Aritmetisk og geometrisk rekke - treplatetårn S2 V26
I et kunstprosjekt skal Selma bygge et stort tårn ved å legge kvadratiske treplater oppå hverandre. Hun starter med en treplate med sidelengde \(5 \mathrm{~m}\).
Når hun bygger videre, skal sidelengden til hver ny treplate være \(0{,}1 \mathrm{~m}\) kortere enn sidelengden til treplaten under.
- Sett opp en aritmetisk rekke som viser summen av sidelengdene til treplatene i tårnet. Hvor mange treplater kan det maksimalt bli i tårnet til Selma?
Vilfred skal bygge et annet stort tårn ved å legge kvadratiske treplater oppå hverandre. Han starter med en treplate som har areal \(19 \mathrm{~m}^2\).
Når han bygger videre, skal sidelengden til hver ny treplate være \(10\,\%\) kortere enn sidelengden til treplaten under.
- Hvor stort kan det samlede arealet av platene bli i tårnet til Vilfred?
a) 50
b) 100
a
Jeg tolker oppgaveteksten som at som at rekka = summen av én sidelengde fra hver plate.
Andre tolkninger av summen av sidelengdene kan være at hver plate har 4 sidelengder, eller at den aritmetiske rekka skulle bestå av summer av sidelengder slik som \(5+9{,}9+14{,}7\) og så videre (men den rekka blir da ikke aritmetisk).
Vi ser at første ledd er \(a_{1}=5\) og differansen \(d=-0{,}1\).
Ledd nummer \(n\) i rekka er gitt ved
Leddene i rekka blir altså:
Det siste leddet må være \(0{,}1\) siden en treplate ikke kan ha sidelengde 0 (da er det jo ikke noe treplate).
Vi kan finne ut hvor mange ledd det er ved hjelp av uttrykket for ledd \(n\):
Rekka \(5 + \, 4{,}9 + \,4{,}8 + \, 4{,}7 + \, \dots + 0{,}1\) beskriver summen av sidelengdene i tårnet. Tårnet kan maksimalt bestå av 50 plater.
b
Det kan være lurt å først undersøke hvordan arealet utvikler for de første platene. Det er absolutt ikke nødvendig for å løse oppgaven, men det kan være vanskelig å finne ut hvordan man skal sette opp rekka.
Vi undersøker først mønsteret ved å sette opp en oversiktlig tabell. La \(s\) være sidelengden og \(A\) være arealet av plate \(n\).
| \(n\) | \(s\) | \(A\) |
|---|---|---|
| \(1\) | \(\sqrt{ 19 }\) | \(19\) |
| \(2\) | \(\sqrt{ 19 }\cdot 0{,}9\) | \(19 \cdot 0{,}9^{2}\) |
| \(3\) | \(\sqrt{ 19 } \cdot 0{,}9^{2}\) | \(19 \cdot 0{,}9^{4}\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(n\) | \(\sqrt{ 19 } \cdot 0{,}9^{n-1}\) | \(19 \cdot 0{,}9^{2 \cdot(n-1)}\) |
Hvis sidelengden minker med 10 % så kan vi sette opp sammenhengen
Arealet for plate 1, \(A_{1}\), er 19. Da må arealet for plate 2 bli:
Arealene danner altså en geometrisk rekke med kvotient \(k=0{,}81\) og \(A_{1}=19\). Summen av rekka er gitt ved
Det samlede arealet kunne blitt \(\underline{\underline{ 100 \mathrm{~m^{2}} }}\) hvis Vilfred kunne brukt uendelig mange plater. I praksis vil det samlede arealet bli veldig nærme 100 m² dersom han bruker mange plater.