Bestemt integral

Regn ut integralet

Fasit

\(\frac{13}{3}\)

Løsningsforslag

Ubestemt integral

Regn ut integralet

Fasit

\(\frac{4}{3}\cdot \sqrt{ x^2+2 } \cdot(x^2+2)+C=\frac{4}{3}(x^2+2)^{\frac{3}{2}}+C\)

Løsningsforslag

Aritmetisk mur

Fasit

a) –
b) 210

Løsningsforslag

a

En rekke \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\) er aritmetisk dersom differansen mellom to etterfølgende ledd er konstant, det vil si at

der \(d\) kalles den konstante differansen. Ledd nummer \(n\) kan da skrives som

Summen av de \(n\) første leddene er

b

Fra figuren ser vi at øverste rad har 1 murstein, neste rad har 2, og slik fortsetter det slik at rad nummer \(k\) har \(k\) murstein. Med 20 rader får vi rekken

Dette er en aritmetisk rekke med \(a_1 = 1\), \(d = 1\) og \(n = 20\).

Siste ledd:

Summen:

Summen av ukjent uendelig geometrisk rekke

Summen av en uendelig geometrisk rekke konvergerer mot 6.

Summen av tre første leddene er \(\frac{38}{9}\) .

Bestem summen av de fire første leddene.

Fasit

\(\frac{130}{27}\)

Løsningsforslag

1-3

Om oppgaveteksten

Denne oppgaven finnes i to ulike varianter (sannsynligvis på grunn av en skrivefeil i løsningsforslag eller oppgavesettet. Den ene varianten sier at summen av de tre første leddene er 38/9, mens den andre varianten sier at summen av de seks første leddene er 38/9. Løsningsmetoden min vil fungere uansett hvilken variant man tenker seg, men det er nok lurt å heller formel for sum av geometrisk rekke (\(s_{n} = a_{1} \frac{k^n-1}{k-1}\)) enn min framgangsmåte dersom man får oppgitt summen av et høyt antall ledd. Min metode er enkel når du bare trenger å tenke på 3 ledd, men skal du ta hensyn til 100 så må du regne mye!

Oppgavetekst

Summen av en uendelig geometrisk rekke konvergerer mot 6.

Sum av tre første ledd er 38/9

Hva er sum av de fire første?

Løsningsforslag

Jeg kaller første ledd i rekka for \(x\). Vet da at de tre første leddene må være:

Som kan faktoriseres til

Summen for uendelig geometrisk rekke gir:

Løser den likningen for \(x\) og setter inn i uttrykket for sum av 3 første ledd

Vi har nå funnet \(k\) og kan enkelt finne \(x\):

Ledd 4 må være:

Summen av de fire første leddene blir da summen av de tre første pluss dette fjerde leddet

Summen av fire første ledd er

Alternativ løsning

Fra formel for sum av uendelig geometrisk rekke vet vi at

Samtidig kan sum av de tre første leddene uttrykkes som

Vi har altså to likninger og to ukjente, \(a_{1}\) og \(k\).

Vi kan løse den første likningen for \(a_{1}\) og sette inn i den andre likningen

Siden \((1-k)=(-1)\cdot (k-1)\) så bytter jeg ut denne faktoren i telleren for å kunne forkorte brøken på høyre side. Samtidig deler jeg på 6 på begge sider.

Vi kan nå løse likningen

Når vi endelig har \(k\) så kan vi finne \(a_{1}\) med

Og til slutt kan vi finne summen av de fire første leddene med sumformelen

Summen av de fire første leddene er

Forventningsverdi og varians fra diskret sannsynlighetsfordeling

En sannsynlighetsfordeling er gitt ved tabellen nedenfor.

Fasit

a) \(E(X)=2\)
b) \(Var(X)=1{,}4\)

Løsningsforslag

a

Summen av sannsynlighetene for alle utfallene skal være 1. Vi har dermed at

Forventningsverdien er gitt ved

\(k\) må være lik 0,1 og forventningsverdien \(\text{E}(X)=2\).

b

Variansen til \(X\) er gitt ved

Dette er enklest å regne ut ved å bruke sannsynlighetsfordelingen:

Summen av kvadratavvikene er 1,4.

Variansen \(\underline{\underline{\text{Var}(X)=1{,}4}}\).

Bestem forventningsverdi og standardavvik fra prosenter

I en gruppe elever er høyden tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi \(\mu\) og standardavvik \(\sigma\).

I denne fordelingen er 15,9 prosent av elevene lavere enn 173 cm og 15,9 prosent av elevene er høyere enn 183 cm.

