Trigonometri i rettvinklet trekant

Tom har arbeidet med trekanten ovenfor og påstår at \(\tan u \cdot \tan v = 1\)

Fasit

a) –
b) Påstanden stemmer alltid

Løsningsforslag

a

Tom har rett. \(\underline{\underline{ \tan u \cdot \tan v = 1 }}\)

b

For de to spisse vinklene \(u\) og \(v\) i en rettvinklet så vil de alltid ha «motsatte» hosliggende og mostående kateter. La oss kalle den ene kateten for \(a\) og den andre for \(b\). Da er

Hvis vi multipliserer disse må vi alltid få 1.

Påstanden stemmer for alle rettvinklede trekanter med to spisse vinkler.

Polynomdivisjon og faktorisering

Guri har utført to ulike polynomdivisjoner og påstår at begge divisjonene viser at faktoriseringen nedenfor er riktig.

Fasit

Divisjon 1: \((2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) : (x - 2) = \underline{\underline{2x^2 + 7x + 3}}\), rest \(0\)

Divisjon 2: \((2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) : (2x^2 + 7x + 3) = \underline{\underline{x - 2}}\), rest \(0\)

Løsningsforslag

Guri påstår at \(2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 = (2x^2 + 7x + 3)(x - 2)\).

For å kontrollere dette kan hun dele på én av faktorene og sjekke at resten blir \(0\) og kvotienten er den andre faktoren. To naturlige valg er:

• Divisjon 1: dele på den enkle faktoren \((x - 2)\)
• Divisjon 2: dele på den kvadratiske faktoren \((2x^2 + 7x + 3)\)

Divisjon 1: \((2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) : (x - 2)\)

Steg for steg:

• \(2x^3 : x = 2x^2\), og \(2x^2 \cdot (x - 2) = 2x^3 - 4x^2\). Rest: \(7x^2 - 11x - 6\)
• \(7x^2 : x = 7x\), og \(7x \cdot (x - 2) = 7x^2 - 14x\). Rest: \(3x - 6\)
• \(3x : x = 3\), og \(3 \cdot (x - 2) = 3x - 6\). Rest: \(0\)

Kvotienten er \(2x^2 + 7x + 3\) og resten er \(0\).

Siden resten er \(0\), er \((x - 2)\) en faktor i \(2x^3 + 3x^2 - 11x - 6\), og vi får

Dette viser at faktoriseringen er riktig.

Divisjon 2: \((2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) : (2x^2 + 7x + 3)\)

Steg for steg:

• \(2x^3 : 2x^2 = x\), og \(x \cdot (2x^2 + 7x + 3) = 2x^3 + 7x^2 + 3x\). Rest: \(-4x^2 - 14x - 6\)
• \(-4x^2 : 2x^2 = -2\), og \(-2 \cdot (2x^2 + 7x + 3) = -4x^2 - 14x - 6\). Rest: \(0\)

Kvotienten er \(x - 2\) og resten er \(0\).

Siden resten er \(0\), er \((2x^2 + 7x + 3)\) en faktor i \(2x^3 + 3x^2 - 11x - 6\), og vi får

Dette viser at faktoriseringen er riktig.

Matematisk identitet fra arealmodell

Fasit

\(\underline{\underline{a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)}}\)

Løsningsforslag

Det store kvadratet har side \(a\), så totalarealet er \(a^2\).

Det hvite området nede til høyre er et kvadrat med side \(b\), så arealet er \(b^2\).

Det grønne området er alt unntatt det hvite hjørnet:

Vi kan også beregne det grønne arealet direkte ved å dele det opp i to rektangler. Vi deler det grønne L-formet område langs den horisontale linjen:

• Øverste del (hele bredden \(a\), høyde \(a-b\)): areal \(= a(a-b)\)
• Nedre del (bare bredde \(a-b\), høyde \(b\)): areal \(= (a-b) \cdot b\)

De to uttrykkene for det grønne arealet må være like, så vi får identiteten:

Gjennomsnittlig vekstfart med program

Ada har laget programmet nedenfor.

