Påstander om asymptote og arbeidsgrupper S1 V26
Avgjør om hver påstand nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.
- En funksjon \(f\) er gitt ved
\[f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x-d} \qquad \text{der } a, b, c, d \in \mathbb{R} \]
Påstand: Alle funksjoner på denne formen har en vertikal asymptote \(x = d\).
En klubb har 7 medlemmer. Noen av medlemmene skal være med i en arbeidsgruppe.
- Påstand: Det er flere mulige forskjellige arbeidsgrupper med 4 medlemmer enn det er mulige forskjellige arbeidsgrupper med 3 medlemmer.
a) Usann – påstanden gjelder ikke når \(x = d\) også er nullpunkt for telleren.
b) Usann – antall grupper med 4 av 7 er like mange som antall grupper med 3 av 7 (begge er 35).
a
Vi skal avgjøre om alle funksjoner på formen
har en vertikal asymptote \(x = d\).
En vertikal asymptote \(x = d\) oppstår bare dersom nevneren er null i \(x = d\) og telleren ikke er null i samme punkt. Hvis \(x = d\) er nullpunkt for begge, kanselleres faktoren, og det er et hull i grafen – ikke en asymptote.
Vi velger \(a = 1\), \(b = -d\), \(c = 0\). Da er
Denne funksjonen er en rett linje med et hull i \(x = d\), og har ingen vertikal asymptote.
Påstanden er \(\underline{\underline{\text{usann}}}\).
b
Vi teller antall mulige arbeidsgrupper med kombinatorikk.
Antall arbeidsgrupper med 4 av 7 medlemmer:
Antall arbeidsgrupper med 3 av 7 medlemmer:
Begge gir 35 mulige arbeidsgrupper. Dette er ikke tilfeldig: symmetrien i Pascals trekant gir \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\), og her er \(\binom{7}{4} = \binom{7}{3}\) fordi \(4 + 3 = 7\).
Påstanden er \(\underline{\underline{\text{usann}}}\) – det er like mange mulige arbeidsgrupper med 4 som med 3 medlemmer.