Fasit

a) \(\mu = 178 \text{ cm}\), \(\sigma = 5 \text{ cm}\)
b) Ca. \(34{,}5 \,\%\)

Løsningsforslag

a

Vi skal finne \(\mu\) og \(\sigma\) når vi vet at \(15{,}9\,\%\) av elevene er lavere enn 173 cm, og \(15{,}9\,\%\) er høyere enn 183 cm.

Fra normalfordelingstabellen gjenkjenner vi at \(15{,}9\,\%\approx 0{,}1587 = \Phi(-1)\), altså er \(P(Z \leq -1) \approx 0{,}159\).

Vi standardiserer grenseverdiene:

Av symmetri er \(P(X > 183) = 0{,}159 = P(Z > 1)\), som gir:

Vi legger de to likningene sammen:

Vi trekker den første likningen fra den andre:

\(\mu = \underline{\underline{178 \text{ cm}}}\) og \(\sigma = \underline{\underline{5 \text{ cm}}}\)

b

Vi standardiserer \(X = 180\):

Fra normalfordelingstabellen leser vi av:

Dermed:

Ca. \(\underline{\underline{34{,}5 \,\%}}\) av elevene er høyere enn 180 cm.

Argumenter for hvorfor sette grensekostnad lik grenseinntekt

Forklar hvorfor vi kan sette grensekostnad lik grenseinntekt når vi skal finne det største overskuddet.

Fasit

\(O'(x)=I'(x)-K'(x)\)
\(0=I'(x)-K'(x)\iff I'(x)=K'(x)\)

Løsningsforslag

La \(I(x)\) være inntektsfunksjonen og \(K(x)\) være kostnadsfunksjonen, der \(x\) er produsert mengde. Overskuddet er da:

For å finne maksimalt overskudd deriverer vi \(O(x)\) og setter den deriverte lik null:

Det vil si: et maksimum for overskuddet krever at grenseinntekten er lik grensekostnaden.

Intuitiv forklaring:

• Hvis \(I'(x) > K'(x)\): den siste produserte enheten gir mer i inntekt enn den koster å produsere. Da lønner det seg å produsere én enhet til — overskuddet øker.
• Hvis \(I'(x) < K'(x)\): den siste produserte enheten koster mer enn den innbringer. Da ville det vært bedre å produsere én enhet mindre — overskuddet øker ved å redusere produksjonen.
• Først når \(I'(x) = K'(x)\) er det ikke mulig å øke overskuddet ved å endre produksjonsmengden.

Merk: \(O'(x) = 0\) er en nødvendig betingelse, men ikke tilstrekkelig for maksimum. Vi må i tillegg kontrollere at det faktisk er et maksimum og ikke et minimum eller vendepunkt — for eksempel ved å sjekke at \(O''(x) < 0\), eller ved en fortegnsdrøfting av \(O'(x)\).

Ukjent programkode

En elev har skrevet følgende kode

123456789101112131415from math import sqrt            # importerer kvadratrotfunksjon
a = 0
b = 2
n = 10000

def f(x):
	return x**2 + 2

I = 0
h = (b - a)/n

for i in range(n):
	I = I + f(a + i*h)*h

print(round(I,3))

Fasit

a) Eleven ønsker å beregne en tilnærmingsverdi for dette integralet \(\int_{0}^{2} \left(x^{2}+2\right) \, dx\)
b) \(\frac{20}{3}\)

Løsningsforslag

a

Programmet beregner en tilnærmingsverdi for integralet \(\int_{0}^{2} \left(x^{2}+2\right) \, \mathrm{d}x\) ved hjelp av rektangelmetoden (venstre Riemann-sum).

Variablene a = 0 og b = 2 angir integrasjonsgrensene, og n = 10000 er antall rektangler. Funksjonen f(x) = x² + 2 er integranden.

Bredden på hvert rektangel er

Summen beregnes i løkken ved å legge til arealet av hvert rektangel:

Det vil si at høyden på rektangel \(i\) er funksjonsverdien i venstre kant av intervallet, \(f(a + i \cdot h)\), og arealet er \(f(a + i \cdot h) \cdot h\).

Eleven ønsker å beregne \(\int_{0}^{2} \left(x^{2}+2\right) \, \mathrm{d}x\) ved rektangelmetoden (venstre Riemann-sum) med \(n = 10\,000\) rektangler.

b

Vi beregner integralet eksakt ved å finne en antiderivert av \(f(x) = x^{2} + 2\):

Logistisk modell for oljefondet

Tabellen nedenfor viser markedsverdien til Statens pensjonsfond utland, «Oljefondet», for noen år.