123456789def f(x):
    return x ** 2 - 3 * x + 7

a = 0
b = 5

v = (f(b) - f(a)) / (b - a)

print(v)

Fasit

Programmet skriver ut \(\underline{\underline{2}}\).

Verdien er den gjennomsnittlige vekstfarten til \(f\) på intervallet \([0, 5]\). Det vil si at \(f(x)\) i gjennomsnitt øker med \(2\) per enhet \(x\) på dette intervallet.

Løsningsforslag

Programmet beregner \(v = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\) med \(a = 0\) og \(b = 5\).

Vi finner \(f(0)\) og \(f(5)\):

Deretter beregner programmet:

Programmet skriver ut \(\underline{\underline{2}}\).

Denne verdien er den gjennomsnittlige vekstfarten til \(f(x)\) på intervallet \([0, 5]\). Det betyr at \(f(x)\) i gjennomsnitt øker med \(2\) enheter per enhet \(x\) i dette intervallet.

Andregradsuttrykk og ulikhet fra graf

Figuren viser grafen til en funksjon \(f\).

Fasit

a) \(\underline{\underline{f(x) = -2x^2 + 2x + 24}}\)
b) \(\underline{\underline{-2 < x < 3}}\)

Løsningsforslag

a

Fra grafen leser vi av at \(f\) har nullpunkter i \(x = -3\) og \(x = 4\), og at \(f(0) = 24\).

Vi skriver \(f\) på nullpunktform:

Vi bruker at \(f(0) = 24\) for å bestemme \(a\):

Dermed er

b

Vi løser \(f(x) > 12\):

Deler begge sider på \(-2\) (snur ulikheten):

Faktoriserer venstresiden:

Produktet \((x-3)(x+2) < 0\) når de to faktorene har motsatt fortegn. Vi setter opp fortegnsskjema:

Produktet er negativt for \(\mathbf{-2 < x < 3}\).

• deloppgave: d
  poeng: 2

Modellering av bagettsalg

Tabellen nedenfor viser hvor mange bagetter en kantine har solgt hver av de siste sju ukene, og hvor stort overskudd salget har gitt.

Fasit

a) Alle datapunkter ligger nær kurven — \(O(x)\) er en god modell.
b) Maksimalt overskudd \(\underline{\underline{\approx 4459 \, \mathrm{kr}}}\) ved \(\underline{\underline{x \approx 284}}\) bagetter.
c) Stigningstallet er \(\underline{\underline{24{,}04 \, \mathrm{kr/bagett}}}\).
d) Momentan vekstfart: \(\underline{\underline{O'(235) \approx 8{,}74 \, \mathrm{kr/bagett}}}\).

Løsningsforslag

a

Vi plotter datapunktene fra tabellen og grafen til \(O(x) = -0{,}09x^2 + 51{,}04x - 2776{,}98\) i GeoGebra:

Vi ser at alle de røde datapunktene ligger svært nær den blå kurven. Vi kan også beregne modellverdiene og sammenligne:

Avvikene er små (under \(50\) kr) sammenlignet med overskuddet. \(O(x)\) er en god modell.

b

Vi finner toppunktet til \(O(x)\) ved å sette den deriverte lik null.

Vi løser dette i GeoGebra CAS:

Det vil si at overskuddet er størst ved \(x \approx 284\) bagetter. Maksimalt overskudd:

Kantinen bør produsere og selge ca. \(\underline{\underline{284}}\) bagetter per uke. Da blir overskuddet \(\underline{\underline{\approx 4459 \, \mathrm{kr}}}\).

c

Vi beregner stigningstallet til sekanten gjennom \((100,\, O(100))\) og \((200,\, O(200))\):

Stigningstallet er \(\underline{\underline{24{,}04 \, \mathrm{kr/bagett}}}\).

