S1 eksamen V2024
Oversikt over eksamensoppgavene
Del 1 — 1 time — uten hjelpemidler
Del 2 — 4 timer — med hjelpemidler
Del 1
Oppgave 1-1 (2 poeng)
Oppgave 1-2 (2 poeng)
Oppgave 1-3 (2 poeng)
Oppgave 1-4 (4 poeng)
Oppgave 1-5 (2 poeng)
Del 2
Oppgave 2-1 (6 poeng)
Edison biler – overskudd og enhetskostnad
Bedriften Edison produserer biler. Kostnaden (oppgitt i 1000 kroner) ved å produsere \(x\) biler per måned er gitt ved
Edison selger alle bilene de produserer. Hver bil selges for 600 000 kroner.
- Hvilken produksjonsmengde gir størst mulig overskudd?
- Hvilken produksjonsmengde gir lavest mulig enhetskostnad?
En måned trenger et firma 70 biler. De er villige til å betale mer enn 600 000 kroner per bil. Firmaet inngår en kontrakt om at Edison skal lage 70 biler denne måneden og selge alle til dem. Kontrakten gir Edison et overskudd på 15 millioner kroner.
- Hvilken pris ble avtalt per bil i denne kontrakten?
Fasit
a) \(\underline{\underline{x = 41 \text{ biler}}}\) gir størst overskudd, \(O(41) \approx 9302 \text{ tusen kr} \approx 9{,}3 \text{ mill. kr}\)
b) \(\underline{\underline{x = 8 \text{ biler}}}\) gir lavest enhetskostnad, \(E(8) \approx 250{,}3 \text{ tusen kr per bil}\)
c) \(\underline{\underline{p \approx 784\,234 \text{ kr per bil}}}\)
Løsningsforslag
Vi definerer inntektsfunksjonen. Edison selger hver bil for 600 000 kr = 600 tusen kr, så
Overskuddet er inntekt minus kostnad:
Vi bruker GeoGebra CAS til å løse alle deloppgavene:
a
Vi finner maksimalt overskudd ved å løse \(O'(x) = 0\).
Fra CAS (linje 4): \(x \approx 41{,}48\).
Siden Edison produserer et heltall biler, sjekker vi \(x = 41\) og \(x = 42\):
- \(O(41) \approx 9301{,}9\) tusen kr
- \(O(42) \approx 9301{,}7\) tusen kr
\(x = 41\) gir litt høyere overskudd.
\(x = 41\) biler per måned gir størst overskudd, \(O(41) \approx 9302\) tusen kr \(\approx 9{,}3\) mill. kr.
b
Enhetskostnaden er kostnad per bil:
Vi finner minimumet ved å prøve heltallsverdier rundt det kontinuerlige minimumet (\(x \approx 7{,}7\) fra CAS):
- \(E(7) \approx 250{,}54\) tusen kr
- \(E(8) \approx 250{,}30\) tusen kr
- \(E(9) \approx 250{,}90\) tusen kr
\(x = 8\) gir lavest enhetskostnad.
\(x = 8\) biler per måned gir lavest enhetskostnad, \(E(8) \approx 250{,}3\) tusen kr \(\approx 250\,300\) kr per bil.
c
Overskuddet er inntekt minus kostnad. Vi setter opp ligningen
Fra CAS (linje 12): \(K(70) \approx 39\,896{,}4\) tusen kr.
Vi løser for \(p\):
Avtalt pris per bil er \(\underline{\underline{p \approx 784\,234 \text{ kr}}}\).
Oppgave 2-2 (4 poeng)
Oppgave 2-3 (4 poeng)
Oppgave 2-4 (2 poeng)
Oppgave 2-5 (4 poeng)
Oppgave 2-6 (4 poeng)
Modell for drivstoffutvikling i Moss
Det har vært en stor endring i hvilken type drivstoff bilene i Norge bruker. Statistisk sentralbyrå samler inn data om dette, og tabellen viser en oversikt over typen drivstoff til registrerte personbiler i Moss i perioden 2010–2022.
- Bruk opplysningene i tabellen til å lage modeller du mener beskriver utviklingen i drivstofftypene bensin og elektrisk («El.») \(t\) år etter 2010. Argumenter for valg av modeller.
- Ut fra modellene du har laget, hvordan vil du vurdere veksten i drivstofftypene bensin og elektrisk i årene framover, etter 2022? Kommenter gyldigheten til modellene dine.
Fasit
a) Bensin: lineær modell \(B(t) = -452t + 14\,243\). Elektrisk: eksponentiell modell \(E(t) = 100{,}5 \cdot 1{,}395^t\).
b) Bensin-modellen gir \(B(20) \approx 5\,200\) biler i 2030, men forutsier negativt antall etter 2041 — ugyldig. El.-modellen gir \(E(20) \approx 78\,000\) biler, som overstiger antall husstander i Moss — urealistisk.
Løsningsforslag
a
La \(t\) være antall år etter 2010. Vi bruker GeoGebra til å kjøre regresjon på datapunktene fra tabellen.
Bensin — lineær modell:
Datapunktene for bensin viser en jevn nedgang år for år. Absolutt nedgang per år er omtrent 450 biler, noe som tyder på at en lineær modell passer godt. Regresjonen i GeoGebra gir
med korrelasjonskoeffisient \(r \approx -0{,}996\), altså en svært god lineær tilpasning. Vi avrunder til
Elektrisk — eksponentiell modell:
Datapunktene for elbiler stiger kraftig og kurver oppover, noe en rett linje ikke fanger opp. Fordi veksten ser ut til å ha en tilnærmet konstant prosentvis økning per år, er en eksponentiell modell naturlig. Regresjonen i GeoGebra gir
Vekstfaktoren \(1{,}395\) tilsvarer omtrent \(39{,}5\,\%\) økning per år. Modellen passer godt til data i perioden 2010–2022.
Grafen under viser datapunktene (rødt: bensin, blått: elektrisk) og de to modellkurvene:
b
Bensin-modellen fremover:
Vi setter \(t = 20\) (år 2030):
Modellen forutsier altså omtrent 5 200 bensinbiler i Moss i 2030, noe som virker rimelig på mellomlang sikt. Modellen har imidlertid en viktig begrensning: den gir negativt antall biler når \(B(t) = 0\), det vil si ved
I virkeligheten kan ikke antall biler bli negativt. Nedgangen vil trolig avta og asymptotisk nærme seg null. Ekstrapolering til 2030 er rimelig, men modellen er ugyldig etter ca. 2041.
El.-modellen fremover:
Vi setter \(t = 20\) (år 2030):
Dette er klart urealistisk — Moss har omtrent 35 000 husstander, og antall personbiler totalt er begrenset. Den eksponentielle veksten kan ikke fortsette i det uendelige. I praksis vil veksten flate ut etter hvert som markedet nærmer seg metning (logistisk vekst ville gitt en mer realistisk modell for lengre tidsperspektiv).
Konklusjon: Bensin-modellen er rimelig til omtrent 2030–2035. El.-modellen overestimerer kraftig på lengre sikt og er kun gyldig noen få år utover 2022.
Oppgave 2-7 (4 poeng)
Innskrevet rektangel og Lars sitt program
En funksjon \(f\) er gitt ved
Lars har tegnet grafen til \(f\) med et innskrevet rektangel \(ABCD\). Lars har også skrevet et program.
def f(x):
return -x**2 + 4
def areal(x):
return x*f(x)
h = 0.0001
def der_areal(x):
return (areal(x + h) - areal(x))/h
x = 0
dx = 0.01
while der_areal(x + dx) > 0:
x = x + dx
print(areal(x))
- Forklar hva Lars prøver å finne ut med programmet. Hva blir svaret hvis man kjører programmet?
- Hvilken strategi bruker Lars i programmet sitt? Vil strategien fungere uavhengig av hvilken funksjon \(f\) er?
Fasit
a) Programmet finner det største arealet av et rektangel innskrevet under grafen. Svaret er ca. \(\underline{\underline{3{,}079}}\).
b) Lars bruker en numerisk trinnvis tilnærming der han leter fremover til deriverte av arealet skifter fortegn. Strategien er ikke universell.
Løsningsforslag
a
Rektangelet \(ABCD\) har ett hjørne på grafen til \(f\). Hjørnet over \(x\)-aksen befinner seg i punktet \((x,\, f(x))\). Siden rektangelet er symmetrisk om \(y\)-aksen, har det bredde \(2x\) og høyde \(f(x)\).
Av figuren leser vi imidlertid at bare halvparten av rektangelet vises (fra \(x = 0\) til \(x\)-verdien på grafen), altså bredde \(x\) og høyde \(f(x)\). Arealet er:
Hva programmet gjør:
areal(x)beregner \(A(x) = x \cdot f(x)\).der_areal(x)beregner den numeriske deriverte \(A'(x) \approx \dfrac{A(x+h) - A(x)}{h}\) med \(h = 0{,}0001\).- Løkken starter på \(x = 0\) og øker \(x\) med \(\mathtt{dx} = 0{,}01\) i hvert steg, så lenge den numeriske deriverte i neste steg er positiv (dvs. arealet fortsatt vokser).
- Løkken stopper når
der_areal(x + dx) <= 0, altså når arealet er i ferd med å avta — ved et (lokalt) maksimum.
Programmet prøver å finne \(x\)-verdien som maksimerer arealet, og skriver deretter ut \(A(x)\) i dette punktet.
Kjøring: \(x\) øker fra \(0\) i steg på \(0{,}01\). Den eksakte maksimumsverdien er \(x = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx 1{,}1547\). Programmet stopper siste gang \(\mathtt{der\_areal}(x + 0{,}01) > 0\), noe som gir \(x = 1{,}15\) (siden \(A'(1{,}16) < 0\)).
Programmet skriver ut:
(Det eksakte maksimale arealet er \(\dfrac{16\sqrt{3}}{9} \approx 3{,}0792\).)
b
Strategi: Lars antar at arealet begynner med å vokse fra \(x = 0\), og leter trinnvis fremover til den numeriske deriverte skifter fra positiv til ikke-positiv. Han finner altså det første punktet der \(A'(x)\) snur fra positiv til negativ — et lokalt toppunkt.
Strategien er ikke universell. Den kan feile i følgende situasjoner:
- Hvis \(A'(x)\) allerede er negativ eller lik null for \(x = 0\) (arealet avtar fra start), stopper løkken umiddelbart uten å finne noe maksimum.
- Hvis \(A(x)\) har flere lokale maksimumspunkter, finner programmet bare det første og overser et eventuelt høyere globalt maksimum lenger ut.
- Steglengden \(\mathtt{dx} = 0{,}01\) gir en numerisk tilnærming, ikke det eksakte maksimumet. Her gir programmet \(x = 1{,}15\) istedenfor det eksakte \(x = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}1547\).
Strategien fungerer kun for funksjoner der arealet er positivt, starter med å vokse, og har nøyaktig ett lokalt maksimum.
Oppgave 2-8 (2 poeng)
Pyramide i halvkule – størst mulig volum
En kule med radius \(r\) deles i to like deler. Vi skal skjære ut en pyramide med rektangulær grunnflate av den ene halvkulen. Grunnflaten skal ligge i snittflaten til halvkulen.
Volumet av en pyramide er gitt ved
der \(G\) er grunnflaten og \(h\) er høyden til pyramiden.
Bestem et uttrykk for det største volumet en slik pyramide kan ha.
Fasit
\(\underline{\underline{V_{\max} = \dfrac{2r^3}{3}}}\)
Løsningsforslag
Vi plasserer halvkulen med snittflaten som en sirkulær disk i planet \(z = 0\), med sentrum i origo. Halvkulen har likningen \(x^2 + y^2 + z^2 = r^2\) for \(z \geq 0\).
Oppsett av pyramiden
Grunnflaten er et rektangel med sider \(2x\) og \(2y\) innskrevet i sirkelen \(x^2 + y^2 = r^2\). Pyramidens topp ligger på halvkulen rett over sentrum, i punktet \((0, 0, h)\).
Toppen på halvkulen gir høyden \(h = r\) (fast, siden \(x = y = 0\) gir \(z = r\)).
Volumet av pyramiden er:
Maksimering med GeoGebra CAS
Vi setter \(G = 4xy\) der \(y = \sqrt{r^2 - x^2}\) (fra sirkelbetingelsen), og definerer volumfunksjonen:
Vi deriverer og setter den deriverte lik null med CAS:
CAS gir \(x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot r = \dfrac{r}{\sqrt{2}}\) (tar positiv verdi). Da er \(y = \sqrt{r^2 - \frac{r^2}{2}} = \dfrac{r}{\sqrt{2}}\), det vil si \(x = y\).
Grunnflaten er et kvadrat med side \(2x = 2 \cdot \dfrac{r}{\sqrt{2}} = r\sqrt{2}\).
Største volum
CAS bekrefter at maksimalt volum er:
\(\underline{\underline{V_{\max} = \dfrac{2r^3}{3}}}\)