En politiker mener en logistisk modell ikke er realistisk, siden det er rimelig å anta at verdien av fondet ikke vil stagnere i framtiden.

Fasit

a) \(g(x) = \dfrac{20267}{1 + 42{,}35 \cdot e^{-0{,}1978x}}\)
b) Ja, ifølge modellen vil verdien overstige \(20\,000\) milliarder kroner (rundt år 2041), men den nærmer seg asymptoten \(K \approx 20\,267\) og vil aldri overstige den.
c) Markedsverdien vokste raskest rundt år 2019 (ved \(x \approx 18{,}9\)).
d) \(h(x) = 859{,}59 \cdot e^{0{,}1276x}\) (eksponentiell modell)
e) \(h'(23) - g'(23) \approx \mathbf{1208}\) milliarder kroner per år (h vokser ca. 1208 mrd. kr/år raskere enn g i 2023)

Løsningsforslag

a

Vi bruker de oppgitte dataene med \(x\) = antall år etter 2000:

Vi tilpasser en logistisk modell på formen

Regresjon (se GeoGebra) gir parametrene \(K \approx 20267\), \(B \approx 42{,}35\) og \(r \approx 0{,}1978\), slik at

Den blå kurven i figuren viser at modellen passer godt til datapunktene (røde).

b

Den logistiske funksjonen har horisontal asymptote \(y = K \approx 20\,267\). Funksjonen nærmer seg denne asymptoten nedenfra, det vil si \(g(x) < K\) for alle endelige \(x\).

Vi løser \(g(x) = 20\,000\) i CAS (se linje 3):

Det vil si rundt år \(2000 + 41 \approx \mathbf{2041}\).

Ifølge modellen vil markedsverdien overstige 20 000 milliarder kroner (omtrent i år 2041). Verdien vil derimot aldri overstige asymptoten \(K \approx 20\,267\) milliarder kroner.

c

Markedsverdien vokser raskest i vendepunktet til \(g\), der \(g'(x)\) er maksimal. For en logistisk funksjon ligger vendepunktet ved

CAS bekrefter vendepunktet (linje 4): \((18{,}94,\; 10133{,}5)\).

Ifølge modellen \(g\) vokste markedsverdien raskest rundt år 2019. Dette kan også leses av fra grafen der den blå kurven har størst stigningstall.

d

En politiker mener at verdien av fondet ikke vil stagnere. Da passer ikke en logistisk modell (som har en øvre grense). En eksponentiell modell forutsetter at prosentvis vekst per år er konstant, noe som er rimelig dersom fondet fortsetter å vokse uten tak.

Vi tilpasser modellen \(h(x) = A \cdot e^{kx}\) til dataene og får

Den oransje kurven i figuren viser at den eksponentielle modellen passer godt til dataene i perioden vi har observasjoner, men vil vokse ubegrenset fremover — i tråd med politikerens antagelse.

e

Vi beregner de deriverte i \(x = 23\) (år 2023) ved hjelp av CAS (se linje 5 og 6):

Differansen (linje 7):

Ifølge modellen \(h\) vil markedsverdien øke ca. 1208 milliarder kroner raskere per år i 2023 enn ifølge modellen \(g\). Eller sagt annerledes: \(h\) vokser omtrent 2,4 ganger raskere enn \(g\) dette året.

Levetiden til lyspærer

Levetiden \(T\) i timer til en tilfeldig lyspære av en bestemt type er en stokastisk variabel. Det viser seg at

der tetthetsfunksjonen \(f\) er gitt ved

Forventningsverdien \(\mu\) til en kontinuerlig stokastisk variabel med tetthetsfunksjonen \(f\) er gitt ved

Fasit

a) Løs likningen \(\int_{0}^{\infty} k\cdot e^{-0{,}005t} \, dt=1\)
b) \(\frac{1}{e^{2}}\)
c) 200

Løsningsforslag

a

Siden \(f(t)=0\) når \(t\leq 0\) så vil

Vi trenger derfor kun å bry oss tilfellet hvor \(t>0\).