Praktisk tolkning: Når antall solgte bagetter øker fra 100 til 200, øker overskuddet i gjennomsnitt med \(24{,}04\) kr per ekstra bagett.

d

Den momentane vekstfarten er verdien av den deriverte i punktet \(x = 235\):

Den momentane vekstfarten er \(\underline{\underline{O'(235) \approx 8{,}74 \, \mathrm{kr/bagett}}}\).

Praktisk tolkning: Når kantinen allerede selger 235 bagetter per uke, vil én ekstra solgt bagett øke overskuddet med ca. \(8{,}74\) kr.

Lysbrytning i vann

Når en lysstråle går fra luft til vann, skifter den retning.

På figuren står linjen \(m\) vinkelrett på vannoverflaten og lysstrålen går fra å danne en vinkel \(u\) med \(m\) til å danne en vinkel \(v\) med \(m\).

Når lysstrålen går fra luft til vann, vil

Fasit

a) \(\underline{\underline{u \approx 56{,}82\degree}}\)
b) Vinkelen \(v\) nærmer seg \(\underline{\underline{v \approx 48{,}75\degree}}\) (og kan aldri bli \(90\degree\)).
c) \(\underline{\underline{u = v = 0\degree}}\) er den eneste muligheten.

Løsningsforslag

Vi bruker GeoGebra CAS til å løse oppgaven. Likningen for lysbrytning er gitt:

a

Vi skal finne \(u\) når \(v = 39\degree\). Setter inn i likningen:

Se linje 1–2 i CAS-utklippet: \(u \approx 56{,}82\degree\).

Vinkelen \(u\) må være \(\underline{\underline{u \approx 56{,}82\degree}}\).

b

Dersom \(u \to 90\degree\), vil \(\sin u \to 1\). Fra likningen får vi da:

Se linje 3 i CAS-utklippet. Selv om \(u\) nærmer seg \(90\degree\), vil \(v\) aldri nå \(90\degree\) — den nærmer seg \(48{,}75\degree\) som en grenseverdi. Dette er den kritiske vinkelen for totalrefleksjon.

Vinkelen \(v\) nærmer seg \(\underline{\underline{v \approx 48{,}75\degree}}\) og kan aldri bli \(90\degree\).

c

Vi antar \(u = v\) og setter inn i likningen:

Se linje 4 i CAS-utklippet (løsningen \(u = \pi \cdot k_1\) tilsvarer \(u = 0\degree\) for ikke-negative vinkler). Da er også \(v = 0\degree\).

Vinklene kan altså bare være like store når lysstrålen går rett gjennom langs linjen \(m\).

\(\underline{\underline{u = v = 0\degree}}\) er den eneste muligheten.

Trekant med arealsetning og cosinussetning

Du får vite følgende om en trekant \(ABC\)

• \(AB\) er 8
• \(\angle A = 120\degree\)
• Arealet av trekanten er \(4\sqrt{3}\)

Fasit

\(AC = \underline{\underline{2}}\), \(BC = \underline{\underline{2\sqrt{21}}}\)

Løsningsforslag

Vi bruker GeoGebra CAS til å løse oppgaven eksakt.

Finn AC med arealsetningen:

Arealsetningen gir

Vi setter inn kjente verdier og løser for \(AC\):

CAS gir \(\textcolor{seagreen}{AC = 2}\).

Finn BC med cosinussetningen:

CAS bekrefter \(\textcolor{seagreen}{BC = 2\sqrt{21}}\).

Svar: \(\underline{\underline{AC = 2}}\) og \(\underline{\underline{BC = 2\sqrt{21}}}\)

Summer av oddetall og programmering

I denne oppgaven skal du arbeide med summer av oddetall.

Fasit

a) Se programmet i løsningsforslaget. Summene er \(1, 4, 9, 16, 25, \ldots, 400\).
b) \(S_n = n^2\) — summen av de \(n\) første oddetallene er alltid et kvadrattall.

