Asymptoter til rasjonal funksjon

En funksjon \(f\) er gitt ved

Fasit

\(x=-\frac{1}{2}\) og \(y=6\)

Løsningsforslag

Vi får vertikale asymptoter der hvor nevner er lik 0.

Vi har en vertikal asymptote i \(x=-\frac{1}{2}\).

Både teller og nevner består av lineære funksjoner. Siden graden på polynomene er lik så vil vi få en horisontal asymptote. Når \(x \to \infty\) så vil \(-3\) og \(+1\) leddene ha infinitesimalt liten betydning og vi får:

Vi har vertikal asymptote i \(x=-\frac{1}{2}\) og horisontal asymptote i \(y=6\).

Andregradsulikhet

Fasit

\(\underline{\underline{x \in \langle -2,\ 6 \rangle}}\)

Løsningsforslag

Vi løser først den tilhørende andregradslikningen ved å faktorisere:

Vi søker to tall som multipliserer til \(-12\) og adderer til \(-4\). Tallene \(-6\) og \(2\) passer:

Dette gir nullpunktene \(x = 6\) og \(x = -2\).

Siden ledende koeffisient er positiv (\(a = 1 > 0\)), åpner parabelen oppover. Det betyr at parabelen er under \(x\)-aksen mellom nullpunktene.

Vi setter opp et fortegnsskjema:

Ulikheten \(x^2 - 4x - 12 < 0\) er oppfylt der produktet er negativt, altså mellom nullpunktene.

Løsningen er \(\underline{\underline{x \in \langle -2,\ 6 \rangle}}\).

Andregradsfunksjon med ett nullpunkt

En andregradsfunksjon \(f\) har ett nullpunkt. Grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i punktet \((0, 9)\).

Fasit

For eksempel \(f(x)=x^{2}+6x+9\) eller \(f(x)=x^{2}-6x+9\).

Løsningsforslag

• Ett nullpunkt → grafen «toucher» akkurat \(x\)-aksen og diskriminanten \(b^{2}-4ac\) må være 0.
• Grafen skal skjære i \((0,9)\) → \(a\) må være positiv og \(f(0)=9\)

Vi setter opp det generelle uttrykket.

Siden diskriminanten må være null kan vi utnytte at \(b^{2}=4ac\) og forenkle. Vi er kun ute etter en mulig løsning her, så jeg bruker kvadratroten slik at \(b=\sqrt{ 4ac }\)

Vi utnytter at \(f(0)=9\) som gir oss

Vi har altså

Den enkleste løsningen her vil være \(a=1\) slik at funksjonen vår blir:

Tredjegradslikning og grafvalg

Funksjonen \(f\) er gitt ved

Fasit

a) \(\underline{\underline{x = -2, \quad x = 1, \quad x = 8}}\)
b) Graf C

Løsningsforslag

a

Vi prøver \(x = 1\):

Siden \(x = 1\) er en rot, er \((x - 1)\) en faktor. Vi utfører polynomdivisjon:

Vi har nå:

Vi løser \(x^2 - 6x - 16 = 0\) med abc-formelen:

Løsningene er \(x = -2\), \(x = 1\) og \(x = 8\).

b

Vi bruker egenskapene til \(f(x) = x^3 - 7x^2 - 10x + 16\) for å velge riktig graf:

• Ledende koeffisient positiv (\(+x^3\)): grafen går mot \(-\infty\) når \(x \to -\infty\) og mot \(+\infty\) når \(x \to +\infty\). Det utelukker A og B (som begge har negativ ledende koeffisient).
• Tre nullpunkter ved \(x = -2\), \(x = 1\) og \(x = 8\): én negativ rot og to positive røtter.
• \(y\)-skjæring: \(f(0) = 16 > 0\).
• Lokalt toppunkt mellom røttene \(-2\) og \(1\) ligger ved en negativ \(x\)-verdi (til venstre for \(y\)-aksen). Lokalt bunnpunkt ligger mellom røttene \(1\) og \(8\), altså ved en positiv \(x\)-verdi (til høyre for \(y\)-aksen).