Vi vet at et krav til sannsynlighetsfordelinger er at summen av alle sannsynlighetene skal bli 1. For kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger har vi altså

I vårt tilfelle ønsker vi altså å bestemme \(k\) slik at den tilfredsstiller likningen

Vi kan løse denne i GeoGebra eller vi kan integrere for hånd:

Jeg har vist at \(k=0{,}005\)

b

Jeg kan bruke integralet av tetthetsfunksjonen til å beregne sannsynligheten. Sannsynligheten for at lyspæras levetid er mellom 0 og 400 timer er gitt ved

Siden summen av sannsynlighetene for alle utfallene er 1 så kan vi finne sannsynligheten for at lyspæra varer mellom 400 og uendelig timer ved å ta

Sannsynligheten for at lyspæras levetid er mer enn 400 timer er \(\frac{1}{e^{2}} \approx 0{,}135\).

c

Jeg bruker uttrykket for forventningsverdi som står i oppgaveteksten og beregner ved hjelp av GeoGebra:

Forventningsverdien for \(T\) er \(\mu_{T}=200\) timer.

Hypotesetest med terninger

Sigrid har to terninger som hun syntes mistenkelig ofte gir seksere. Hun testet derfor de to terningene ved å kaste dem 100 ganger og telle opp antall ganger begge terningene gav seksere.

Det viste seg begge terningene gav seksere sju ganger.

Fasit

På 5 % signifikansnivå: \(\underline{\underline{p\text{-verdi} \approx 2{,}17 \,\% < 5 \,\%}}\) — vi forkaster \(H_0\). Sigrid har grunn til mistanken.

På 1 % signifikansnivå: \(p\text{-verdi} \approx 2{,}17 \,\% > 1 \,\%\) — vi beholder \(H_0\). Ikke nok bevis.

Løsningsforslag

Forutsetninger

Vi legger til grunn to forutsetninger:

• Hvert kast er uavhengig av de andre (det ene kastet påvirker ikke det neste).
• Sannsynligheten for at begge terningene viser sekser i ett kast er \(p_0 = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\) dersom terningene er rettferdige og uavhengige.

Hypoteser

Dette er en ensidig test (vi tester kun om terningene gir for mange doble seksere).

Testobservator

La \(X\) være antall kast der begge terningene viser sekser. Under \(H_0\) er \(X\) binomisk fordelt med \(n = 100\) og \(p = \frac{1}{36}\).

Sigrid observerte \(X = 7\).

Beregning av p-verdi

P-verdien er sannsynligheten for å få minst like ekstremt resultat som observert, gitt at \(H_0\) er sann:

Vi beregner dette i GeoGebra CAS:

Se P_verdi i linje 4: \(P(X \geq 7) \approx \textcolor{steelblue}{0{,}02174} \approx 2{,}17 \,\%\).

Konklusjon

På 5 % signifikansnivå:

P-verdien er lavere enn signifikansnivået, så vi forkaster \(H_0\). Resultatet er statistisk signifikant. Sigrid har grunn til å mistenke at terningene gir doble seksere for ofte.

På 1 % signifikansnivå:

P-verdien er høyere enn signifikansnivået, så vi beholder \(H_0\). Vi har ikke tilstrekkelig statistisk bevis. På 1 %-nivå er ikke resultatet signifikant.

Rente på avbetalingstilbud

Bjarne skal kjøpe et hjemmekinoanlegg. Anlegget koster \(20\,000\) kroner. Han velger å kjøpe det på avbetaling. Han må da betale \(729\) kroner per måned i \(36\) måneder. Første innbetaling er én måned etter kjøpsdatoen.

Fasit

Månedlig rente: \(\underline{\underline{r \approx 1{,}549 \,\%}}\)

Effektiv årsrente: \(\underline{\underline{\approx 20{,}26 \,\%}}\)

Løsningsforslag

Et annuitetslån med terminbeløp \(T\), rente \(r\) per termin og \(n\) terminer har nåverdi

Her er nåverdien lik kjøpsprisen \(20\,000 \, \mathrm{kr}\), terminbeløpet \(T = 729 \, \mathrm{kr}\) og antall terminer \(n = 36\) måneder. Vi setter opp likningen og løser for den ukjente månedsrenten \(r\):

Vi løser likningen numerisk i CAS (se linje 1 i GeoGebra-utklippet):

Fra linje 1 finner vi \(r \approx 0{,}01549\) (den negative løsningen forkastes siden renten ikke kan være negativ).

Månedlig rente: \(\mathbf{r \approx 0{,}01549 \approx}\) \(\underline{\underline{1{,}549 \,\%}}\) per måned.

Den effektive årsrenten beregnes ved å kompoundere månedsrenten over 12 måneder (se linje 2):

Effektiv årsrente: \(\underline{\underline{\approx 20{,}26 \,\%}}\)

Hanois tårn

Spillet «Hanois tårn» består av tre pinner og en mengde disker med ulik radius som skal tres på pinnene.

