonstantene)

Integrasjon av venstre side

Vi gjennomfører så integrasjonene på venstre side av likning 1 og får

Ved å integrere begge sidene av likning 1 har vi altså foreløpig vist at:

Vise at rekka er lik \(\ln 2\)

Vi skal vise at

Vi sammenligner venstre side i likning 2 med svaret vi fikk da vi integrerte venstre side i likning 1.

Ved sammenligning av leddene ser vi at \(x=\frac{1}{2}\) er en løsning av likning 3.

Siden \(x=\frac{1}{2}\), så sjekker vi hva \(-\ln \left| 1-x \right|\) gir oss når \(x=\frac{1}{2}\)

Vi har altså vist at

Og for \(x=\frac{1}{2}\) gjelder derfor: