To bestemte integraler

Regn ut integralene

Fasit

a) \(\underline{\underline{0}}\)
b) \(\underline{\underline{\dfrac{3}{2}}}\)

Løsningsforslag

a

Integranden \(f(x) = 4x^3 - x\) er en odde funksjon, siden

Integralet av en odde funksjon over et symmetrisk intervall \([-a, a]\) er alltid null. Derfor er

Alternativt kan vi beregne direkte. En antiderivert er \(F(x) = x^4 - \dfrac{x^2}{2}\), og

b

En antiderivert av \(e^{2x}\) er \(\dfrac{e^{2x}}{2}\). Vi får

Siden \(e^{2\ln 2} = e^{\ln 4} = 4\), blir dette

Tangens, derivert og integral

Fasit

a) \(f'(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x\)
b) \(\underline{\underline{\ln|\tan x| + C}}\)

Løsningsforslag

a

Vi skriver \(f(x) = \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\) og bruker kvotientregelen

med \(u = \sin x\), \(u' = \cos x\), \(v = \cos x\), \(v' = -\sin x\):

Siden \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) (Pytagoreisk identitet) får vi

Vi kan også skrive dette som

Dermed er \(\mathbf{f'(x) = 1 + \tan^2 x}\). \(\square\)

b

Vi kjenner igjen telleren fra del a): \(f'(x) = 1 + \tan^2 x\) er den deriverte av \(\tan x\).

Vi bruker substitusjonen \(u = \tan x\), som gir \(\mathrm{d}u = (1 + \tan^2 x)\,\mathrm{d}x\):

Pyramide med fire punkter i rommet

Punktene \(A(0,0,0)\), \(B(5,0,0)\), \(C(4,2,0)\) og \(T(0,0,5)\) danner en pyramide, slik figuren viser.

Fasit

a) \(\underline{\underline{V = \dfrac{25}{3}}}\)
b) \(\underline{\underline{A = \dfrac{15}{2}}}\)
c) \(\underline{\underline{h = \dfrac{10}{3}}}\)

Løsningsforslag

Vi setter opp vektorene fra \(A\):

a

Volumet av en tetraeder (pyramide med tre kanter fra samme hjørne) er

Vi beregner først kryssproduktert \(\vec{AC} \times \vec{AT}\):

Deretter skalarproduktet:

Volumet blir:

b

Vi setter opp vektorene fra \(B\):

Kryssprodukt:

Lengden:

Arealet av \(\triangle BCT\) er halvparten av dette:

c

Vi bruker sammenhengen mellom volumet, grunnflaten og høyden i en pyramide:

Her er \(A = \dfrac{15}{2}\) arealet av grunnflaten \(\triangle BCT\) og \(h\) er avstanden fra \(A\) til dette planet. Vi løser for \(h\):

Sum av aritmetisk rekke med kode

En elev har skrevet følgende kode:

1234567891011a = 3
d = 4

N = 10
S = 0

for i in range(N):
    S = S + a
    a = a + d

print(S)

Fasit

a) Programmet beregner summen av de 10 første leddene i en aritmetisk rekke med \(a_1 = 3\) og \(d = 4\). \(\underline{\underline{S_{10} = 210}}\)
b) \(\underline{\underline{S_{100} = 20100}}\)

Løsningsforslag

a

Variabelen a starter på 3 og variabelen d er lik 4. I løkken legges den gjeldende verdien av a til summen S, deretter økes a med d. Etter iterasjon \(i\) (teller fra 0) er leddet som ble lagt til \(a_{i+1} = 3 + i \cdot 4\).

Det betyr at programmet legger til leddene \(3,\ 7,\ 11,\ 15,\ \ldots\) — altså leddene i en aritmetisk rekke med

For \(N = 10\) beregner programmet summen av de 10 første leddene.

Det siste leddet er

Summen av en aritmetisk rekke er

Vi får

b

For \(N = 100\) beregner programmet summen av de 100 første leddene. Det siste leddet er

Summen blir

Bevis for grenseverdien til sin v delt på v

I denne oppgaven skal du vise at \(\lim_{v \to 0^+} \dfrac{\sin v}{v} = 1\).

