Forenkle algebraisk uttrykk

Fasit

Løsningsforslag

Logaritmer i stigende rekkefølge

Fasit

Løsningsforslag

Vi beregner verdien av hvert uttrykk uten kalkulator.

\(2\ln e^3\)

Vi bruker at \(\ln(e^a) = a\):

\(e^{3\ln 2}\)

Vi skriver om eksponenten ved å bruke at \(3\ln 2 = \ln 2^3\), og deretter \(e^{\ln a} = a\):

\(3\lg 70\)

Vi kan ikke beregne dette eksakt uten kalkulator, men vi kan avgrense verdien:

Siden \(10 < 70 < 100\), er \(1 < \lg 70 < 2\), altså \(3 < 3\lg 70 < 6\).

Dermed er \(3\lg 70\) mellom \(3\) og \(6\), og vi kan konkludere:

Stigende rekkefølge: \(\boldsymbol{3\lg 70 < 2\ln e^3 < e^{3\ln 2}}\)

Sannsynlighet med tre terninger

Du kaster tre terninger.

Fasit

a) \(\underline{\underline{P = \dfrac{5}{9} \approx 0{,}556}}\)
b) \(\underline{\underline{P = \dfrac{5}{12} \approx 0{,}417}}\)

Løsningsforslag

Det totale antallet utfall når vi kaster tre terninger er

a

Vi teller antall utfall der alle tre terningene viser forskjellig antall øyne.

• Første terning: 6 muligheter
• Andre terning: må vise noe annet enn første – 5 muligheter
• Tredje terning: må vise noe annet enn de to første – 4 muligheter

Antall gunstige utfall:

Sannsynligheten blir

Sannsynligheten for at alle terningene viser forskjellig antall øyne er \(\underline{\underline{\dfrac{5}{9} \approx 0{,}556}}\).

b

Vi teller antall utfall der nøyaktig to terninger viser samme antall øyne (ett par og én ulik).

Plassering av paret: Vi velger hvilke to av de tre terningene som skal utgjøre paret. Det er

Verdi for paret: Paret kan vise et hvilket som helst antall øyne – 6 muligheter.

Verdi for den ulike: Den tredje terningen må vise noe annet enn paret – 5 muligheter.

Antall gunstige utfall:

Sannsynligheten blir

Sannsynligheten for at nøyaktig to av terningene viser samme antall øyne er \(\underline{\underline{\dfrac{5}{12} \approx 0{,}417}}\).

Kontinuerlig stykkevis funksjon

En funksjon \(f\) er gitt ved

Fasit

\(a = 2\) eller \(a = -2\)

Løsningsforslag

For at \(f\) skal være kontinuerlig i \(x = 1\) må grenseverdiene fra venstre og høyre være like.

Grenseverdi fra venstre (\(x \to 1^-\), bruker \(x^2 + 3x - a^2\)):

Grenseverdi fra høyre (\(x \to 1^+\), bruker \(x - 1\)):

Vi setter grenseverdiene lik hverandre:

\(\underline{\underline{a = 2 \text{ eller } a = -2}}\)

Grensekostnad og programmering

En bedrift produserer en vare. De daglige kostnadene \(K\) (i kroner) ved produksjon av \(x\) enheter av varen er gitt ved

Den økonomiansvarlige i bedriften har laget programmet nedenfor.

1234567891011def K(x):
    return 0.1*x**2 + 100*x + 9000

grense = 200
h = 0.00001
a = 1

while (K(a + h) - K(a))/h < grense:
    a = a + 1

print(a)

Fasit

500. Programmet finner minste antall produserte enheter der grensekostnaden er minst 200 kr.

Løsningsforslag

Vi finner grensekostnaden ved å derivere \(K(x)\):

Programmet beregner den numeriske tilnærmingen til \(K'(a)\) med formelen

og øker \(a\) med 1 så lenge denne tilnærmingen er mindre enn grense = 200. Løkken stopper første gang tilnærmingen er \(\geq 200\), og programmet skriver ut \(a\).

Vi finner den eksakte verdien analytisk. Betingelsen \(K'(a) \geq 200\) gir

Minste heltall som oppfyller dette er \(a = 500\).

Kontroll med programmet:

• For \(a = 499\): \(\dfrac{K(499{,}00001) - K(499)}{0{,}00001} \approx 199{,}8 < 200\), så løkken kjører videre.
• For \(a = 500\): \(\dfrac{K(500{,}00001) - K(500)}{0{,}00001} \approx 200{,}000001 \geq 200\), så betingelsen blir usann og løkken stopper.

Programmet skriver ut \(\underline{\underline{500}}\).

Praktisk tolkning: Når bedriften produserer 500 enheter daglig, er grensekostnaden 200 kr — det vil si at den ekstra kostnaden ved å produsere én enhet til er omtrent 200 kr. Programmet finner altså det minste produksjonsvolumet der grensekostnaden når 200 kr.

Sofaproduksjon og overskudd

En møbelfabrikk produserer en type sofaer. Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom antall sofaer de produserer per måned, og produksjonskostnadene per måned.

Fabrikken selger alle sofaene til en møbelkjede. De får 28 000 kroner per sofa.

Fabrikken ønsker at overskuddet skal være 1 million kroner per måned. De vil derfor endre salgsprisen på sofaene.

Fasit

a) Se graf — kurven \(O(x) = -0{,}041x^2 + 11x - 103\) ligger nær alle de empiriske punktene.
b) Størst overskudd ved produksjon av \(\underline{\underline{134 \text{ sofaer}}}\) per måned, noe som gir et overskudd på \(\underline{\underline{634\,800 \, \mathrm{kr}}}\).
c) Laveste salgspris: \(\underline{\underline{p \approx 30\,450 \, \mathrm{kr}}}\) per sofa.

Løsningsforslag

a

Vi beregner inntekten. Fabrikken selger alle sofaene til 28 000 kr per sofa, så inntekten per måned er

Vi beregner overskuddet \(O = I - K\) for hver verdi i tabellen:

Vi plotter de empiriske overskuddspunktene (blå) og kurven \(O(x) = -0{,}041x^2 + 11x - 103\) (grønn) i GeoGebra:

Kurven ligger nær alle de sju punktene, så modellen passer godt.

b

Overskuddet \(O(x) = -0{,}041x^2 + 11x - 103\) er en andregradsfunksjon som åpner nedover, og har derfor et globalt toppunkt. Vi finner toppunktet ved å derivere og sette den deriverte lik null:

Siden \(x\) må være et heltall, sammenlignes \(x = 134\) og \(x = 135\):

\(O(134) > O(135)\), så \(x = 134\) gir størst overskudd.

Størst månedlig overskudd oppnås ved å produsere \(\underline{\underline{134 \text{ sofaer}}}\), og overskuddet er da \(\underline{\underline{634\,800 \, \mathrm{kr}}}\).

c

Vi finner kostnadsfunksjonen fra del a). Siden \(O(x) = I(x) - K(x)\), er

Med ny salgspris \(p\) kr per sofa blir inntekten \(I_{\text{ny}}(x) = \dfrac{p}{1000} \cdot x\) (i tusen kr), og det nye overskuddet er

Dette er igjen en andregradsfunksjon som åpner nedover. Toppverdien til en funksjon \(f(x) = -ax^2 + bx + c\) er \(\dfrac{b^2}{4a} + c\). Her er \(a = 0{,}041\), \(b = \dfrac{p}{1000} - 17\) og \(c = -103\):

Vi setter maksimum lik 1000 (= 1 million kr) og løser for \(p\) i GeoGebra CAS:

CAS gir to løsninger: \(p \approx 3\,550\) og \(p \approx 30\,450\). Løsningen \(p \approx 3\,550\) er lavere enn 28 000 kr og forkastes (den svarer til et maksimum ved negativ produksjonsmengde, noe som ikke er fysisk meningsfullt). Den laveste salgsprisen som gir et maksimalt månedlig overskudd på 1 million kr er derfor

\(\underline{\underline{p \approx 30\,450 \, \mathrm{kr}}}\) per sofa.

Venstrehendte elever

Undersøkelser viser at 10 prosent av alle menn og 8 prosent av alle kvinner er venstrehendte.

På en skole er det 280 gutter og 220 jenter.

I en klasse er det 13 gutter og 17 jenter.

Fasit

a) \(\underline{\underline{P(X \geq 25) \approx 0{,}7528}}\)
b) Minste antall gutter: \(\underline{\underline{n = 16}}\)
c) \(\underline{\underline{P(G + J = 3) \approx 0{,}2309}}\)

Løsningsforslag

Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne sannsynlighetene.

a

La \(X\) = antall venstrehendte gutter på skolen. \(X\) er binomisk fordelt med \(n = 280\) og \(p = 0{,}10\).

Begrunnelse: Det er 280 gutter (uavhengige forsøk), to mulige utfall (venstrehendt / ikke venstrehendt), og fast sannsynlighet \(p = 0{,}10\) for hvert forsøk.

