Ikke kvalitetssikret

Denne oppgaven er lest inn med KI og er ikke kontrollert enda. Det kan forekomme feil.

Oppgaven er hentet fra eksamen S1 V26 del 2 oppgave 2.

Sommervikarer og hypergeometrisk sannsynlighet S1 V26

Et firma har søkt etter 5 sommervikarer. Firmaet har mottatt 80 søknader. Blant søkerne er det 14 ungdommer under 16 år.

Ledelsen bestemmer seg for å intervjue noen av søkerne. Søkerne som skal intervjues, trekkes ut tilfeldig.

Ledelsen ønsker å intervjue 10 søkere.

Oppgave

Bestem sannsynligheten for at minst 8 av disse er 16 år eller eldre.

Ledelsen ønsker at flere av søkerne de innkaller til intervju, er 16 år eller eldre.

Oppgave

Hvor mange søkere må ledelsen minst intervjue for å være 90 % sikre på at 10 eller flere er 16 år eller eldre?

Fasit

a) \(P(\text{minst 8 er 16+}) \approx 0{,}7603\)
b) Minst 14 søkere må intervjues.

Løsningsforslag

Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.

La \(X\) være antallet søkere under 16 år blant de som trekkes ut. Vi har totalt \(N = 80\) søkere, hvorav \(M = 14\) er under 16 år og \(N - M = 66\) er 16 år eller eldre.

\(X\) er hypergeometrisk fordelt med \(N = 80\), \(M = 14\) og trekkstørrelse \(n\).

\[P(X = k) = \frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}} = \frac{\binom{14}{k}\binom{66}{n-k}}{\binom{80}{n}} \]

a

Ledelsen trekker \(n = 10\) søkere. Vi ønsker sannsynligheten for at minst 8 av disse er 16 år eller eldre.

«Minst 8 er 16+» tilsvarer «høyst 2 er under 16», altså \(X \leq 2\).

\[P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]

\[P(X = 0) = \frac{\binom{14}{0}\binom{66}{10}}{\binom{80}{10}} = \frac{1 \cdot \binom{66}{10}}{\binom{80}{10}} \approx 0{,}1281 \]

\[P(X = 1) = \frac{\binom{14}{1}\binom{66}{9}}{\binom{80}{10}} = \frac{14 \cdot \binom{66}{9}}{\binom{80}{10}} \approx 0{,}3147 \]

\[P(X = 2) = \frac{\binom{14}{2}\binom{66}{8}}{\binom{80}{10}} = \frac{91 \cdot \binom{66}{8}}{\binom{80}{10}} \approx 0{,}3174 \]

\[P(X \leq 2) \approx 0{,}1281 + 0{,}3147 + 0{,}3174 = \mathbf{\underline{\underline{0{,}7603}}} \]

I GeoGebra kan vi bruke sannsynlighetskalkulatoren med hypergeometrisk fordeling (\(N=80\), \(M=14\), \(n=10\)) og lese av \(P(X \leq 2) \approx 0{,}7603\).

Sannsynligheten for at minst 8 av de 10 søkerne er 16 år eller eldre er omtrent \(\underline{\underline{0{,}7603}}\) (ca. 76 %).

b

Nå er \(n\) ukjent. Vi ønsker at sannsynligheten for at minst 10 av de \(n\) intervjuede er 16 år eller eldre, skal være minst 90 %.

«Minst 10 er 16+» tilsvarer «høyst \(n - 10\) er under 16», altså \(X \leq n - 10\).

Vi ønsker:

\[P(X \leq n - 10) \geq 0{,}90 \]

Vi prøver systematisk for ulike verdier av \(n\):

\(n\)	\(P(X \leq n-10)\)
12	\(\approx 0{,}6500\)
13	\(\approx 0{,}8374\)
14	\(\approx 0{,}9375\)

For \(n = 13\) er sannsynligheten ca. 83,7 %, som er under 90 %.

For \(n = 14\) er sannsynligheten ca. 93,8 %, som er over 90 %.

Ledelsen må minst intervjue \(\underline{\underline{14}}\) søkere for å være 90 % sikre på at 10 eller flere er 16 år eller eldre.

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i S1.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Sannsynlighet

Oppgave	Fag	År	Oppg
Terningspill med to terninger	S2	V19	1-7
Insektskader på epletrær	S2	H19	1-7
Gule drops i poser	S2	V20	1-7
Tomatfrø og normalfordeling	S2	H20	1-7
Bruddstyrke fiskesene	S2	V21	2-3
Sauevekt og normalfordeling	S2	V21	1-7
Torskefileter i poser	S2	V22	1-7
Bestem forventningsverdi og standardavvik fra prosenter	S2	E22	1-5
Hypotesetest med terninger	S2	E22	2-3
Forventningsverdi og varians fra sannsynlighetsfordeling S2	S2	V23	1-3
Levetiden til normalfordelte batterier	S2	V23	1-6
Simulere uttrekk av elevers karakter fra tilfeldig normalfordelt skole	S2	V23	2-5
Billetter til fotballkamp	S1	V23	2-5
Kuler i krukke hypergeometrisk	S1	V23	1-4
Sannsynligheter ved lottospill	S1	V23	2-2c
Forventningsverdi og varians fra diskret sannsynlighetsfordeling	S2	E22	1-4
Lykkehjulet	S2	H22	1-8
Normalfordelt intelligens	S2	E15	1-8
Normalfordelte hjortebukker	S2	V15	1-7
Levetiden til lyspærer	S2	E22	2-2
Simuler sannsynlighet for høyde over 175 cm	S2	E22	2-6
Sannsynlighet med fem terninger	S1	H23	2-4
Sannsynlighet med tre terninger	S1	H23	1-3
Venstrehendte elever	S1	H23	2-2
Ukjent program Mønster v23	S2	Ingen	1-5
Tunge kuler i kasse	S2	H23	1-5
Normalfordelte vinterdekk	S2	H23	2-3
Kuler i boks og hypergeometrisk sannsynlighet	S1	V24	2-4
Sokker trukket fra skuff	S1	V24	1-4
Terninger – alle ulike og simulering	S1	V24	2-5
Sveins kurv med baller Sveins kurv med baller	S2	V24	2-5
Antrekk og sannsynlighet hos Drakt og Søm	S1	H24	2-1
Knekkebrød, gavekort og simulering	S1	H24	2-4
Sannsynlighet for covid med positiv test	S1	H24	2-7
Sannsynlighet for kulefarge	S1	H24	1-5
Hypergeometrisk hypotesetest	S2	H24	2-2
Vekten til poteter	S2	H21	1-6
Normalfordelt hoppkonkurranse	S2	V25	2-2
Hengelåskode og simulering	S1	V25	2-1
Kombinatorikk med elever i arbeidsgruppe	S1	V25	2-3
Sannsynlighet for skytter Arne Treff	S1	V25	1-5
Valgresultat og binomisk sannsynlighet	S1	V25	2-4
Einars straffesparkkonkurranse	S1	H25	1-6
Sannsynlighet med drops	S1	H25	2-3
Terningspill og forventningsverdi	S1	H25	2-6
Hypotesetester om komponenter som er defekte	S2	H25	2-3
Sannsynlighet for poengtap ved poengspill	S2	H25	1-4
Binomisk sannsynlighet og fremmedspråk S1 V26	S1	V26	1-7
Romfordeling og kombinatorikk på hyttetur S1 V26	S1	V26	1-8
Terningspill med simulering S1 V26	S1	V26	2-5
Simulering av antall terningkast for å få samme antall øyne i to kast på rad Simulering av antall terningkast for å få samme antall øyne i to kast på rad	S2	H25	2-6