Maksimalt rektangel under eksponentialgraf R1 V26
Figuren ovenfor viser grafen til en funksjon \(f\) gitt ved \(f(x) = 100\cdot 0{,}8^x\) og et rektangel \(ABCD\).
Punktet \(A\) har koordinatene \(A(a, f(a))\) der \(a \in [0, 5\rangle\). Punktene \(B\) og \(C\) har førstekoordinat \(5\), og punktene \(C\) og \(D\) har andrekoordinat \(200\).
- Uttrykk lengden av linjestykkene \(AB\) og \(AD\) ved \(a\).
- Bruk derivasjon til å bestemme det største arealet rektangelet \(ABCD\) kan få.
a) \(|AB| = 5 - a\), \(\quad |AD| = 200 - 100 \cdot 0{,}8^a\)
b) \(\underline{\underline{A_{\max} \approx 500{,}98}}\) (ved \(a \approx 0{,}17\))
a
Punkt \(A\) har koordinatene \((a,\, f(a))\), og \(B\) har førstekoordinat \(5\) og samme andrekoordinat som \(A\), så
Punkt \(D\) har andrekoordinat \(200\) og samme førstekoordinat som \(A\), så
b
Vi setter opp arealfunksjonen
Vi bruker CAS til å finne det stasjonære punktet og sammenligner med endepunktene (se linje 4–8 i GeoGebra-utklippet).
Fra linje 6 gir \(A'(a) = 0\) løsningen \(a \approx 0{,}1707\).
Vi kontrollerer verdiene:
| \(a\) | \(A(a)\) |
|---|---|
| \(0{,}1707\) | \(\approx 500{,}98\) |
| \(0\) | \(500\) |
| \(5\) | \(0\) |
Det stasjonære punktet gir det største arealet.
Det største arealet rektangelet \(ABCD\) kan få, er \(\underline{\underline{A \approx 500{,}98}}\), oppnådd når \(a \approx 0{,}17\).