I figuren nedenfor er \(AB = AD = 1\), og buen \(BD\) er del av en sirkel med sentrum i \(A\). Vi lar \(\angle BAC = v\) (målt i radianer).

Fasit

Se løsningsforslag.

Løsningsforslag

a

Vi ser på tre figurer som alle befinner seg innenfor sirkelen med sentrum \(A\) og radius \(1\), og sammenligner arealene.

Trekant \(ABD\).
\(DC\) er høyden fra \(D\) ned til grunnlinjen \(AB\). Siden \(AD = 1\) og \(\angle DAB = v\), er \(|DC| = \sin v\). Grunnlinjen \(|AB| = 1\), og arealet er

Sirkelsektor \(ABD\).
En sektor med radius \(r = 1\) og sentralvinkel \(v\) (i radianer) har areal

Trekant \(ABE\).
La \(E\) være punktet på linjen gjennom \(A\) og \(C\) slik at \(BE \perp AB\). Da \(AB = 1\) og \(\angle BAE = v\), gir tangens at \(|BE| = \tan v\). Arealet er

Innklusjonen av figurene.
Trekant \(ABD\) er en delfigur av sektoren (alle punkter i trekanten ligger innenfor sektoren), og sektoren er en delfigur av trekant \(ABE\) (buen \(BD\) er kortere enn siden \(BE\)). Derfor gjelder:

b

Vi starter fra ulikheten i a:

For \(0 < v < \dfrac{\pi}{2}\) er \(\sin v > 0\), så vi kan dele alle ledd med \(\dfrac{1}{2}\sin v\) (positivt, ulikhetstegnene bevares):

Vi forenkler høyre side:

Dermed:

c

Fra b har vi for \(0 < v < \dfrac{\pi}{2}\):

Vi tar grenseverdien når \(v \to 0^+\) i ytterleddet:

Begge yttergrensene er \(1\), og \(\dfrac{v}{\sin v}\) er klemt mellom dem. Av skviseteoremet (sandwich-teoremet) følger det at

Siden \(\dfrac{v}{\sin v} \neq 0\) i en omegn av \(0\), kan vi ta den gjensidige verdien:

Regresjon på størrelsen av det norske musikkstrømmemarkedet

Tabellen nedenfor viser hvor mange millioner kroner som ble brukt på strømming av musikk i Norge noen år i perioden 2008-2018.

Nedenfor ser du fire formler.

Fasit

Mange modeller og ulike tolkninger kan fungere. Se løsningsforslaget.

Løsningsforslag

a

Jeg brukte regresjonsverktøyet i GeoGebra valgte den logistiske modellen:

Logistiske funksjoner flater ut ved en horisontal asymptote (i dette tilfellet 660,37 millioner kr). Selv om det kanskje høres usannsynlig ut at markedet for musikkstrømming ikke kommer til å vokse, så tror jeg at nærmest all musikklytting allerede er blitt flyttet fra formater som CD og nedlasting, til strømming. Derfor er det usannsynlig veksten kommer til å fortsette i samme tempo. En logistisk modell har også asymptote ved \(y=0\). Det stemmer også godt med at strømmemarkedet var svært lite (kanskje ikke-eksisterende?) i Norge før Spotify ble lansert i 2008.

Kommentar: Man kan også argumentere for andre regresjonsmodeller, f.eks. vil en tredjegradsmodell passe fint. Vær imidlertid klar over at tredjegradsmodellen sannsynligvis vil ha et mindre gyldighetsområde siden denne har negativ vekstfart både før 2008 og etter 2018. Sensorveiledninga sier at flere ulike modeller kan gi full uttelling så lenge de begrunnes godt.

b

Se utklippet fra CAS.

c

\(I\) beregner integralet under \(F\) fra \(x=-0{,}5\) til \(x=10{,}5\). Dette gir en tilnærmingsverdi for de samlede inntektene fra musikkstrømming i Norge fra og med 2008 til og med 2018. De samlede inntektene er omtrent 3729 millioner kr.

\(G\) finner en tilnærmingsverdi de samlede inntektene fra og med 2011 til og med 2015 ved å integrere, deretter divideres svaret med 5. \(G\) finner altså de gjennomsnittlige årlige inntektene mellom år 2011 og 2015. De gjennomsnittlige årlige inntektene i perioden er 344,5 millioner kr.

