Løsningsforslag S1 eksamen V2024

Oppgave 2-3

Passordet må ha 6 tegn
Kun store og små bokstaver
Minst 1 stor bokstav
Minst 1 liten bokstav

2-3a

Det er 29 små bokstaver og 29 store bokstaver, dette gir i utgangspunktet 58 ulike muligheter for hver av de 6 tegnene i passordet. Dersom vi ikke hadde hatt kravene om minst 1 liten og stor bokstav ville antallet kombinasjoner derfor ha vært $58^{6}$ .

Siden vi må minst ha 1 liten bokstav så kan vi ta bort de kombinasjonene som bare bruker store bokstaver ( $29^{6}$ ) og de som bare bruker små bokstaver ( $29^{6}$ ). Til sammen har vi da

58^{6} - 29^{6} - 29^{6} = 58^{6} - 2 \cdot 29^{6} = 36 879 045 902

Det er 36,9 milliarder ulike passordet ifølge dette regelsettet.

2-3b

Det finnes fremdeles 29 ulike store bokstaver, 29 ulike små bokstaver og det finnes 10 ulike siffer.

Hvis rekkefølgen ikke hadde spilt noen rolle ville vi fått $29^{2} \cdot 29^{2} \cdot 10^{2} = 70 728 100$ kombinasjoner.

Rekkefølgen på de ulike tegnene spiller en rolle, siden vi har 6 tegn («ledige plasser») og skal plassere 3 $\times$ 2 ulike typer tegn så kan vi finne antallet permutasjoner med

\frac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{720}{8} = 90

Det finnes altså $70 728 100 \cdot 90 = 6 365 529 000$ ulike passord.

Det finnes omtrent 6 ganger så mange mulige passord med regelsett 1 som med regelsett 2. Regelsett 2 vil derfor sannsynligvis gjøre sikkerheten en god del dårligere enn regelsett 1.

Om passordsikkerheten ved bruk av disse reglene

Selv om regelsett 1 er sikrere enn regelsett 2 betyr ikke det at det er et godt regelsett. Begge disse regelsettene vil være svært vanskelig å knekke ved manuell prøving og feiling, og svært enkle å knekke med «brute force»-metoder. Hvis en hacker hadde kjent til reglene på regelsett 1 ville hen nok først ha forsøkt alle passord som starter med 1 stor bokstav etterfulgt av 5 små bokstaver, det gir kun $29^{6} = 94 823 321$ ulike passord.

Alternativ måte å finne antallet permutasjoner

Vi kan bruke binomialkoeffisienter til å bestemme antallet permutasjoner.

Vi vet at de to store bokstavene kan velge mellom 6 ulike ledige plasser.
Vi vet at de to små bokstavene kan velge mellom de 4 gjenværende ledige plassene
Sifrene må ta de siste to plassene

Antall permutasjoner = (\binom{6}{2}) (\binom{4}{2}) (\binom{2}{2}) = 15 \cdot 6 \cdot 1 = 90