Sinussetningen og arealsetningen i sammensatt trekant 1T V26

a) \(\underline{\underline{AB = \sqrt{2+\sqrt{3}} \approx 1{,}93}}\)

b) \(\underline{\underline{T_{ABD} = \dfrac{5\sqrt{3}+9}{12} \approx 1{,}47}}\)

a

I trekant \(ABC\) kjenner vi to sider og den mellomliggende vinkelen:

• \(AC = \sqrt{2}\)
• \(CB = 1\)
• \(\angle ACB = 105°\)

Vi bruker derfor cosinussetningen for å finne \(AB\):

Numerisk:

import math
AB_sq = 2 + 1 - 2*math.sqrt(2)*math.cos(math.radians(105))
print(AB_sq, math.sqrt(AB_sq))
# 3.7320508..., 1.9318516...

Vi får \(AB^2 \approx 3{,}732\), så

(Den eksakte verdien \(2+\sqrt{3}\) kommer fra \(\cos 105° = -\tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\), som gir \(AB^2 = 3 + \tfrac{\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2} = 3 + \tfrac{\sqrt{12}-2}{2} = 2 + \sqrt{3}\).)

\(\underline{\underline{AB \approx 1{,}93}}\)

b

Vi deler trekant \(ABD\) i de to deltrekanene \(ABC\) og \(ACD\), og beregner arealet av hver.

Areal av trekant \(ABC\):

Finn \(CD\) ved sinussetningen i trekant \(ACD\):

Siden \(\angle ACB = 105°\) er \(\angle ACD = 180° - 105° = 75°\) (supplementvinkler). I trekant \(ACD\) er \(\angle D = 60°\), \(\angle ACD = 75°\), og dermed \(\angle CAD = 180° - 60° - 75° = 45°\).

Sinussetningen i trekant \(ACD\) gir

Areal av trekant \(ACD\):

Vi bruker \(\sin 75° = \sin(45°+30°) = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\):

Totalt areal:

Felles nevner 12:

\(\underline{\underline{T_{ABD} = \dfrac{5\sqrt{3}+9}{12} \approx 1{,}47}}\)