\(S\) gir oss de samlede inntektene fra 2008 til 2018 beregnet som summen av en rekke, altså ved å legge sammen inntektene i hvert år. De samlede inntektene i perioden er omtrent 3729 millioner kr.

\(D\) gir oss omtrent momentan vekstfart i 2013. Vi kjenner igjen uttrykket for den deriverte hvor vi har \(f'(x)=\lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\). Her er \(x=5\) og \(h=0{,}001\). Den momentane vekstfarten i 2013 er omtrent 116,3 millioner kr per år.

Parallelle plan og kule

Planet \(\alpha\) er bestemt av punktene \(A(1,0,3)\), \(B(0,1,2)\) og \(C(2,3,2)\).

En kule tangerer \(\alpha\) i punktet \(A\) og \(\beta\) i et punkt \(Q\).

Fasit

a) \(\underline{\underline{\beta\colon x - y - 2z + 3 = 0}}\)
b) \(\underline{\underline{Q = \left(\dfrac{4}{3},\, -\dfrac{1}{3},\, \dfrac{7}{3}\right)}}\)

Løsningsforslag

Vi bestemmer først en likning for planet \(\alpha\) ved å finne normalvektoren.

Normalvektor til \(\alpha\)

Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) og kryssprodukt:

A := (1, 0, 3)
B := (0, 1, 2)
C := (2, 3, 2)
AB := B - A          → AB := (-1, 1, -1)
AC := C - A          → AC := (1, 3, -1)
n := AB ⊗ AC         → n := (2, -2, -4)

Normalvektoren er \(\vec{n} = (2, -2, -4)\), som vi forenkler til \(\vec{n} = (1, -1, -2)\).

Likning for \(\alpha\)

Planet \(\alpha\) har likning \(x - y - 2z + d = 0\). Vi setter inn \(A(1, 0, 3)\):

a

Planet \(\beta\) er parallelt med \(\alpha\), så det har samme normalvektor og likning på formen \(x - y - 2z + d = 0\).

Vi setter inn \(P(2, -5, 5)\) i GeoGebra CAS:

beta_d := Løs(2 - (-5) - 2*5 + d = 0, d)    → {d = 3}

b

Kulen tangerer \(\alpha\) i \(A\) og \(\beta\) i \(Q\). Siden begge plan er parallelle og kulen tangerer begge, ligger sentrum midt mellom tangentpunktene på linjen gjennom \(A\) med retning \(\vec{n} = (1, -1, -2)\).

Linjen gjennom \(A\) med retning \(\vec{n}\):

Finn \(Q\) på \(\beta\):

Vi setter linjeuttrykkene inn i likningen for \(\beta\) i GeoGebra CAS:

Q_t := Løs((1 + t) - (-t) - 2*(3 - 2*t) + 3 = 0, t)    → {t = 1/3}
Q := (1 + 1/3, -1/3, 3 - 2/3)                           → Q := (4/3, -1/3, 7/3)

Vi kan verifisere at \(Q\) ligger på \(\beta\): \(\frac{4}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) - 2 \cdot \frac{7}{3} + 3 = \frac{4}{3} + \frac{1}{3} - \frac{14}{3} + \frac{9}{3} = \frac{0}{3} = 0\). ✓

Banefart til 3D-printer

En fabrikk lager kroker ved hjelp av en 3D-printer. Posisjonen til dysen i 3D-printeren etter \(t\) sekunder er gitt ved posisjonsvektoren

Her er cm enheten langs aksene.

Fasit

a) \(\underline{\underline{v(1) \approx 1{,}17 \, \mathrm{cm/s}}}\)
b) \(\underline{\underline{v_{\min} \approx 1{,}00 \, \mathrm{cm/s} \text{ ved } t \approx 3{,}54 \, \mathrm{s}}}\)
c) Fartsretningen er parallell med \(xy\)-planet én gang (ved \(t \approx 3{,}14 \, \mathrm{s}\)). Fartsretningen er aldri parallell med \(yz\)-planet.

