Vektorfunksjoner og smygplan
En kurve \(C\) er grafen til vektorfunksjonen \(\vec{r}_1\) gitt ved
\[\vec{r}_1(t) = [\sin t,\ t,\ \cos t], \quad 0 < t < 2\pi
\]
Oppgave
- Bestem koordinatene til eventuelle punkter på \(C\) der tangenten er parallell med \(xy\)-planet.
- Vis at \(\vec{r}_1'(t) \perp \vec{r}_1''(t)\) for alle \(t\).
Definisjon
La \(\vec{r}\) være posisjonsvektoren til en romkurve, der \(\vec{r}'(t)\) og \(\vec{r}''(t)\) ikke er parallelle for noen verdier av \(t\). Da kan vi til hvert punkt på kurven lage et plan som tangerer kurven i punktet, og som inneholder \(\vec{r}'(t)\) og \(\vec{r}''(t)\). Dette planet kaller vi for kurvens smygplan i punktet.
Oppgave
- Vis at vinkelen mellom smygplanet og \(y\)-aksen alltid er den samme for kurven \(C\). Bestem denne vinkelen.
En annen kurve er grafen til vektorfunksjonen \(\vec{r}_2\) gitt ved
\[\vec{r}_2(t) = [\sin t,\ t,\ 2\sin t + 1]
\]
Oppgave
- Undersøk smygplanet til denne kurven for ulike verdier av \(t\). Gi en tolkning av det du har funnet i undersøkelsene dine.