Graf D har lokalt toppunkt til høyre for \(y\)-aksen og lokalt bunnpunkt til venstre – det stemmer ikke med \(f\).

Graf C har:

• positiv ledende koeffisient (riktig retning)
• én negativ rot (ca. \(x = -2\)), lokalt toppunkt like til venstre for \(y\)-aksen
• positiv \(y\)-skjæring
• en rot ved liten positiv \(x\) (ca. \(x = 1\)), lokalt bunnpunkt lengre til høyre
• en rot ved større positiv \(x\) (ca. \(x = 8\))

Dette stemmer med \(f\). Graf C er riktig.

Trigonometri med arealsetning og cosinus

Gitt en trekant \(ABC\) der \(AB = 10\), \(AC = 6\) og \(\angle A = 30\degree\)

Gitt en trekant \(PQR\) der \(PQ = 8\), \(PR = 3\) og \(\angle P = 60\degree\)

Fasit

a) \(\sin 30\degree = \cos 60\degree = \dfrac{1}{2}\) (vist ved halvering av likesidet trekant)
b) Areal \(= \underline{\underline{15}}\)
c) \(\underline{\underline{QR = 7}}\)

Løsningsforslag

a

Vi halverer den likesidede trekanten med et loddrett snitt fra ett hjørne ned til midtpunktet på den motsatte siden.

Dette gir en rettvinklet trekant med:

• hypotenus \(= 2\)
• kort katet \(= 1\) (halvparten av bunnsiden)
• lang katet \(= \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}\)

Vinklene i den rettvinklede trekanten er \(30\degree\), \(60\degree\) og \(90\degree\).

Fra definisjonen av sinus og cosinus:

Dermed er \(\sin 30\degree = \cos 60\degree = \dfrac{1}{2}\).

b

Vi bruker arealsetningen:

c

Vi bruker cosinussetningen:

Identitet i CAS-verktøy

Kari arbeider med algebraiske uttrykk, likninger og identiteter. Hun prøver å løse likningen

i et CAS-verktøy og får resultatet \(x = x\). Se nedenfor.

\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\)

Løs: \(\{x = x\}\)

Fasit

\(x^2 - 4 = (x+2)(x-2)\) er en identitet — den er sann for alle reelle tall \(x\).

Løsningsforslag

CAS prøver å finne hvilke \(x\)-verdier som gjør likningen sann. For å forstå hvorfor den svarer \(x = x\), kan vi se hva som skjer når vi forenkler høyre side:

De to sidene er altså nøyaktig det samme algebraiske uttrykket. Det betyr at likningen

er sann uansett hvilken verdi \(x\) har. Velger vi for eksempel \(x = 3\):

eller \(x = 0\):

Begge sider gir alltid samme svar.

En slik likhet kalles en identitet — en likhet mellom to uttrykk som er sann for alle verdier av variabelen. CAS uttrykker dette med \(x = x\): det er CAS sin måte å si «alle reelle tall er løsninger».

Dette er annerledes enn en vanlig likning, for eksempel \(x^2 - 4 = 0\), der bare de spesielle verdiene \(x = 2\) og \(x = -2\) er løsninger.

Kari kan altså forklare at \(x^2 - 4 = (x+2)(x-2)\) er en identitet fordi de to sidene er ekvivalente uttrykk, og at CAS bekrefter dette ved å returnere \(x = x\).

Minimumsverdi med while-løkke

Siri har laget programmet nedenfor.

1234567891011121314def f(x):
    return x ** 2 + 2 * x - 15

x = -5
verdi = f(x)

while x <= 5:

    if f(x) < verdi:
        verdi = f(x)

    x = x + 1

print(verdi)

Fasit

Programmet skriver ut \(\underline{\underline{-16}}\). Siri finner den minste funksjonsverdien til \(f(x) = x^2 + 2x - 15\) for heltall \(x \in [-5, 5]\).

