Løsningsforslag R1 eksamen H2023

Oppgave 1-1

Bruker produktregelen for derivasjon.

\begin{aligned} f (x) & = x^{2} \cdot \ln (x) \\ f^{'} (x) & = 2 x \cdot \ln (x) + x^{2} \cdot \frac{1}{x} \\ f^{'} (x) & = 2 x \ln (x) + x \\ f^{'} (x) & = x (2 \ln (x) + 1) \end{aligned}

Oppgave 1-2

Jeg prøver å skrive om de ulike uttrykkene.

2 \ln e^{3} = 2 \cdot 3 \ln e = 6 \cdot 1 = 6

3 \lg 70 = 3 \log (7 \cdot 10) = 3 (\log 7 + \log 10) = 3 (\log 7 + 1) = 3 \log 7 + 3

e^{3 \ln 2} = {(e^{\ln 2})}^{3} = 2^{3} = 8

Jeg vet at $\log 10 = 1$ og $\log 1 = 0$ , derfor må

0 < \log 7 < 1 ⟺ 0 < 3 \log 7 < 3

Uttrykk nummer 2 er må altså være mindre enn 6.

Rekkefølgen på uttrykkene er $3 \lg 70$ , $2 \ln e^{3}$ , $e^{3 \ln 2}$ .

Oppgave 1-3

1-3a

Jeg definerer vektorene

\begin{array}{r} \vec{A B} = [2 - (- 3), - 2 - (- 1)] = [5, - 1] \\ \vec{B C} = [5 - 2, 2 - (- 2)] = [3, 4] \\ \vec{A C} = [5 - (- 3), 2 - (- 1)] = [8, 3] \end{array}

Lengden av vektorene er da gitt ved:

\begin{aligned} | \vec{A B} | & = \sqrt{5^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{26} \\ | \vec{B C} | & = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5 \\ | \vec{A C} | & = \sqrt{8^{2} + 3^{2}} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \end{aligned}

Side $B C$ er kortest.

1-3b

Vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er $90 °$ hvis og bare hvis $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ .

Beregner skalarproduktet mellom vektorene

\begin{aligned} \vec{A B} \cdot \vec{B C} & = 5 \cdot 3 + (- 1) \cdot 4 = 15 - 4 = 11 \\ \vec{A B} \cdot \vec{A C} & = 5 \cdot 8 + (- 1) \cdot 3 = 40 - 3 = 37 \\ \vec{B C} \cdot \vec{A C} & = 3 \cdot 8 + 4 \cdot 3 = 36 \end{aligned}

Ingen av vinklene er $90 °$ .

Oppgave 1-4

1-4a

Egil har forsøkt å sjekke når den deriverte skifter fortegn. Han vet tydeligvis at siden $f$ har positiv koeffisient foran $x^{2}$ -leddet så vil andregradsfunksjonen ha et bunnpunkt. Han sjekker derfor den deriverte i punkter langs $x$ -aksen helt til den deriverte blir positiv eller null.

1-4b

Problemet til Egil er at han kun sjekker den deriverte i heltallsverdier for $x$ . Hvis vi endrer linja a = a + 1 til for eksempel a = a + 0.001 tar vi mye mindre steg i $x$ -retningen og får et ganske nøyaktig svar.

def f(x):
    return 2*x**2 - 9*x - 2

def df(x,h):
    return (f(x+h) - f(x))/h

h = 0.001
a = 0

while df(a,h) < 0:
    a = a + 0.001
print("Bunnpunktet er", (a, f(a)))