Vipebestand med eksponentielle modeller 1T V26
Vipa er kritisk truet fuglearti Norge.
I 2013 ble bestanden av viper anslått til å være omtrent 9000 par. I 2022 var bestanden omtrent 2500 par.
| År | 2013 | 2022 |
|---|---|---|
| Vipebestand (par) | 9000 | 2500 |
Tor antar at bestanden av viper har avtatt lineært og vil fortsette å avta lineært i årene framover. Egil antar at nedgangen har vært, og fortsatt vil være, eksponentiell.
La \(x\) være antall år etter 2013.
- Lag en modell \(f\) som viser utviklingen av vipebestanden ut fra Tors antakelser. Forklar hva modellen forteller om utviklingen.
- Lag en modell \(g\) som viser utviklingen av vipebestanden ut fra Egils antakelser. Forklar hva modellen forteller om utviklingen.
Myndigheter og interesseorganisasjoner arbeider med å verne hekkeområdene til vipa. De håper at dette skal bidra til å stoppe nedgangen, slik at bestanden vil stabilisere seg.
Egil ønsker å lage en ny modell som tar hensyn til dette. Han lager først den eksponentielle modellen \(p\). Så endrer han litt på denne og kommer fram til modellen \(q\). Nedenfor ser du grafene til de to modellene.
- Gjør rede for hvilke antakelser Egil har lagt til grunn for modellen \(q\). Bestem \(p(x)\) og \(q(x)\).
a) \(f(x) = -\dfrac{6500}{9}x + 9000 \approx -722{,}2x + 9000\)
b) \(g(x) = 9000 \cdot 0{,}867^x\)
c) \(p(x) = 7000 \cdot 0{,}746^x\), \(\quad q(x) = 7000 \cdot 0{,}746^x + 2000\)
a
Vi bruker de to datapunktene \((0, 9000)\) og \((9, 2500)\).
En lineær modell har formen \(f(x) = ax + b\).
Siden \(x = 0\) svarer til år 2013 og bestanden da var 9000, får vi direkte
Stigningstallet finner vi ved
Den lineære modellen er
Tolkning: I 2013 var bestanden 9000 par. Ifølge modellen synker bestanden med omtrent \(\mathbf{722}\) par per år. Modellen predikerer at bestanden faller til null rundt \(x \approx 12{,}5\), dvs. rundt år 2025–2026.
b
En eksponentiell modell har formen \(g(x) = 9000 \cdot b^x\) (startverdi 9000 ved \(x = 0\)).
Vi bruker punktet \((9, 2500)\):
Den eksponentielle modellen er
Tolkning: I 2013 var bestanden 9000 par. Ifølge modellen avtar bestanden med ca. \(\mathbf{13{,}3\,\%}\) per år (siden \(b \approx 0{,}867\) betyr \(1 - 0{,}867 = 0{,}133 = 13{,}3\,\%\) nedgang). Bestanden nærmer seg null, men når aldri null.
c
Egils antakelse: Egil antar at bestanden ikke vil falle til null, men stabilisere seg på 2000 par. Modell \(q\) har derfor en horisontal asymptote ved \(y = 2000\).
Konstruksjon av \(p\):
Egil lager først modellen \(p\) ved å trekke fra 2000 fra alle bestandsverdier – han ser på den «overskytende» bestanden utover 2000 par:
- Ved \(x = 0\): \(9000 - 2000 = 7000\)
- Ved \(x = 9\): \(2500 - 2000 = 500\)
Modellen \(p\) er eksponentiell med startverdi 7000:
Vi finner \(c\) fra punktet \((9, 500)\):
Konstruksjon av \(q\):
Egil hever \(p\) opp med 2000 (legger tilbake det han trakk fra) slik at bestanden stabiliserer seg ved 2000 par:
Tolkning: Modell \(q\) har horisontal asymptote \(y = 2000\): bestanden avtar fortsatt eksponentielt, men tilnærmer seg 2000 par på sikt uten å falle under det. Dette gjenspeiler antakelsen om at vernearbeidet vil stabilisere bestanden på minst 2000 par.