Løsningsforslag R2 eksamen V2024

Oppgave 2-6

S (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{1} \cdot {(\int_{0}^{x} e^{- t} d t)}^{n}

Jeg ser at jeg kan bestemme integralet, så jeg begynner med det

\int_{0}^{x} e^{- t} d t = {[- e^{- t}]}_{0}^{x} = - e^{- x} - (- e^{0}) = 1 - e^{- x} = 1 - \frac{1}{e^{x}}

Jeg ser også at rekka er geometrisk med første ledd $a_{1}$ og kvotient $k (x) = 1 - \frac{1}{e^{x}}$ .

Geometriske rekker er konvergente dersom $- 1 < k < 1$ .

Jeg ser at

lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{e^{x}}) = 1 - 0 = 1

Jeg undersøker om $k (x) > - 1$ ved å sette opp likningen

\begin{aligned} k (x) & > - 1 \\ 1 - \frac{1}{e^{x}} & > - 1 \\ - \frac{1}{e^{x}} & > - 2 \\ \frac{1}{2} & < e^{x} \\ x & > \ln (\frac{1}{2}) \\ x & > \ln 1 - \ln 2 \\ x & > - \ln 2 \end{aligned}

Konvergensområdet til rekka er altså $- \ln 2 < x < \infty$ .

$k (x)$ er strengt voksende, så vi bør få den minste summen når $x$ nærmer seg $- \ln 2$ fra den positive siden.

Hvis vi lar $x = - \ln 2$ så får vi

S (x) = a_{1} \cdot e^{x} ⟺ 1 = a_{1} \cdot e^{- \ln 2} ⟺ \frac{1}{a_{1}} = 2^{- 1} ⟺ a_{1} = 2

Men løsningen $a_{1} = 2$ stemmer selvsagt ikke siden $- \ln 2$ ikke ligger i konvergensområdet. Kanskje løsningen på denne oppgaven dermed er

a_{1} = lim_{b \to 2^{-}} b

Morsom løsning

«Verdien» $a_{1} = e^{- x}$ vil gi

$S (x) = a_{1} \cdot e^{x} = e^{- x} \cdot e^{x} = 1$