Når spillet starter, skal alle diskene være plassert på samme pinne. Ingen av diskene skal ha en større disk liggende oppå seg.

Målet er å flytte alle diskene over på én av de to ledige pinnene. Det er bare lov å flytte én disk av gangen. Diskene som ikke flyttes, må ligge på en pinne. Det er aldri lov å plassere en større disk oppå en mindre disk.

Det minste antallet forflytninger du må gjøre for å flytte \(n\) disker kaller vi \(F(n)\).

Det er en rekursiv sammenheng mellom \(F(n)\) og \(F(n-1)\).

Det finnes også en eksplisitt formel for \(F\).

Fasit

a) \(F(3) = 7\)
b) \(F(n) = 2 \cdot F(n-1) + 1\), \(\quad F(10) = 1023\)
c) \(F(n) = 2^n - 1\)

Løsningsforslag

a

Vi skal flytte 3 disker fra venstre pinne til høyre pinne. Kall pinnene A (venstre), B (midtre) og C (høyre), og diskene 1 (minst), 2 (mellom) og 3 (størst).

Strategien er: flytt de to øverste diskene til midtpinnen, flytt den største til høyre, og flytt de to øverste tilbake.

1. Disk 1: A → C
2. Disk 2: A → B
3. Disk 1: C → B
4. Disk 3: A → C
5. Disk 1: B → A
6. Disk 2: B → C
7. Disk 1: A → C

Det er altså \(3 + 1 + 3 = 7\) trekk, og vi kan ikke gjøre det på færre.

b

For å flytte \(n\) disker fra pinne A til pinne C bruker vi denne strategien:

1. Flytt de øverste \(n-1\) diskene fra A til B. Det krever \(F(n-1)\) trekk.
2. Flytt den største disken fra A til C. Det er \(1\) trekk.
3. Flytt de \(n-1\) diskene fra B til C. Det krever igjen \(F(n-1)\) trekk.

Den rekursive sammenhengen er:

med startverdien \(F(1) = 1\).

Vi bygger opp tabellen:

c

Fra tabellen i b) ser vi at verdiene er \(1, 3, 7, 15, 31, \ldots\) Vi legger merke til at disse er \(2^1 - 1,\; 2^2 - 1,\; 2^3 - 1,\; 2^4 - 1,\; 2^5 - 1, \ldots\)

Vi gjetter at den eksplisitte formelen er:

Verifisering: Vi setter inn i rekursjonen og sjekker at formelen stemmer:

Formelen er altså konsistent med rekursjonen. Kombinert med startverdien \(F(1) = 2^1 - 1 = 1\) gir dette:

Simuler sannsynlighet for høyde over 175 cm

På en skole er det 323 jenter og 301 gutter. La \(X\) være høyden til en tilfeldig valgt jente og \(Y\) være høyden til en tilfeldig valgt gutt. Vi antar at \(X\) og \(Y\) er normalfordelte med \(\mu_{X}=168 \,\mathrm{cm}\), \(\mu_{Y}=180\,\mathrm{cm}\), \(\sigma_{X}=6\,\mathrm{cm}\) og \(\sigma_{Y}=8\,\mathrm{cm}\).

Lag et program som du kan bruke til å simulere sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev er høyere enn 175 cm. Bestem denne sannsynligheten.

Fasit

Omtrent 41,6 %

Løsningsforslag

import numpy as np
import random

n_x = 323
n_y = 301
mu_x = 168
mu_y = 180
s_x = 6
s_y = 8
grense = 175
antall_simuleringer = 10000

antall_gunstige = 0

# trekk antall_simuleringer elever
for i in range(antall_simuleringer):
    # Vi trekker en tilfeldig elev, men vi må finne ut om
    # eleven er gutt eller jente.
    # Det er 301 gutter. Hvis vi trekker et tilfeldig tall mellom
    # 1 og 301+323=624 så kan vi si at dersom tallet er mindre enn
    # eller lik 301, så er det en gutt.
    if (random.randint(1, n_x + n_y) <= n_y):
        # Her har vi altså trukket en gutt og vi trekker en tilfeldig gutt
        # fra en normalfordeling
        hoyde = np.random.normal(mu_y, s_y)
    else:
        # ellers har vi trukket ei jente
        hoyde = np.random.normal(mu_x, s_x)

    if (hoyde > grense):
        antall_gunstige += 1

print(f"Sannsynligheten for å trekke en tilfeldig eleve over 175 cm er "
      f"estimert til {(antall_gunstige / antall_simuleringer) * 100:.1f} "
      f"med {antall_simuleringer} simuleringer")