Hypotesetest - vannflasker S2 V26
Henrik kjøper ofte flasker med vann. Produsenten oppgir at flaskene inneholder \(1{,}50 \mathrm{~L}\) med et standardavvik på \(0{,}01 \mathrm{~L}\).
Henrik påstår at flaskene inneholder mindre vann enn dette. Han kjøper en kasse med 24 flasker og måler vannmengden i alle.
Flasken med minst vann inneholder \(1{,}48 \mathrm{~L}\). Henrik mener at dette viser at påstanden hans er riktig.
Du kan anta at vannmengden i flaskene er normalfordelt.
- Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig flaske fra denne produsenten inneholder \(1{,}48 \mathrm{~L}\) vann eller mindre.
- Forklar hvorfor Henrik ikke kan bruke dette som argument for at påstanden hans er riktig, selv om han har funnet en flaske med lite vann.
- Formuler Henriks påstand som en hypotesetest.
- Forklar hvordan Henrik kan gjennomføre en hypotesetest ved å se på gjennomsnittet av vannmengden i flaskene. Forklaringen må inkludere relevante formler Henrik kan bruke for å gjennomføre testen.
a) 2,28 %
b) –
c) \(H_{0}: \mu=1{,}5 \quad \text{mot} \quad H_{1}: \mu<1{,}5\)
d) –
a
Vi har normalfordeling med \(\mu = 1{,}50\) og \(\sigma = 0{,}01\).
Normalfordelingstabellen gir oss:
Sannsynligheten for at det er mindre enn 1,48 L i en tilfeldig valgt flaske er 2,28 % (forutsatt at produsentens opplysninger om forventningsverdi og standardavvik stemmer).
b
Henrik har målt 24 flasker, og det er den flasken med minst vann av disse han trekker frem. Sannsynligheten i deloppgave a) gjelder for én tilfeldig valgt flaske, ikke for minimumsverdien blant 24.
Fra a) vet vi at hver flaske har 2,28 % sannsynlighet for å inneholde 1,48 L eller mindre. Når Henrik måler 24 flasker, vil vi i gjennomsnitt forvente \(24 \cdot 0{,}0228 \approx 0{,}5\) slike flasker per kasse. Med andre ord vil omtrent annenhver kasse inneholde minst én flaske under 1,48 L — selv om produsentens opplysninger stemmer helt.
Henrik kan derfor ikke bruke denne ene observasjonen som argument for påstanden sin. Han må heller se på gjennomsnittet av alle de 24 målingene (se deloppgave d).
c
Nullhypotesen er at produsenten har rett i sine påstander, mens den alternative hypotesen er flaskene inneholder mindre enn \(1{,}5 \mathrm{~L}\).
d
I dette løsningsforslaget så regner jeg så godt som jeg kan på del 1 og forsøker å gjennomføre hypotesetesten. Oppgaveteksten sier at du kun skal forklare hvordan hypotesetesten kan gjennomføres og sette opp relevante formler. Det er derfor ikke nødvendig deg som elev å gjennomføre beregningene.
Henrik må først bestemme seg for et signifikansnivå. Her passer det godt å velge \(\alpha=0{,}05\).
Hver flaske har et standardavvik på 0,01 L. Hvis vi skal bruke gjennomsnittet av vannet i flaskene så har vi altså summen av vannet i 24 flasker delt på 24:
Etter sentralgrensesetningen vil \(\bar{X}\) være normalfordelt med \(E(\bar{X})= E(X)=1{,}5\) og \(SD( \bar{X} )= \frac{\sigma}{\sqrt{ n }}=\frac{0{,}01}{\sqrt{ 24 }}\).
Siden \(5^{2}=25\) så må \(\sqrt{ 24 } \approx 5\) og \(SD(\bar{X}) \approx \frac{0{,}01}{5}=0{,}002\).
Ifølge normalfordelingstabellen så tilsvarer et signifikansnivå på 0,05 omtrent \(z\)-verdien 1,645.
Vi kan altså forkaste \(H_{0}\) dersom
Hvis gjennomsnittsinnholdet er 1,49671 L eller mindre så kan Henrik forkaste nullhypotesen.