Topp- og bunnpunkt for eksponentialfunksjon R1 V26
En funksjon \(f\) er gitt ved
\[f(x) = e^x(6 - e^x) \]
Oppgave
- Bestem eventuelle nullpunkter til funksjonen \(f\).
- Vis at \(f'(x) = 2e^x(3 - e^x)\).
- Bestem koordinatene til eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til \(f\). Avgjør om eventuelle punkter er topp- eller bunnpunkter.
Fasit
a) \(\underline{\underline{x = \ln 6}}\)
b) Se løsningsforslag.
c) Toppunkt \(\underline{\underline{(\ln 3,\ 9)}}\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Vi setter \(f(x) = 0\):
\[e^x(6 - e^x) = 0 \]
Siden \(e^x > 0\) for alle \(x\), må den andre faktoren være null:
\[6 - e^x = 0 \implies e^x = 6 \implies x = \ln 6 \]
Funksjonen har ett nullpunkt: \(\textcolor{seagreen}{\mathbf{x = \ln 6}}\).
b
Vi skriver \(f(x) = 6e^x - e^{2x}\) og deriverer ledd for ledd:
\[\begin{aligned} f'(x) &= 6e^x - 2e^{2x} \\ &= 2e^x(3 - e^x) \end{aligned}\]
Dette er det samme som \(2e^x(3 - e^x)\). \(\square\)
c
Vi setter \(f'(x) = 0\):
\[2e^x(3 - e^x) = 0 \]
Siden \(e^x > 0\) for alle \(x\), må:
\[3 - e^x = 0 \implies e^x = 3 \implies x = \ln 3 \]
Vi lager et fortegnsskjema for \(f'(x) = 2e^x(3 - e^x)\):
| \(x\) | \((-\infty,\ \ln 3)\) | \(\ln 3\) | \((\ln 3,\ \infty)\) |
|---|---|---|---|
| \(2e^x\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(3 - e^x\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \(f\) | \(\nearrow\) | topp | \(\searrow\) |
Siden \(f'\) skifter fortegn fra \(+\) til \(-\) i \(x = \ln 3\), er dette et toppunkt.
Funksjonsverdien i toppunktet:
\[f(\ln 3) = e^{\ln 3}\cdot(6 - e^{\ln 3}) = 3 \cdot (6 - 3) = 3 \cdot 3 = 9 \]
Grafen har ett toppunkt: \(\textcolor{seagreen}{\mathbf{(\ln 3,\ 9)}}\).