Ikke kvalitetssikret

Denne oppgaven er lest inn med KI og er ikke kontrollert enda. Det kan forekomme feil.

Oppgaven er hentet fra eksamen 1T V26 del 1 oppgave 7.

Eksakte verdier av sin og cos 30 grader 1T V26

Likebeint trekant med toppvinkel 30 grader og siden 4

Oppgave

Bruk trekanten ovenfor til å vise at \(\sin 30\degree = \dfrac{1}{2}\) og at \(\cos 30\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Oppgave

Bestem arealet av trekanten nedenfor.
Bestem omkretsen av trekanten nedenfor.

Smal trekant med side 10 rot 3, vinkel 30 grader og grunnflate 4

Fasit

a) Se løsningsforslag
b) \(\text{Areal} = 10\sqrt{3}\)
c) \(\text{Omkrets} = 18 + 10\sqrt{3}\)

Løsningsforslag

Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.

a

Den likebeinte trekanten i oppgaven har toppvinkel \(30°\) og de to like sidene har lengde \(4\).

Vi speiler trekanten om én av de like sidene og setter de to trekantene sammen til én stor trekant. Den store trekanten har tre vinkler på \(60°\) og alle tre sidene er \(4\), altså er den likebeint.

Vi trekker nå høyden fra toppen ned til grunnflaten i den likesidede trekanten. Høyden deler trekanten i to like rettvinklede trekanter. Hver av disse rettvinklede trekantene har:

Hypotenuse: \(4\) (en side av den likesidede trekanten)
Kortkatet: \(\dfrac{4}{2} = 2\) (halve grunnflaten)
Vinkel mot hypotenuse ved grunnflaten: \(60°\)
Vinkel mot hypotenuse ved toppen: \(30°\)

I den rettvinklede trekanten kan vi nå lese av:

\[\sin 30° = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenuse}} = \frac{2}{4} = \underline{\underline{\frac{1}{2}}} \]

For å finne lengstkateten \(h\) (høyden) bruker vi Pytagoras:

\[h^2 + 2^2 = 4^2 \implies h^2 = 16 - 4 = 12 \implies h = 2\sqrt{3} \]

Dermed er:

\[\cos 30° = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenuse}} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \underline{\underline{\frac{\sqrt{3}}{2}}} \]

b

Trekanten har to sider på \(10\sqrt{3}\) og \(4\) med \(30°\) mellom dem. Vi bruker arealsetningen:

\[A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \sin 30° \]

Vi setter inn \(\sin 30° = \dfrac{1}{2}\):

\[A = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = \textbf{10}\boldsymbol{\sqrt{3}} \]

Arealet er \(\underline{\underline{10\sqrt{3}}}\).

c

La \(x\) være den ukjente siden (motstående \(30°\)-vinkelen). Vi bruker cosinussetningen:

\[x^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = (10\sqrt{3})^2 + 4^2 - 2 \cdot 10\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \cos 30° \]

Vi setter inn \(\cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\):

\[\begin{aligned} x^2 &= 300 + 16 - 80\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 316 - 40 \cdot 3 \\ &= 316 - 120 \\ &= 196 \end{aligned}\]

\[x = \sqrt{196} = 14 \]

Omkretsen er:

\[O = 10\sqrt{3} + 4 + 14 = \underline{\underline{18 + 10\sqrt{3}}} \]

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i 1T.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Trigonometri