Løsningsforslag

a

Vi bruker en løkke som for hvert \(n\) summerer alle oddetall opp til og med det \(n\)-te oddetallet (\(2n-1\)):

for n in range(1, 21):
    S = 0
    for k in range(1, n + 1):
        S = S + (2*k - 1)
    print(f"S_{n} = {S}")

Programmet skriver ut:

S_1 = 1
S_2 = 4
S_3 = 9
S_4 = 16
S_5 = 25
S_6 = 36
S_7 = 49
S_8 = 64
S_9 = 81
S_10 = 100
S_11 = 121
S_12 = 144
S_13 = 169
S_14 = 196
S_15 = 225
S_16 = 256
S_17 = 289
S_18 = 324
S_19 = 361
S_20 = 400

b

Summene \(1, 4, 9, 16, 25, \ldots\) er alle kvadrattall. Sammenhengen ser ut til å være:

Vi argumenterer for at dette stemmer ved hjelp av figuren:

Figuren viser at \(S_n\) kan illustreres som et \(n \times n\) kvadrat bygd opp av kuler. Hvert steg fra \(S_{n-1}\) til \(S_n\) legger vi til en ny rad langs bunnen og en ny kolonne langs høyre side. Disse to bidrar med \(n + n = 2n\) kuler, men hjørnekula er telt to ganger, så vi trekker fra 1. Antall kuler som legges til er derfor:

Dette er nøyaktig det \(n\)-te oddetallet. Dermed bygger vi et \(n \times n\) kvadrat fra et \((n-1) \times (n-1)\) kvadrat ved å legge til et L-formet skall med \(2n - 1\) kuler:

Siden \(S_1 = 1 = 1^2\), og hvert steg øker kvadratsiden med 1, gir dette:

Lufttrykk og kokepunkt for vann

Når lufttrykket er lavere enn 1000 hPa, vil kokepunktet for vann være lavere enn \(100 \degree\mathrm{C}\). Se tabellen nedenfor.

Fasit

a) \(K(x) = 8{,}71 \cdot x^{0{,}356}\)
b) Aris modell: \(L_A(x) = 1000 \cdot 0{,}88^x\). Lisas modell: \(L_L(x) = 1000 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x/5{,}5}\)
c) Med Aris modell: ca. \(\underline{\underline{4 \, \mathrm{km}}}\) over havet.

Løsningsforslag

a

Vi legger inn datapunktene fra tabellen i GeoGebra og bruker regresjonsverktøyet til å finne en modell på formen \(K(x) = a \cdot x^b\).

Fra GeoGebra (potensregresjon):

Modellen passer godt — alle datapunktene ligger nær kurven.

\(\mathbf{K(x) = 8{,}71 \cdot x^{0{,}356}}\)

b

Aris modell: Lufttrykket minker med 12 % per km, det vil si lufttrykket blir ganget med \(0{,}88\) for hvert km. Vi starter ved \(1000\) hPa ved havets overflate, slik at

der \(x\) er antall km over havet.

Lisas modell: Lufttrykket halveres for hver \(5{,}5\) km, det vil si \(k^{5{,}5} = \tfrac{1}{2}\), som gir \(k = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{1/5{,}5} \approx 0{,}8816\). Med samme startverdi:

Modellene er svært like: \(k_A = 0{,}88\) og \(k_L \approx 0{,}882\).

c

Et egg blir hardkokt dersom kokepunktet er minst \(85 \, \degree\mathrm{C}\). Vi må finne høyden \(x\) slik at \(K(L(x)) = 85\).

Vi bruker Aris modell og setter opp likningen

Vi løser likningen i GeoGebra CAS:

CAS gir \(x \approx 3{,}98 \, \mathrm{km}\).

Med Lisas modell får man \(x \approx 4{,}03 \, \mathrm{km}\) — begge modellene gir omtrent det samme svaret.

Det er mulig å få egg hardkokte opp til ca. \(\underline{\underline{4 \, \mathrm{km}}}\) over havet.

Tangent fra derivertgraf

Den rette linjen som er tegnet i koordinatsystemet ovenfor, er den deriverte av en funksjon \(f\).