Løsningsforslag

Banefarten er størrelsen av hastighetsvektoren \(\vec{r}'(t)\). Vi deriverer posisjonsvektoren komponentvis:

Vi definerer disse komponentene i GeoGebra CAS som vx, vy og vz, og beregner banefarten som \(|\vec{r}'(t)| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\).

a

Vi setter inn \(t = 1\) i komponentene og beregner banefarten:

Fra CAS-utklippet ser vi at

b

Vi ønsker å finne minimumet til \(v(t) = |\vec{r}'(t)|\) på intervallet \([0, 5]\). Vi definerer fart(t) i GeoGebra CAS og evaluerer ved det kjente minimumet \(t \approx 3{,}542\):

CAS bekrefter at \(v(3{,}542) \approx \mathbf{\underline{\underline{1{,}00 \, \mathrm{cm/s}}}}\).

Minimumet inntreffer ved \(t \approx 3{,}54 \, \mathrm{s}\).

c

Parallell med \(xy\)-planet betyr at fartsretningen ikke har noen \(z\)-komponent, altså \(v_z(t) = 0\):

Vi undersøker fortegnet til \(v_z\) rundt \(t = \pi \approx 3{,}1416\) i GeoGebra CAS:

Fra utklippet ser vi at

• \(v_z(3{,}1416) \approx -0{,}00275 < 0\)
• \(v_z(3{,}1443) \approx 0\) (nullpunktet)
• \(v_z(3{,}15) \approx 0{,}00569 > 0\)

Siden \(v_z\) skifter fortegn fra negativ til positiv i intervallet \([0, 5]\) (mellomverdisetningen garanterer et nullpunkt), er fartsretningen parallell med \(xy\)-planet ved \(t \approx 3{,}14 \, \mathrm{s}\).

Parallell med \(yz\)-planet betyr at \(x\)-komponenten er null, altså \(v_x(t) = 0\):

Siden \(e^{t/20} > 0\) for alle \(t\), er \(v_x(t) > 0\) for alle \(t \in [0, 5]\). Det er aldri slik at fartsretningen er parallell med \(yz\)-planet.

Hildegunns ukepenger

Foreldrene til Hildegunn/David^[1] vil gi hen ukepenger. De gir hen to ulike tilbud. I tilbud 1 får hen 100 kroner den første uken. Beløpet \(a_{n}\) som hen får i uke \(n\), er gitt ved den rekursive formelen

I tilbud 2 får hen 100 kroner den første uken. Beløpet \(b_{n}\) som hen får i uke \(n\), er gitt ved den rekursive formelen

Fasit

a) Den fjerde uka får hen 130 kr og 115,76 kr (de andre beløpene kan du se i løsningforslaget)
b) I den 28. uka
c) I den 39. uka

Løsningsforslag

Jeg gjorde disse oppgavene i Excel, se regnearket under.

a

De ukentlige beløpene for de fire første ukene er markert i blått i utklippet. Det venstre blå rektangelet viser beløpene for tilbud 1, det høyre blå rektangelet viser beløpene for tilbud 2. Vi kan se at tilbud 1 vokser fortere enn tilbud 2 i starten.

b

I uke 28 så vil tilbud 2 for første gang gi større utbetaling enn tilbud 1, se den røde markering i Excel-arket.

c

I uke 39 så vil tilbud 2 for første gang ha gitt større samlet utbetaling enn tilbud 1, se den gule markeringen i Excel-arket.

Omdreiingslegeme til trigonometrisk funksjon

Funksjonen \(f\) er gitt ved

Vi roterer grafen til \(f\) om \(x\)-aksen.

Omdreiingslegemet skal plasseres i en rett kjegle med radius 4 og volum 45.

Fasit

a) \(\underline{\underline{V = \dfrac{-\pi^2 + 20\pi}{2} \approx 26{,}48}}\)
b) Nei, omdreiingslegemet får ikke plass i kjeglen.

Løsningsforslag

a

Volumet av et omdreiingslegeme om \(x\)-aksen er gitt ved

Vi bruker GeoGebra CAS med kommandoen

Integral(pi * f(x)^2, x, pi/4, 3*pi/4)

CAS gir det eksakte svaret

Volumet av omdreiingslegemet er \(\underline{\underline{V = \dfrac{-\pi^2 + 20\pi}{2} \approx 26{,}48}}\).

b

Vi må sjekke om omdreiingslegemet kan plasseres inne i kjeglen.

Kjeglens høyde: Volumet av en rett kjegle er \(V_k = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\). Vi løser for \(h\):

Omdreiingslegemets ytterpunkter: Vi har

Lengden langs \(x\)-aksen er \(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\).

Plassering i kjeglen: Vi legger kjeglen slik at toppunktet er i origo og bunnen ved \(x = h\), slik at kjegleveggen er gitt ved den lineære funksjonen

For at omdreiingslegemet skal få plass, må radien \(f\) til omdreiingslegemet ligge under kjegleveggen \(g\) overalt. Plasser omdreiingslegemet slik at den smale enden tangerer kjegleveggen. Vi løser \(g(x) = f\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)\):

Da må den brede enden ligge ved \(x + \frac{\pi}{2} \approx 0{,}11 + 1{,}57 = 1{,}68\). Den resterende plassen i kjeglen fra \(x \approx 0{,}11\) til \(x = h\) er

Men kjegleveggen smalner — i posisjon \(x \approx 1{,}68\) er kjegleradien

Omdreiingslegemets brede ende har radius \(\approx 3{,}83 > 2{,}50\), så den brede enden stikker utenfor kjeglen.

Alternativ tilnærming: Vi kan også forsøke å plassere den brede enden mot bunnen. Da må \(h - x_\text{smal} \geq \frac{\pi}{2}\), dvs. \(x_\text{smal} \leq h - \frac{\pi}{2} \approx 1{,}11\). Men i denne posisjonen er kjegleradien

så den smale enden stikker også utenfor.

Uansett orientering passer altså ikke omdreiingslegemet inn i kjeglen.

Nei, omdreiingslegemet får ikke plass i kjeglen.

Grafens lengde med polylinje

For en deriverbar funksjon \(f\) kan vi finne en tilnærmet verdi for lengden av grafen mellom to \(x\)-verdier ved å bruke en polylinje, slik figuren nedenfor illustrerer.

Dersom vi skal finne lengden av grafen i et intervall \([a,b]\), kan vi dele dette intervallet i \(N\) like store delintervall \([x_i, x_{i+1}]\) med bredde \(h = \dfrac{b-a}{N}\) og \(x_i = a + i \cdot h\).

Vi regner da ut lengdene av linjestykkene som går mellom punktene \((x_i, f(x_i))\) og \((x_{i+1}, f(x_{i+1}))\). Summen av disse lengdene vil da være en tilnærmet verdi for lengden av grafen fra \(x = a\) til \(x = b\).

Fasit

a) Se løsningsforslag.
b) \(\underline{\underline{L \approx 3{,}1416}}\) (konvergerer mot \(\pi\))

Løsningsforslag

a

Vi ser på linjestykket fra \((x_i,\, f(x_i))\) til \((x_{i+1},\, f(x_{i+1}))\).

Den horisontale komponenten er

og den vertikale komponenten er

Disse to komponentene utgjør katetene i en rettvinklet trekant der linjestykket er hypotenusen. Pythagoras' setning gir da

b

Vi deler \([-1, 1]\) i \(N = 1000\) like store delintervall og summerer lengdene \(S_i\):

import math
a, b, N = -1, 1, 1000
h = (b - a) / N
L = 0
for i in range(N):
    xi = a + i * h
    xj = a + (i + 1) * h
    ki = math.sqrt(max(1 - xj**2, 0)) - math.sqrt(max(1 - xi**2, 0))
    L += math.sqrt(h**2 + ki**2)
print(L)   # ≈ 3,1416

Programmet gir \(L \approx 3{,}1416\).

Rimelighetsvurdering: Funksjonen \(g(x) = \sqrt{1 - x^2}\) er den øvre halvdelen av enhetssirkelen (radius \(r = 1\)). Den eksakte buelengden er halve omkretsen av enhetssirkelen:

Tilnærmingen \(3{,}1416\) stemmer godt med \(\pi\), noe som bekrefter at svaret er rimelig.