Proporsjonalitet i julepynt

3PBB ønsker å pynte klasserommet til jul. De vil kjøpe et juletre, og julekuler til å pynte treet med.

I en matematikktime ber læreren elevene ta utgangspunkt i denne situasjonen og diskutere begrepene proporsjonalitet og omvendt proporsjonalitet.

Blue-box

Nils sier:
«Jeg tror antallet julekuler vi kjøper, og prisen vi må betale til sammen for juletreet og julekulene, vil være proporsjonale størrelser. Jo flere kuler vi kjøper, jo mer må vi betale. Eller?»

Yellow-box

Hanne sier:
«Jeg tror beløpet hver av oss må betale, er omvendt proporsjonalt med hvor mange som blir med å dele på utgiftene. Er det riktig?»

Oppgave

Svar på spørsmålene Nils og Hanne stiller, og forklar begrepene proporsjonalitet og omvendt proporsjonalitet med utgangspunkt i situasjonen som er beskrevet i oppgaveteksten.

Fasit

Nils tar feil. Antall julekuler og prisen for julekulene vil være proporsjonale størrelser, men hvis vi skal legge til juletreet (et engangsbeløp), så er ikke antallet julekuler og totalprisen proporsjonale størrelser.
Beløpet hver må betale er omvendt proporsjonalt med antall personer som deler på utgiftene, så Hanne har rett.

Løsningsforslag

Løsningen nedenfor er laget med KI

Jeg har ikke kontrollert eller forbedredet denne løsningen enda.

Svar til Nils

Nils' spørsmål: Er antallet julekuler og totalprisen proporsjonale størrelser?

Svar: Nei, de er ikke proporsjonale.

Forklaring:

To størrelser er proporsjonale hvis forholdet mellom dem alltid er det samme, altså \(\frac{y}{x} = k\) (konstant). Dette gir en rett linje gjennom origo.

I dette tilfellet må klassen kjøpe både juletre OG julekuler. La oss si at:

Juletreet koster 500 kr (fast pris)
Hver julekule koster 20 kr

Da blir totalprisen:

\[\text{Totalpris} = 500 + 20 \cdot \text{antall kuler} \]

Dette er ikke en proporsjonal sammenheng fordi:

Hvis de ikke kjøper noen kuler: Pris = 500 kr (ikke 0 kr!)
Hvis de kjøper 10 kuler: Pris = 500 + 200 = 700 kr
Hvis de kjøper 20 kuler: Pris = 500 + 400 = 900 kr

Forholdet \(\frac{\text{pris}}{\text{antall kuler}}\) endres hele tiden, så det er ikke proporsjonalt.

MEN: Hvis vi ser bort fra prisen på juletreet og bare ser på kuleprisene alene, da ville antall kuler og kuleprisene vært proporsjonale størrelser.

Svar til Hanne

Hannes spørsmål: Er beløpet hver må betale omvendt proporsjonalt med antall personer som deler?

Svar: Ja, det stemmer!

Forklaring:

To størrelser er omvendt proporsjonale hvis produktet av dem alltid er det samme, altså \(x \cdot y = k\) (konstant), eller \(y = \frac{k}{x}\).

La oss si at det totale beløpet (juletre + kuler) er 800 kr. Da blir beløpet per person:

\[\text{Beløp per person} = \frac{800}{\text{antall personer}} \]

Vi ser at:

2 personer deler: Hver betaler \(\frac{800}{2} = 400\) kr
4 personer deler: Hver betaler \(\frac{800}{4} = 200\) kr
8 personer deler: Hver betaler \(\frac{800}{8} = 100\) kr
16 personer deler: Hver betaler \(\frac{800}{16} = 50\) kr

Vi ser at når antallet personer dobles, så halveres beløpet per person. Produktet er alltid konstant:

\[2 \cdot 400 = 4 \cdot 200 = 8 \cdot 100 = 16 \cdot 50 = 800 \]

Dette er typisk for omvendt proporsjonale størrelser.

Oppsummering:

Proporsjonale størrelser: Når den ene øker, øker den andre på samme måte. Grafen er en rett linje gjennom origo. Eksempel: Hvis hver kule koster 20 kr, er antall kuler og total kulepris proporsjonale.
Omvendt proporsjonale størrelser: Når den ene øker, minker den andre slik at produktet er konstant. Grafen er en hyperbel. Eksempel: Beløpet per person og antall personer som deler er omvendt proporsjonale.

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i 2P-Y.

Oppgave	Fag	År	Oppg
Deig fordelt på personer	2P-Y	V23	1-2
Pannekaker oppskrift og regneark	1P-Y RM	V23	1-4
Robåt engelsk fot og tjæreblanding	1P-Y DT	V23	1-4
Sammenligne priser på hundemat	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V23	1-2
Bakgrunnsgrafikk og pc-skjerm	1P-Y IM	H23	2-1
Blomkålsuppe og kjeler	1P-Y RM	H23	2-1
Brus i glass og daglig væskebehov	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	H23	1-3
Kjøttdeig, pris og prosent	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	H23	1-1
Linus frisørsalong og priser	1P-Y FD	H23	2-2
Ohms lov og proporsjonal sammenheng	1P	H23	1-3
Snorre og Miras sjokolade	1P	H23	2-4
Sondres modell for hundeår	1P	H23	1-4
Stort bord og målestokk	1P-Y FD, 1P-Y DT	H23	1-4
Tobias og daglig vannbehov	1P	H23	1-1
Kart og målestokk	2P	H23	1-2
Kartmålestokk Oslo	2P	V24	1-3
Proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser	1P	H24	1-3
Bestem målestokk fra kart	2P	H24	1-1
Gatekunstner og kvadratiske fliser	1P-Y IM	V25	1-5
Proporsjonal pris på antibac	2P-Y	V25	2-4
Ungdomsbedrift og putetrekk	1P-Y FD, 1P-Y DT	V25	1-4
Proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser fra graf	2P-Y	H24	1-3
Proporsjonalitet fra grafer 2P-Y H25	2P-Y	H25	1-5
Modell av Eiffeltårnet	2P	H25	1-3
Pyramide med proporsjonal høyde	1P	H25	1-4
Tannhjulsutveksling	1P-Y TP	H25	1-4
Proporsjonale størrelser i kiosk	2P-Y	V24	1-1
Proporsjonalitet og vase med roser	2P-Y	H23	2-5

Oppgave	Fag	År	Oppg
Proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser	1P	H24	1-3
Omvendt proporsjonal klassefest	2P-Y	V25	1-3
Omvendt proporsjonale størrelser	1P	V25	1-3
Proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser fra graf	2P-Y	H24	1-3
Proporsjonalitet fra grafer 2P-Y H25	2P-Y	H25	1-5
30-dagersbillett og pris per tur	1P	H25	1-6
Grafer og fire situasjoner	1P	H25	2-2
Hytteleie omvendt proporsjonal funksjon	2P-Y	V24	2-1
Proporsjonalitet og vase med roser	2P-Y	H23	2-5

Proporsjonalitet i julepynt

Svar til Nils

Svar til Hanne

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Lignende oppgaver sortert etter tema

Proporsjonalitet

Omvendt proporsjonalitet