Løsningsforslag

Programmet definerer \(f(x) = x^2 + 2x - 15\) og starter med \(x = -5\) og verdi = f(-5).

While-løkka går gjennom heltallene \(x = -5, -4, -3, \ldots, 5\). For hvert steg sjekkes det om \(f(x)\) er mindre enn den lagrede verdi. Hvis ja, oppdateres verdi. Til slutt skrives den minste verdien som ble funnet.

Vi regner ut \(f(x)\) for alle heltall i intervallet:

Den minste funksjonsverdien er \(f(-1) = -16\).

Programmet skriver ut \(\underline{\underline{-16}}\).

Kikhoste og eksponentiell modell

Tabellen nedenfor viser antallet registrerte tilfeller av kikhoste i Norge noen måneder i perioden januar 2023–oktober 2024.

La \(x\) være antall måneder etter desember 2022, det vil si at \(x = 1\) tilsvarer januar 2023, \(x = 3\) tilsvarer mars 2023, og så videre.

Fasit

a) Modellverdiene ligger nær de observerte verdiene – \(K\) er en god modell.
b) \(\underline{\underline{\text{Stigning} \approx 71{,}84 \text{ tilfeller per måned}}}\)
c) \(\underline{\underline{K(29) \approx 5499 \text{ tilfeller}}}\)

Løsningsforslag

Vi definerer \(K(x) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^x\) i GeoGebra CAS og beregner alle deloppgavene i én sesjon.

a

Vi beregner \(K(x)\) for de seks månedene i tabellen og sammenligner med de observerte verdiene:

Modellverdiene er av samme størrelsesorden som de observerte verdiene i alle månedene. Avvikene er relativt små sammenlignet med de faktiske tallene. \(K\) er derfor en god modell for antall registrerte tilfeller av kikhoste i perioden.

b

Vi beregner stigningstallet til linjen gjennom \((4, K(4))\) og \((21, K(21))\):

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt økte antallet registrerte kikhoste-tilfeller med ca. \(\textbf{72}\) tilfeller per måned i perioden fra mai 2023 (\(x = 4\)) til september 2024 (\(x = 21\)).

c

Mai 2025 er 29 måneder etter desember 2022, altså \(x = 29\).

Ifølge modellen vil det bli registrert ca. 5499 tilfeller av kikhoste i Norge i mai 2025.

Sekker hundemat og likningssystem

En butikk selger små og store sekker med hundemat. De små sekkene veier \(4{,}5 \mathrm{~kg}\), og de store veier \(12 \mathrm{~kg}\).

En dag solgte butikken 80 sekker. Sekkene veide til sammen \(720 \mathrm{~kg}\).

Fasit

32 små sekker og 48 store sekker

Løsningsforslag

La \(x\) være antall små sekker og \(y\) være antall store sekker.

Vi setter opp likningssystemet:

Vi løser systemet i GeoGebra CAS med kommandoen Løs({x + y = 80, (9/2)·x + 12·y = 720}, {x, y}):

CAS gir \(x = 32\) og \(y = 48\).

Butikken solgte \(\underline{\underline{32 \text{ små sekker}}}\) og \(\underline{\underline{48 \text{ store sekker}}}\) denne dagen.

Tolvkant innskrevet i sirkel

En tolvkant er innskrevet i en sirkel. Se figuren ovenfor. Tolvkanten er satt sammen av tolv like store likebeinte trekanter. Arealet av tolvkanten er 120.

Fasit

a) \(d=4\sqrt{ 10 }\)
b) $O=24\left( \sqrt{ 15 } -\sqrt{ 5 } \right) $

Løsningsforslag

a

Alle 12 trekantene er like store. Dermed må arealet av hver trekant være \(\frac{120}{12}=\underline{ 10 }\).

