Påstander om asymptote og omvendt funksjon R1 V26
Avgjør om hver påstand nedenfor er sann eller usann.
Forklar tydelig hvordan du har resonnert.
- En funksjon \(f\) er gitt ved
\[f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x-d} \qquad \text{der } a, b, c, d \in \mathbb{R} \]
Påstand: Alle funksjoner på denne formen har en vertikal asymptote \(x = d\).
- En funksjon \(g\) er gitt ved
\[g(x) = e^{x-3} \qquad \text{der } x \in \mathbb{R} \]
Påstand: Den omvendte funksjonen til \(g\) er gitt ved \(g^{-1}(x) = \ln(x)+3\) der \(D_{g^{-1}} = \langle 0, \to \rangle\).
a) USANN – telleren kan ha \(x = d\) som nullpunkt slik at brøken forkortes.
b) SANN – \(g^{-1}(x) = \ln(x) + 3\) med \(D_{g^{-1}} = \langle 0, \to \rangle\).
a
Påstanden er \(\underline{\underline{\text{usann}}}\).
En vertikal asymptote ved \(x = d\) oppstår bare hvis \(x = d\) er et nullpunkt i nevneren som ikke kan forkortes med telleren. Hvis telleren \(ax^2 + bx + c\) også har \(x = d\) som nullpunkt, kan faktoren \((x - d)\) forkortes, og det oppstår ingen asymptote – kun et punkt der funksjonen er udefinert.
Moteksempel: La \(a = 1\), \(b = -d\), \(c = 0\) (dvs. \(b = -d\) og \(c = 0\)). Da er
Denne funksjonen har ingen vertikal asymptote ved \(x = d\) – bare en «hull»-punkt (fjernbar singularitet). Dermed gjelder ikke påstanden for alle funksjoner på den gitte formen.
b
Påstanden er \(\underline{\underline{\text{sann}}}\).
Vi finner den omvendte funksjonen ved å løse \(y = e^{x-3}\) for \(x\):
Bytter vi om \(x\) og \(y\) får vi
Definisjonsmengde: \(D_{g^{-1}}\) er lik verdimengden til \(g\). Siden \(g(x) = e^{x-3} > 0\) for alle \(x \in \mathbb{R}\), er verdimengden til \(g\) alle positive reelle tall, det vil si \(\langle 0, \to \rangle\).
Dermed er \(D_{g^{-1}} = \langle 0, \to \rangle\), og påstanden er sann.