Skøyteløper og hund med parameterfremstilling R1 V26
En skøyteløper beveger seg over et islagt vann.
Banefart er lengden av fartsvektoren.
I et koordinatsystem der enhetene langs aksene er meter, er posisjonen til skøyteløperen etter \(t\) sekunder gitt ved
- Bestem banefarten og posisjonen til skøyteløperen etter et halvt minutt.
Samtidig med skøyteløperen kommer en hund springende over isen. I det samme koordinatsystemet er posisjonen til hunden etter \(t\) sekunder gitt ved
- Vis at skøyteløperen ikke vil treffe hunden.
Hunden har vært savnet en stund, og skøyteløperen ønsker å fange den. Skøyteløperen oppdager hunden etter \(1\) minutt, og øker da sin banefart uten å endre retning. Hunden endrer verken retning eller banefart.
- Hvilken ny konstant banefart må skøyteløperen holde fra dette tidspunktet for å fange hunden?
a) Banefart \(\dfrac{\sqrt{349}}{3} \approx 6{,}23 \, \mathrm{m/s}\), posisjon \((300, 100)\) etter \(30 \, \mathrm{s}\)
b) \(x\)-likningene gir \(t = -260\) og \(y\)-likningene gir \(t \approx 135{,}6\) — ingen felles \(t\) gir samme posisjon
c) Ny banefart \(\dfrac{181\sqrt{349}}{356} \approx 9{,}50 \, \mathrm{m/s}\)
a
Fartsvektoren til skøyteløperen leses av fra parameterfremstillingen som \(\vec{v}_l = (6,\ \tfrac{5}{3})\).
Banefarten er lengden av fartsvektoren:
Se linje 1 i GeoGebra: \(\mathbf{banefart_l \approx 6{,}2272 \, \mathrm{m/s}}\)
Et halvt minutt er \(t = 30 \, \mathrm{s}\). Posisjonen er
Se linje 2 og 3 i GeoGebra.
Banefarten er \(\dfrac{\sqrt{349}}{3} \approx 6{,}23 \, \mathrm{m/s}\), og skøyteløperen er i punktet \((300,\ 100)\) etter \(30 \, \mathrm{s}\).
b
For at skøyteløperen og hunden skal treffe hverandre, må det finnes en \(t \in [0, 200]\) slik at begge er i samme punkt samtidig. Vi løser \(x\)- og \(y\)-likningene separat og sjekker om de gir samme \(t\).
\(x\)-likning:
Se linje 4 i GeoGebra: \(t_x = \{t = -260\}\).
\(y\)-likning:
Se linje 5 i GeoGebra: \(t_y \approx 135{,}6\).
Siden \(t_x = -260 \neq t_y \approx 135{,}6\), finnes det ingen \(t\) der begge er i samme posisjon. (Geometrisk betyr dette at banene \(l\) og \(m\) er to forskjellige rette linjer som skjærer hverandre i ett punkt, men skøyteløperen og hunden passerer det punktet på ulike tidspunkt.)
Skøyteløperen vil ikke treffe hunden.
c
Etter \(t = 60 \, \mathrm{s}\) (1 minutt) er posisjonene:
Se linje 6 og 7 i GeoGebra.
Fra \(t = 60\) øker skøyteløperen banefarten med en faktor \(k > 0\) (beholder retningen \((6,\ \tfrac{5}{3})\)). Den nye fartsvektoren er \(k \cdot (6,\ \tfrac{5}{3})\), og posisjonen for \(t > 60\) er
Hunden fortsetter uendret:
Vi setter opp likningssystemet \(x_l(t) = x_m(t)\) og \(y_l(t) = y_m(t)\) og løser for \(t\) og \(k\):
Løsning (se Python-beregning): \(t = \dfrac{7100}{59} \approx 120{,}3 \, \mathrm{s}\) og \(k = \dfrac{543}{356} \approx 1{,}525\).
Den nye banefarten er
Se linje 9 i GeoGebra: \(\mathbf{ny\_banefart \approx 9{,}50 \, \mathrm{m/s}}\).
Skøyteløperen må holde en banefart på \(\dfrac{181\sqrt{349}}{356} \approx 9{,}50 \, \mathrm{m/s}\) for å fange hunden.