Asymptoter til rasjonal funksjon

En funksjon \(f\) er gitt ved

Fasit

Andregradsulikhet

Fasit

Andregradsfunksjon med ett nullpunkt

En andregradsfunksjon \(f\) har ett nullpunkt. Grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i punktet \((0, 9)\).

Fasit

For eksempel \(f(x)=x^{2}+6x+9\) eller \(f(x)=x^{2}-6x+9\).

Løsningsforslag

• Ett nullpunkt → grafen «toucher» akkurat \(x\)-aksen og diskriminanten \(b^{2}-4ac\) må være 0.
• Grafen skal skjære i \((0,9)\) → \(a\) må være positiv og \(f(0)=9\)

Vi setter opp det generelle uttrykket.

Siden diskriminanten må være null kan vi utnytte at \(b^{2}=4ac\) og forenkle. Vi er kun ute etter en mulig løsning her, så jeg bruker kvadratroten slik at \(b=\sqrt{ 4ac }\)

Vi utnytter at \(f(0)=9\) som gir oss

Vi har altså

Den enkleste løsningen her vil være \(a=1\) slik at funksjonen vår blir:

Tredjegradslikning og grafvalg

Funksjonen \(f\) er gitt ved

Fasit

Trigonometri med arealsetning og cosinus

Gitt en trekant \(ABC\) der \(AB = 10\), \(AC = 6\) og \(\angle A = 30\degree\)

Gitt en trekant \(PQR\) der \(PQ = 8\), \(PR = 3\) og \(\angle P = 60\degree\)

Fasit

Identitet i CAS-verktøy

Kari arbeider med algebraiske uttrykk, likninger og identiteter. Hun prøver å løse likningen

i et CAS-verktøy og får resultatet \(x = x\). Se nedenfor.

\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\)

Løs: \(\{x = x\}\)

Fasit

Minimumsverdi med while-løkke

Siri har laget programmet nedenfor.

1234567891011121314def f(x):
    return x ** 2 + 2 * x - 15

x = -5
verdi = f(x)

while x <= 5:

    if f(x) < verdi:
        verdi = f(x)

    x = x + 1

print(verdi)

Fasit

Kikhoste og eksponentiell modell

Tabellen nedenfor viser antallet registrerte tilfeller av kikhoste i Norge noen måneder i perioden januar 2023–oktober 2024.

La \(x\) være antall måneder etter desember 2022, det vil si at \(x = 1\) tilsvarer januar 2023, \(x = 3\) tilsvarer mars 2023, og så videre.

Fasit

Sekker hundemat og likningssystem

En butikk selger små og store sekker med hundemat. De små sekkene veier \(4{,}5 \mathrm{~kg}\), og de store veier \(12 \mathrm{~kg}\).

En dag solgte butikken 80 sekker. Sekkene veide til sammen \(720 \mathrm{~kg}\).

Fasit

Tolvkant innskrevet i sirkel

En tolvkant er innskrevet i en sirkel. Se figuren ovenfor. Tolvkanten er satt sammen av tolv like store likebeinte trekanter. Arealet av tolvkanten er 120.

Fasit

a) \(d=4\sqrt{ 10 }\)
b) $O=24\left( \sqrt{ 15 } -\sqrt{ 5 } \right) $

Løsningsforslag

a

Alle 12 trekantene er like store. Dermed må arealet av hver trekant være \(\frac{120}{12}=\underline{ 10 }\).

Arealsetningen sier at

Siden trekantene våre er likebeinte med sidelengde \(r\) og vi kjenner vinkelen mellom beina kan vi forenkle og regne ut.

Vi kan bestemme diameteren eksakt.

Diameteren er \(\underline{\underline{ 4\sqrt{ 10 } }}\).

b

Vi kjenner to sider i trekantene og mangler den siste. Vi kan bruke cosinussetningen.

Tolvkanten består av tolv slike kanter.

GeoGebra viser at dette kan forenkles til

Figurtall og programmering

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små grønne kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Du skal lage et program som beregner og skriver ut hvor mange små grønne kvadrater det vil være i hver av de 20 første figurene.

Tenk deg at du har 1 000 000 små kvadrater. Du starter med å lage figur 1 og fortsetter så med å lage figur 2, figur 3 osv.

Fasit

a) –
b) –
c) Du kan lage 143 figurer. Da har du 15 017 brikker til overs.

Løsningsforslag

a

Jeg deler opp figuren slik:

Jeg velger å skrive algoritmen som pseudokode slik at det går raskt å skrive den i Python etterpå.

for hver figur fra n = 1 til n = 20:
	kvadrat = n	høyre_side = n
	nede_venstre = n + 1
	sum = kvadrat + høyre_side + nede_venstre
	print sum

b

for n in range(1, 21):
	kvadrat = n ** 2
	høyre_side = n
	nede_venstre = n + 1
	sum = kvadrat + høyre_side + nede_venstre
	print(f"Figur {n} har {sum} kvadrater.")

Programmet skrev ut hvor mange kvadrater det er i hver figur. Figur 20 har 441 kvadrater.

c

Vi må holde styr på hvor mange kvadrater vi har brukt med en totalsum, også bruker vi en whileløkke for å avslutte når vi er gått tomme for brikker.

totalsum = 0
n = 1

while totalsum <= 1_000_000:
	kvadrat = n ** 2
	høyre_side = n
	nede_venstre = n + 1
	n = n + 1
	figur = kvadrat + høyre_side + nede_venstre
	totalsum = totalsum + figur   # Legger til den siste figuren

# While-løkka har kjørt en gang for mye og 
# har brukt opp flere brikker enn vi har.
# Vi må derfor "gå en figur tilbake"
brikker_brukt_før_siste = totalsum - figur
brikker_til_overs = 1_000_000 - brikker_brukt_før_siste

print(f"Etter figur {n-1} har du {brikker_til_overs} brikker til overs.")

Output: Etter figur 143 har du 15017 brikker til overs.

Du kan lage 143 figurer. Da har du 15 017 brikker til overs.

Sylinderboks med minst overflate

Isabel er industridesigner. Hun arbeider med et design på bokser med form som sylindre.

Formel for å regne ut volumet av en boks med radius \(r\) og høyde \(h\)

Formel for å regne ut arealet av overflaten av boksen

Isabel lurer på hvor stor radius hun bør velge og hvor høye boksene må være, når hver boks skal ha

• et volum \(V\) på \(450 \mathrm{~cm^3}\)
• minst mulig overflate \(O\)

Isabel ser at når hun har gitt volum og radius, kan hun regne ut høyden ved å bruke formelen \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h\)

Isabel ønsker å lage en modell som viser overflaten av ulike bokser hun kan lage ved å endre radius.

Fasit

Rasjonale funksjoner Noah og Johanne

Klassen til Noah og Johanne arbeider med rasjonale funksjoner. Læreren har tegnet grafene til to rasjonale funksjoner \(f\) og \(g\) og bedt elevene undersøke hvordan funksjonsuttrykkene kan se ut.

Fasit