Rasjonale funksjoner med asymptoter 1T V26

a) \(\underline{\underline{f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 1}}}\)

b) \(\underline{\underline{g(x) = \dfrac{2x - 1}{x}}}\)

a

Vi skal konstruere en rasjonal funksjon \(f\) som har ingen nullpunkter og to vertikale asymptoter.

Idé: En rasjonal funksjon \(\frac{p(x)}{q(x)}\) har

• nullpunkter der telleren \(p(x) = 0\)
• vertikale asymptoter der nevneren \(q(x) = 0\) (og telleren ikke er 0)

Vi velger telleren til å være konstanten \(1\), som aldri blir null. Da får vi ingen nullpunkter uansett hva som skjer i nevneren.

For å få to vertikale asymptoter trenger vi at nevneren har to ulike reelle nullpunkter. Vi velger

som har nullpunktene \(x = 1\) og \(x = -1\).

Vi setter

Argumentasjon:

• Ingen nullpunkter: Telleren er \(1 \neq 0\) for alle \(x\), så \(f(x) = 0\) har ingen løsning.
• To vertikale asymptoter: Nevneren \(x^2 - 1 = 0\) gir \(x = 1\) og \(x = -1\). I disse punktene er \(f\) udefinert og \(|f(x)| \to \infty\). Dermed er \(\textcolor{tomato}{x = 1}\) og \(\textcolor{tomato}{x = -1}\) vertikale asymptoter.

\(f\) er en rasjonal funksjon fordi den er et forhold mellom to polynomer.

Svar: \(\underline{\underline{f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 1}}}\)

b

Vi skal konstruere en rasjonal funksjon \(g\) med horisontal asymptote \(y = 2\) som ikke skjærer \(y\)-aksen.

Horisontal asymptote: En rasjonal funksjon \(\frac{p(x)}{q(x)}\) der teller og nevner har samme grad, har horisontal asymptote \(y = \frac{a}{b}\), der \(a\) er ledende koeffisient i telleren og \(b\) er ledende koeffisient i nevneren.

Vi velger teller og nevner av grad 1:

Her er ledende koeffisient i telleren \(2\), og ledende koeffisient i nevneren \(1\).

Argumentasjon:

• Horisontal asymptote \(y = 2\): Vi skriver om:

  \[\textcolor{steelblue}{g(x) = \frac{2x - 1}{x} = 2 - \frac{1}{x}} \]

  Når \(x \to \pm\infty\) går \(\frac{1}{x} \to 0\), og dermed \(g(x) \to 2\). Den horisontale asymptoten er \(\textcolor{seagreen}{y = 2}\).

• Skjærer ikke \(y\)-aksen: \(g(0) = \frac{2 \cdot 0 - 1}{0} = \frac{-1}{0}\) er udefinert. Dermed er \(g\) ikke definert for \(x = 0\), og grafen skjærer ikke \(y\)-aksen. (\(x = 0\) er en vertikal asymptote.)

\(g\) er en rasjonal funksjon fordi den er et forhold mellom to polynomer.

Svar: \(\underline{\underline{g(x) = \dfrac{2x-1}{x}}}\)