Vi ønsker \(P(X \geq 25)\):

I GeoGebra CAS:

\(P(X \geq 25) \approx \underline{\underline{0{,}7528}}\)

b

La \(Y\) = antall venstrehendte gutter i en klasse med \(n\) gutter. \(Y\) er binomisk fordelt med \(p = 0{,}10\).

Vi søker minste \(n\) slik at \(P(Y \geq 3) > 0{,}20\):

Vi prøver ulike verdier av \(n\) i GeoGebra CAS med 1 - FordelingBinomial(n, 0.10, 2):

For \(n = 15\) er sannsynligheten \(0{,}1841 < 0{,}20\), mens for \(n = 16\) er den \(0{,}2108 > 0{,}20\).

Det må være minst \(\underline{\underline{16 \text{ gutter}}}\) i klassen.

c

La \(G\) = antall venstrehendte gutter i klassen, og \(J\) = antall venstrehendte jenter i klassen.

• \(G\) er binomisk fordelt med \(n = 13\) og \(p = 0{,}10\)
• \(J\) er binomisk fordelt med \(n = 17\) og \(p = 0{,}08\)
• \(G\) og \(J\) er uavhengige

Vi vil finne \(P(G + J = 3)\). Vi summerer over alle mulige fordeling av de 3 venstrehendte på gutter og jenter:

I GeoGebra CAS:

\(P(G + J = 3) \approx \underline{\underline{0{,}2309}}\)

Renter og dobbelttid

Per og Kåre setter inn like store beløp på hver sin konto. Per får en årlig rente på 3,00 prosent, mens Kåre får en årlig rente på 6,00 prosent.

Fasit

a) \(\approx 23\,682 \, \mathrm{kr}\)
b) Forholdet er \(\approx 1{,}97\), ikke nøyaktig 2
c) \(\approx 15{,}2 \, \mathrm{år}\)

Løsningsforslag

a

Per sin konto vokser med vekstfaktor \(1{,}03\) per år. Etter 8 år skal han ha 30 000 kr:

Vi regner ut i CAS, se linje 1 i utklippet.

Per må sette inn \(\underline{\underline{\approx 23\,682 \, \mathrm{kr}}}\).

b

Dobbelttiden finner vi ved å løse \(1{,}03^t = 2\) og \(1{,}06^t = 2\):

Se linje 2 og 3 i CAS-utklippet. Forholdet mellom dobbelttidene er (linje 4):

Forholdet er ikke nøyaktig 2. For at det skulle vært nøyaktig 2, måtte \(\ln 1{,}06 = 2 \cdot \ln 1{,}03 = \ln 1{,}03^2 = \ln 1{,}0609\), men \(\ln 1{,}06 \neq \ln 1{,}0609\).

Påstanden er altså ikke riktig — dobbelttiden til Per er ca. \(1{,}97\) ganger dobbelttiden til Kåre, ikke nøyaktig 2 ganger.

c

La \(K_0\) være beløpet hver setter inn. Samlet beløp etter \(t\) år:

Vi deler på \(K_0\):

Vi tegner \(h(t) = 1{,}03^t + 1{,}06^t\) og linjen \(y = 4\) i GeoGebra og finner skjæringspunktet:

Fra grafen leser vi av at \(h(t) = 4\) når \(t \approx 15{,}2\).

Det vil gå omtrent \(\underline{\underline{15{,}2 \, \text{år}}}\) før de til sammen har dobbelt så mye.

Sannsynlighet med fem terninger

Du kaster fem terninger.

La \(X\) være summen av antall øyne på de fem terningene.

Fasit

a) \(\underline{\underline{P(\text{minst to like}) = \dfrac{7056}{7776} \approx 0{,}9074}}\)
b) \(\underline{\underline{P(X > 20) = \dfrac{1722}{7776} \approx 0{,}2215}}\)
c) \(\underline{\underline{k = 14}}\)

Løsningsforslag

a

Det er lettere å beregne komplementet — sannsynligheten for at alle fem terningene viser forskjellig antall øyne — og trekke fra 1.

Siden en terning har 6 mulige utfall og vi kaster 5 terninger, er det totale antallet utfall

Antall utfall der alle fem terningene er forskjellige: første terning kan vise hva som helst (6 muligheter), andre terning må vise noe annet enn første (5 muligheter), tredje noe annet enn de to første (4 muligheter), og så videre:

Sannsynligheten for at alle er forskjellige:

Sannsynligheten for at minst to er like:

b

Vi bruker programmering til å telle alle mulige utfall av fem terningkast og finne andelen der summen er større enn 20.

from itertools import product

# Generer alle mulige utfall av fem terninger (6^5 = 7776 utfall)
utfall = list(product(range(1, 7), repeat=5))

# b) Tell antall utfall der summen er større enn 20
antall = sum(1 for u in utfall if sum(u) > 20)
print(antall / len(utfall))   # ≈ 0,2215

Programmet gir \(\dfrac{1722}{7776}\), så

c

Vi søker den største verdien av \(k\) slik at \(P(X \geq k) > 0{,}8\).

from itertools import product

utfall = list(product(range(1, 7), repeat=5))

# c) Finn største k slik at P(X >= k) > 0,8
for k in range(30, 4, -1):
    p = sum(1 for u in utfall if sum(u) >= k) / len(utfall)
    if p > 0.8:
        print(k)   # 14
        break

Programmet gir \(k = 14\). Vi kan kontrollere verdiene rundt:

\(P(X \geq 14) \approx 0{,}8480 > 0{,}8\), men \(P(X \geq 15) \approx 0{,}7785 < 0{,}8\).

Den største verdien av \(k\) er \(\underline{\underline{k = 14}}\).

Kasse uten lokk

Du skal lage en kasse uten lokk. Den skal ha form som et rett prisme. Grunnflaten i kassen skal være kvadratisk. For at vekten ikke skal bli for stor, kan ikke det samlede arealet av platene som brukes til å lage kassen, være mer enn 120 \(\mathrm{dm^2}\).

Du skal lage en slik kasse som rommer 80 \(\mathrm{dm^3}\).

Fasit

a) \(\underline{\underline{V = 118{,}75 \, \mathrm{dm^3}}}\)
b) \(\underline{\underline{V_{\max} = 40\sqrt{10} \approx 126{,}5 \, \mathrm{dm^3}}}\)
c) \(\underline{\underline{A_{\min} = 12\sqrt[3]{20^2} \approx 88{,}4 \, \mathrm{dm^2}}}\)

Løsningsforslag

La \(x\) være sidelengden i bunnen (dm) og \(h\) være høyden (dm).

Samlet areal (bunn + 4 sider):

Volum:

a

Setter \(x = 5\) og bruker hele arealbudsjettet (\(A = 120\)):

Volumet blir:

b

For å maksimere volumet bruker vi hele arealbudsjettet (\(A = 120\)). Løser \(A = 120\) for \(h\):

Setter inn i volumformelen:

Bruker GeoGebra CAS til å derivere og løse \(V'(x) = 0\):

Fra CAS-utklippet (linje 1–6):

\(V'(x)\) skifter fortegn fra \(+\) til \(-\) i \(x = 2\sqrt{10}\), så dette er et maksimum.

c

Nå er \(V = 80 \, \mathrm{dm^3}\). Løser for \(h\):

Setter inn i arealformelen:

Bruker GeoGebra CAS til å minimere \(A(x)\) (linje 7–12 i utklippet):

\(A'(x)\) skifter fortegn fra \(-\) til \(+\) i \(x = 2\sqrt[3]{20}\), så dette er et minimum.

Påstander om tredjegradsfunksjon

La \(f\) være en tredjegradsfunksjon.

Avgjør for hver av påstandene nedenfor om den er sann eller usann. Begrunn svaret.

Fasit

a) Usann

Løsningsforslag

a

Jeg vet at funksjonen \(f(x)=x^{3}\) kun har et terrassepunkt og ingen ekstremalpunkter. Jeg bruker derfor denne funksjonen som et moteksempel til påstanden og konkluderer med at påstanden er feil.

Påstanden er usann. \(f\) trenger ikke ha ekstremalpunkter.

b

\(f\) har et \(x^{3}\)-ledd som vil stige eller synke kubisk mye raskere enn \(y=ax+b\). Det blir dermed umulig for den rette linja å «ikke bli tatt igjen» av \(f\).

Vi kan også bevise at disse vil skjære hverandre matematisk hvis vi lar \(f(x)=cx^{3}+dx^{2}+mx +n\).

Den siste likningen er en vanlig tredjegradslikning. Disse har alltid en løsning (tredjegradsfunksjoner må alltid krysse \(x\)-aksen minst en gang). Derfor må \(y=ax+b\) skjære \(f\) minst ett sted.

Påstanden er sann. \(y=ax+b\) vil alltid skjære \(f\) minst ett sted.

c

Vi har vendepunkter når \(f''(x)=0\). Vi prøver å dobbeltderivere \(f\) og sette inn for \(f''(3)=0\).

Vi sjekker hva \(f'(1)\) og \(f'(5)\) er og prøver innsettingsmetoden med \(d=-9c\).

Påstanden stemmer. Når \(f\) har vendepunkt i \(x=3\) så er \(f'(1)=f'(5)\).