Arealsetningen sier at

Siden trekantene våre er likebeinte med sidelengde \(r\) og vi kjenner vinkelen mellom beina kan vi forenkle og regne ut.

Vi kan bestemme diameteren eksakt.

Diameteren er \(\underline{\underline{ 4\sqrt{ 10 } }}\).

b

Vi kjenner to sider i trekantene og mangler den siste. Vi kan bruke cosinussetningen.

Tolvkanten består av tolv slike kanter.

GeoGebra viser at dette kan forenkles til

Figurtall og programmering

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små grønne kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Du skal lage et program som beregner og skriver ut hvor mange små grønne kvadrater det vil være i hver av de 20 første figurene.

Tenk deg at du har 1 000 000 små kvadrater. Du starter med å lage figur 1 og fortsetter så med å lage figur 2, figur 3 osv.

Fasit

a) –
b) –
c) Du kan lage 143 figurer. Da har du 15 017 brikker til overs.

Løsningsforslag

a

Jeg deler opp figuren slik:

Jeg velger å skrive algoritmen som pseudokode slik at det går raskt å skrive den i Python etterpå.

for hver figur fra n = 1 til n = 20:
	kvadrat = n	høyre_side = n
	nede_venstre = n + 1
	sum = kvadrat + høyre_side + nede_venstre
	print sum

b

for n in range(1, 21):
	kvadrat = n ** 2
	høyre_side = n
	nede_venstre = n + 1
	sum = kvadrat + høyre_side + nede_venstre
	print(f"Figur {n} har {sum} kvadrater.")

Programmet skrev ut hvor mange kvadrater det er i hver figur. Figur 20 har 441 kvadrater.

c

Vi må holde styr på hvor mange kvadrater vi har brukt med en totalsum, også bruker vi en whileløkke for å avslutte når vi er gått tomme for brikker.

totalsum = 0
n = 0

while totalsum <= 1_000_000:
    n = n + 1
    kvadrat = n ** 2
    høyre_side = n
    nede_venstre = n + 1
    figur = kvadrat + høyre_side + nede_venstre
    totalsum = totalsum + figur   # Legger til den siste figuren

# While-løkka har kjørt en gang for mye og 
# har brukt opp flere brikker enn vi har.
# Vi må derfor "gå en figur tilbake"
brikker_brukt_før_siste = totalsum - figur
brikker_til_overs = 1_000_000 - brikker_brukt_før_siste

print(f"Etter figur {n-1} har du {brikker_til_overs} brikker til overs.")

Output: Etter figur 142 har du 15017 brikker til overs.

Du kan lage 142 figurer. Da har du 15 017 brikker til overs.

Sylinderboks med minst overflate

Isabel er industridesigner. Hun arbeider med et design på bokser med form som sylindre.

Formel for å regne ut volumet av en boks med radius \(r\) og høyde \(h\)

Formel for å regne ut arealet av overflaten av boksen

Isabel lurer på hvor stor radius hun bør velge og hvor høye boksene må være, når hver boks skal ha

• et volum \(V\) på \(450 \mathrm{~cm^3}\)
• minst mulig overflate \(O\)

Isabel ser at når hun har gitt volum og radius, kan hun regne ut høyden ved å bruke formelen \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h\)

Isabel ønsker å lage en modell som viser overflaten av ulike bokser hun kan lage ved å endre radius.