Punktet \(P(1, 2)\) ligger på grafen til \(f\).

Fasit

\(\underline{\underline{y = -2x + 4}}\)

Løsningsforslag

Tangentens stigningstall i et punkt er lik den deriverte i det punktet.

Vi leser av \(f'(1)\) fra grafen til \(f'\): linjen passerer gjennom \((2, 0)\) og \((4, 4)\), så stigningstallet til \(f'\) er

Linjens likning er \(f'(x) = 2x + b\). Fra punktet \((2, 0)\):

Altså \(f'(x) = 2x - 4\), og dermed

Tangentens stigningstall i \(P(1, 2)\) er \(\textcolor{seagreen}{-2}\).

Tangentlikningen gjennom \(P(1, 2)\) med stigningstall \(-2\):

Lukket kurve med tre funksjoner

Figuren ovenfor viser tre grafer som til sammen danner en lukket kurve.

• To av grafene har bunnpunkter som ligger på \(y\)-aksen.
• Punktet \(A\) og punktet \(B\) har samme \(y\)-koordinat.

Fasit

Én mulig løsning:

Bunnpunkt for \(f\): \((0, 3)\) på \(y\)-aksen. Bunnpunkt for \(g\): \((0, 3)\) på \(y\)-aksen.
\(A = (-2\sqrt{2},\, 11)\) og \(B = (2,\, 11)\) har begge \(y\)-koordinat \(11\).

Løsningsforslag

Jeg velger to andregradfunksjoner som begge har bunnpunkt på \(y\)-aksen, og en horisontal linje som lukker kurven øverst. Funksjonsuttrykkene er

Definisjonsområder og grensepunkter

Jeg bestemmer definisjonsområdene slik at de tre grafene møtes og danner en lukket kurve:

• \(f\) er definert for \(x \in \langle -2\sqrt{2},\, 0 \rangle\)
• \(g\) er definert for \(x \in \langle 0,\, 2 \rangle\)
• \(h\) er definert for \(x \in \langle -2\sqrt{2},\, 2 \rangle\)

Punktet \(C = (0, 3)\) er der \(f\) og \(g\) møtes:

De to grafene har altså same funksjonsverdi i \(x = 0\), og kurven er sammenhengende her.

Punktene A og B

Punkt \(A\) er der \(f\) og \(h\) møtes. Jeg setter \(f(x) = 11\):

(tar den negative løsningen siden \(f\) er definert for \(x \leq 0\)).

Punkt \(B\) er der \(g\) og \(h\) møtes. Jeg setter \(g(x) = 11\):

Begge punktene har \(y\)-koordinat \(11\), så kravet om at \(A\) og \(B\) har samme \(y\)-koordinat er oppfylt.

Bunnpunkter på \(y\)-aksen

\(f(x) = x^2 + 3\) er en parabel som åpner oppover. Bunnpunktet er der \(f'(x) = 2x = 0\), altså \(x = 0\). Bunnpunktet er \((0, 3)\), som ligger på \(y\)-aksen.

\(g(x) = 2x^2 + 3\) er også en parabel som åpner oppover. Bunnpunktet er der \(g'(x) = 4x = 0\), altså \(x = 0\). Bunnpunktet er \((0, 3)\), som ligger på \(y\)-aksen.

Begge de to parabler har altså bunnpunkt på \(y\)-aksen, slik oppgaven krever.

Den lukkede kurven

Grafene danner en lukket kurve i tre deler:

1. \(f\): fra \(A = (-2\sqrt{2},\, 11)\) ned til \(C = (0,\, 3)\) (venstre parabelgren)
2. \(g\): fra \(C = (0,\, 3)\) opp til \(B = (2,\, 11)\) (høyre parabelgren, brattere)
3. \(h\): horisontal linje fra \(B = (2,\, 11)\) tilbake til \(A = (-2\sqrt{2},\, 11)\) (toppen)

Figuren nedenfor viser den lukkede kurven med \(f\) i blått, \(g\) i grønt og \(h\) i rødt.