Oppgave	Fag	År	Oppg
Bevis for grenseverdien til sin v delt på v	R2	V23	1-5
Omdreiingslegeme til trigonometrisk funksjon	R2	V23	2-5
Tangens, derivert og integral	R2	V23	1-2
Endevegg hus areal og takvinkel	1P-Y BA	V23	2-1
Solcellepanel areal og kostnad	1P-Y EL	V23	2-3
Trigonometri og effekttrekant	1P-Y EL	V23	1-4
Areal av trekant i sirkel	1T	V23	2-5
Areal av firkant ved hjelp av trigonometri	1T	V23	2-3
Begrunn hvorfor sin² u + cos² u = 1	1T	V23	1-1
Vis at (sin u) / (cos u) = tan u	1T	H22	1-1
Areal av område begrenset av sirkler	GRUBLE	Ingen	Ingen
Areal av sirkel og kvadrat som skjærer hverandre	1T, R1, R2	Ingen	Ingen
Areal av firekantet figur	1T	H23	2-2
Areal mellom cosinus og sinus	R2	H23	1-2
Likesidet trekant og cos 60°	1T	H23	1-1
Luftforurensning og sinusfunksjon	R2	H23	2-4
Strømproduksjon, trekant og resistans	1P-Y EL	H23	1-4
Takstol til garasje	1P-Y BA	H23	2-2
Tidevann og trigonometrisk modell	R2	H23	2-1
To trekanter og størst areal	1T	H23	1-4
Trekant med to løsninger	2P	H23	2-5
Garasjeloft og trigonometri	1P-Y BA	V24	1-5
Husvegg tak og solcellepaneler	1P-Y BA	V24	2-2
Lysbrytning i vann	1T	V24	2-2
Trekant med arealsetning og cosinussetning	1T	V24	2-3
Trigonometri i rettvinklet trekant	1T	V24	1-1
Sensor for utelys og trigonometri	R2	V24	2-3
Sinusfunksjon og egenskaper	R2	V24	1-5
Areal av firkant ABCD med trigonometri	1T	H24	2-6
Begrunn tangensverdier i enhetssirkelen	1T	H24	1-4
Integral med delvis integrasjon og trigonometri	R2	H24	1-1
Radianer og eksakte trigonometriske verdier	R2	H24	1-4
Russebil med trigonometrisk fartsfunksjon	R2	H24	2-4
Sinusfunksjon og cosinusfunksjon	R2	H24	1-5
Stjernens areal med arealsetningen	1T	H24	2-2
Verifiser dobbeltvinkelformel med 30-60-90-trekant	1T	H24	1-1
Trigonometrisk funksjon og likning	R2	V25	1-4
Vinkel i sirkel og trigonometri	R2	V25	1-7
Takstol og trekant ABC	1P-Y BA	V25	2-1
Tolvkant innskrevet i sirkel	1T	V25	2-3
Trigonometri med arealsetning og cosinus	1T	V25	1-5
Sanne og usanne påstander om fart og vinkel	R2	H25	1-5
Sinusmodell for elektrisk spenning	R2	H25	2-2
Trigonometriske likninger og antall løsninger	R2	H25	1-4
Vektorer, lengde og ortogonalitet	R1	H25	2-5
App-ikon med sirkel og trekant	1P-Y IM	H25	1-5
Areal av firkant med trigonometri	1T	H25	2-3
Kledning og takkonstruksjon	1P-Y BA	H25	2-1
Solcellepaneler og trigonometri	1P-Y EL	H25	2-1
Trekantareal og sin 45 grader	1T	H25	1-5
Bruke definisjonene av sinus og cosinus til å sette opp forhold	1P-Y EL	H24	1-5
Lukas sin ukjente trekant	1P-Y EL	V25	1-5
Bruk enhetssirkel til å finne sinus og cosinusverdier	1P-Y EL	V24	1-4
Datatrafikk og sinusmodell R2 V26	R2	V26	2-1
Funksjonsuttrykk fra trigonometrisk graf R2 V26	R2	V26	1-4
Trigonometriske verdier og likning R2 V26	R2	V26	1-3
Vase som omdreiningslegeme R2 V26	R2	V26	2-4
Sinussetningen og arealsetningen i sammensatt trekant 1T V26	1T	V26	2-2
Trekant med tangens lik 1 1T V26	1T	V26	1-6
Effekttrekant for motor Effekttrekant for motor	1P-Y EL	H24	2-1
Felix sine effektdiagrammer Felix sine effektdiagrammer	1P-Y EL	H25	1-5

Geometri

Oppgave	Fag	År	Oppg
Avstand fra punkt til linje og graf	R1	V23	2-6
Likebeinte og formlike trekanter	2P	V23	1-2
Parallellogram og vektorer	R1	V23	2-2
Vinkler og vinkelrette vektorer	R1	V23	1-3
Parallelle plan og kule	R2	V23	2-2
Pyramide med fire punkter i rommet	R2	V23	1-3
Sekskantmønster og vinkelsum	1P-Y IM	V23	1-4
Solcellepanel areal og kostnad	1P-Y EL	V23	2-3
Areal av firkant ved hjelp av trigonometri	1T	V23	2-3
Areal av område begrenset av sirkler	GRUBLE	Ingen	Ingen
Areal av sirkel og kvadrat som skjærer hverandre	1T, R1, R2	Ingen	Ingen
Kasse uten lokk	S1, R1	H23	2-5
Areal av sideflaten i avkortet pyramide	R2	H23	1-6
Ellipse og Ramanujans formel	1P	H23	2-7
Plan, normalvektor og avstand til punkt	R2	H23	1-4
Rektangel innskrevet i trekant	1P	H23	2-5
Seilbåt med to seil og formlikhet	1P-Y NA	H23	2-1
Takstol til garasje	1P-Y BA	H23	2-2
Trekant med to løsninger	2P	H23	2-5
Bindingsverk og kappliste for vegg	1P-Y BA	V24	2-1
Blomsterkrukker og sylindervolum Sander	1P-Y NA	V24	2-2
Formlike rammer og diagonal	1P-Y FD, 1P-Y DT	V24	1-4
Garasjeloft og trigonometri	1P-Y BA	V24	1-5
Husvegg tak og solcellepaneler	1P-Y BA	V24	2-2
Logoer med parallellogrammer og symmetri	1P-Y IM	V24	1-4
Sylinderformet lampe med hull	1P-Y FD, 1P-Y DT	V24	2-1
Terrassestolper i betong sylinder	1P-Y TP	V24	2-2
Kartmålestokk Oslo	2P	V24	1-3
Klatrevegg rettavkortet kjegle	2P	V24	2-5
Pyramide i halvkule – størst mulig volum	S1, R1	V24	2-8
Tre punkter på linje og rettvinklet trekant	R1	V24	1-4
Kuleflate og plan	R2	V24	2-5
Trekant og plan i rommet	R2	V24	1-4
Bindingsverk og kappliste for hytte	1P-Y BA	H24	1-5
Blomsterpotte og likebeint trekant	1P-Y FD, 1P-Y TP, 1P-Y DT	H24	1-5
Lykkehjul med sektorer og trekanter	1P-Y IM	H24	1-4
Symmetri i logo	1P-Y IM	H24	1-5
Vimpler i to størrelser	1P-Y FD, 1P-Y DT	H24	1-4
Formlike trekanter og areal	2P	H24	1-3
Volum og areal for lesehule	2P	H24	2-8
Bordplate som trekant i 3D	R2	V25	1-5
Areal og omkrets av halvsirkel og trekant	2P	V25	1-4
Formlike trekanter over elv	2P	V25	2-3
Vektorer og basketball	R1	V25	1-6
Konusformet aksling og konisitet	1P-Y TP	V25	1-5
Nomogram for omdreiningstall og boring	1P-Y TP	V25	2-1
Parkbenk og svinn av terrassebord	1P-Y BA	V25	1-4
Rom med skråtak og volum	1P-Y IM	V25	1-4
Sylinderformede sittepuffer	1P-Y FD, 1P-Y DT	V25	2-2
Takstol og trekant ABC	1P-Y BA	V25	2-1
Tannhjul og skyvelære	1P-Y TP	V25	1-4
Tolvkant innskrevet i sirkel	1T	V25	2-3
Kuleflate og tangentplan	R2	H25	1-7
Miniubåt, fart og kollisjon med fiskestim	R2	H25	2-1
Volum av omdreiningslegeme – kopp	R2	H25	1-2
Koordinater, linje og ortogonalitet	R1	H25	1-4
Parameterframstilling og møtepunkt	R1	H25	2-4
Grus på sti og kjeglehaug	2P	H25	2-6
Modell av Eiffeltårnet	2P	H25	1-3
Trekant i sirkel	2P	H25	1-5
App-ikon med sirkel og trekant	1P-Y IM	H25	1-5
Areal av firkant med trigonometri	1T	H25	2-3
Blomsterbed med halvsirkel	1P	H25	2-7
Breddegrader og jordomkrets	1P	H25	2-6
Naomi sine søppelbøtter	1P-Y TP	H25	2-2
Pyramide med proporsjonal høyde	1P	H25	1-4
Rombe-duk og Pytagoras	1P-Y FD, 1P-Y DT	H25	1-4
Solcellepaneler og trigonometri	1P-Y EL	H25	2-1
Størst mulig rektangel under kurve	1T	H25	2-5
Tangent til parabel og lagerhall	1T	H25	2-6
Terrasse med Pytagoras	1P-Y BA	H25	1-5
Plan og tangerende kuleflate R2 V26	R2	V26	1-7
Sinussetningen og arealsetningen i sammensatt trekant 1T V26	1T	V26	2-2
Trekant med tangens lik 1 1T V26	1T	V26	1-6