Fasit

a)

b) \(O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r}\)
c) \(\underline{\underline{r \approx 5{,}23 \, \mathrm{cm}}}\), \(\underline{\underline{O_{\min} \approx 258 \, \mathrm{cm}^2}}\)

Løsningsforslag

a

Isabel har gitt at \(V = 450 \, \mathrm{cm}^3\). Hun løser volumformelen for \(h\):

Deretter settes \(h\) inn i overflateformelen:

Vi beregner \(h\) og \(O\) for hver radiusverdi i GeoGebra CAS (se utklipp):

b

Vi setter \(h = \dfrac{450}{\pi r^2}\) inn i formelen for overflaten:

Grafen under viser \(O(r)\) for \(r > 0\) med bunnpunktet markert:

c

Vi finner minimumet ved å derivere \(O(r)\) og sette \(O'(r) = 0\):

Vi setter \(O'(r) = 0\):

GeoGebra CAS gir \(r \approx 5{,}23 \, \mathrm{cm}\) (se utklipp over).

Høyden blir da:

Vi merker oss at \(h = r\) ved minimumet — boksen er like høy som den er bred.

Minste overflate:

Isabel bør velge radius \(\underline{\underline{r \approx 5{,}23 \, \mathrm{cm}}}\). Da blir overflaten minst mulig, \(\underline{\underline{O_{\min} \approx 258 \, \mathrm{cm}^2}}\).

Rasjonale funksjoner Noah og Johanne

Klassen til Noah og Johanne arbeider med rasjonale funksjoner. Læreren har tegnet grafene til to rasjonale funksjoner \(f\) og \(g\) og bedt elevene undersøke hvordan funksjonsuttrykkene kan se ut.

Fasit

\(\underline{\underline{f(x) = \dfrac{5x - 2}{x^2 - 1}}}\) og \(\underline{\underline{g(x) = \dfrac{5x - 2}{x^2 + 1}}}\)

Løsningsforslag

Vi leser av egenskapene til grafene og setter opp funksjonsuttrykk som passer.

Funksjonen \(f\)

Grafen til \(f\) har følgende egenskaper:

• To vertikale asymptoter ved \(x = -1\) og \(x = 1\)
• Horisontal asymptote \(y = 0\)
• Positiv \(y\)-skjæring (\(f(0) > 0\))
• Nullpunkt mellom \(0\) og \(1\) (ca. \(x = 0{,}4\))

Siden \(f\) har vertikale asymptoter ved \(x = -1\) og \(x = 1\), må nevneren ha nullpunkter nettopp der. En naturlig nevner er

Telleren må gi nullpunkt nær \(x = 0{,}4\). Et lineært uttrykk \(5x - 2\) har nullpunkt i \(x = \tfrac{2}{5}\), som passer godt. Da blir

Vi verifiserer:

• Vertikale asymptoter: \(x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1\) ✓
• Nullpunkt: \(5x - 2 = 0 \Rightarrow x = \tfrac{2}{5}\) ✓
• \(y\)-skjæring: \(f(0) = \dfrac{-2}{-1} = 2 > 0\) ✓
• Horisontal asymptote: \(\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{5x - 2}{x^2 - 1} = 0\) ✓

Funksjonen \(g\)

Grafen til \(g\) har følgende egenskaper:

• Ingen vertikale asymptoter
• Horisontal asymptote \(y = 0\)
• Negativ \(y\)-skjæring og samme type teller som \(f\) (lik nullpunkt og y-skjæring i tallverdi før fortegn)
• Lokalt minimum like til venstre for \(y\)-aksen, lokalt maksimum til høyre

Siden \(g\) ikke har vertikale asymptoter, må nevneren aldri bli null. Vi beholder samme teller som i \(f\) og bytter nevner til \(x^2 + 1\) (alltid positiv):

Vi verifiserer:

• Ingen vertikale asymptoter: \(x^2 + 1 \geq 1 > 0\) for alle \(x\) ✓
• Nullpunkt: \(5x - 2 = 0 \Rightarrow x = \tfrac{2}{5}\) ✓
• \(y\)-skjæring: \(g(0) = \dfrac{-2}{1} = -2\) ✓
• Horisontal asymptote: \(\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{5x - 2}{x^2 + 1} = 0\) ✓

Grafene er tegnet i GeoGebra (blå = \(f\), rød = \(g\)) og samsvarer med originalfigurene: