Grenseverdi av rasjonalt uttrykk R1 V26
Oppgave
Bestem grenseverdien dersom den eksisterer
\[\lim_{x\to\infty} \frac{2x+2}{3x^2+3} \]
Fasit
\(\underline{\underline{0}}\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
Telleren \(2x + 2\) har grad 1, nevneren \(3x^2 + 3\) har grad 2. Siden graden i nevneren er høyere enn graden i telleren, er grenseverdien 0.
Vi kan vise dette ved å dele teller og nevner på \(x^2\):
\[\lim_{x\to\infty} \frac{2x+2}{3x^2+3} = \lim_{x\to\infty} \frac{\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x^2}}{3+\dfrac{3}{x^2}} \]
Når \(x \to \infty\) går \(\dfrac{2}{x} \to 0\), \(\dfrac{2}{x^2} \to 0\) og \(\dfrac{3}{x^2} \to 0\), slik at
\[\lim_{x\to\infty} \frac{\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x^2}}{3+\dfrac{3}{x^2}} = \frac{0 + 0}{3 + 0} = \frac{0}{3} = \mathbf{\underline{\underline{0}}} \]