Løsningsforslag S2 eksempelsett 2022

Oppgave 1-1

1-1a

\int_{0}^{1} 4 x^{2} + 3 d x = {[\frac{4}{3} x^{3} + 3 x]}_{0}^{1} = \frac{4}{3} + 3 \cdot 1 - 0 = \frac{4}{3} + \frac{9}{3} = \underset{―}{\underset{―}{\frac{13}{3}}}

1-1b

\begin{array}{r} \int 4 x \sqrt{x^{2} + 2} d x, u = x^{2} + 2 ⟹ \frac{d u}{d x} = 2 x ⟺ d u = 2 x d x \\ \int 2 \sqrt{u} d u = 2 \int u^{\frac{1}{2}} d x = 2 \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{4}{3} (x^{2} + 2) + C^{'} \end{array}

Oppgave 1-3

1-3

Om oppgaveteksten

Denne oppgaven finnes i to ulike varianter (sannsynligvis på grunn av en skrivefeil i løsningsforslag eller oppgavesettet. Den ene varianten sier at summen av de tre første leddene er 38/9, mens den andre varianten sier at summen av de seks første leddene er 38/9. Løsningsmetoden min vil fungere uansett hvilken variant man tenker seg, men det er nok lurt å heller formel for sum av geometrisk rekke ( $s_{n} = a_{1} \frac{k^{n} - 1}{k - 1}$ ) enn min framgangsmåte dersom man får oppgitt summen av et høyt antall ledd. Min metode er enkel når du bare trenger å tenke på 3 ledd, men skal du ta hensyn til 100 så må du regne mye!

Oppgavetekst

Summen av en uendelig geometrisk rekke konvergerer mot 6.

Sum av tre første ledd er 38/9

Hva er sum av de fire første?

Løsningsforslag

Jeg kaller første ledd i rekka for $x$ . Vet da at de tre første leddene må være:

x + x k + x k^{2} = \frac{38}{9}

Som kan faktoriseres til

x (1 + k + k^{2}) = \frac{38}{9}

Summen for uendelig geometrisk rekke gir:

\frac{x}{1 - k} = 6

Løser den likningen for $x$ og setter inn i uttrykket for sum av 3 første ledd

x = 6 (1 - k)

6 (1 - k) (1 + k + k^{2}) = \frac{38}{9}

(1 - k) (1 + k + k^{2}) = \frac{38}{9 \cdot 6} = \frac{38}{54} = \frac{19}{27}

1 + k + k^{2} - k - k^{2} - k^{3} = \frac{19}{27}

1 - k^{3} = \frac{19}{27}

k^{3} = 1 - \frac{19}{27} = \frac{8}{27} \Rightarrow \underset{―}{k = \frac{2}{3}}

Vi har nå funnet $k$ og kan enkelt finne $x$ :

x = 6 (1 - k) = 6 (1 - \frac{2}{3}) = 6 \frac{1}{3} = 2

Ledd 4 må være:

x k^{3} = 2 \cdot \frac{8}{27} = \frac{16}{27}

Summen av de fire første leddene blir da summen av de tre første pluss dette fjerde leddet

\frac{38}{9} + \frac{16}{27} = \frac{114}{27} + \frac{16}{27} = \frac{130}{27}

Summen av fire første ledd er

\underset{―}{\underset{―}{\frac{130}{27}}}

Alternativ løsning

Fra formel for sum av uendelig geometrisk rekke vet vi at

\frac{a_{1}}{1 - k} = 6

Samtidig kan sum av de tre første leddene uttrykkes som

\frac{38}{9} = a_{1} \cdot \frac{k^{3} - 1}{k - 1}

Vi har altså to likninger og to ukjente, $a_{1}$ og $k$ .

Vi kan løse den første likningen for $a_{1}$ og sette inn i den andre likningen

a_{1} = 6 (1 - k)

\frac{38}{9} = 6 (1 - k) \cdot \frac{k^{3} - 1}{k - 1} = 6 \cdot \frac{(k^{3} - 1) (1 - k)}{k - 1}

Siden $(1 - k) = (- 1) \cdot (k - 1)$ så bytter jeg ut denne faktoren i telleren for å kunne forkorte brøken på høyre side. Samtidig deler jeg på 6 på begge sider.

\frac{38}{54} = \frac{(k^{3} - 1) (- 1) (k - 1)}{(k - 1)} = (k^{3} - 1) (- 1) = 1 - k^{3}

Vi kan nå løse likningen

\begin{aligned} \frac{38}{54} & = 1 - k^{3} \\ k^{3} & = 1 - \frac{38}{54} = \frac{16}{54} = \frac{8}{27} \\ k & = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3} \end{aligned}

Når vi endelig har $k$ så kan vi finne $a_{1}$ med

a_{1} = 6 (1 - k) = 6 (1 - \frac{2}{3}) = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2

Og til slutt kan vi finne summen av de fire første leddene med sumformelen

s_{4} = a_{1} \cdot \frac{k^{4} - 1}{k - 1} = 2 \cdot \frac{{(\frac{2}{3})}^{4} - 1}{(\frac{2}{3}) - 1} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{81} - 1}{\frac{2}{3} - 1} = 2 \cdot \frac{- \frac{65}{81}}{- \frac{1}{3}} = 2 \cdot \frac{\frac{65}{81}}{\frac{27}{81}} = \frac{130}{27}

Summen av de fire første leddene er

\underset{―}{\underset{―}{\frac{130}{27}}}

Oppgave 1-4

1-4a

Summen av sannsynlighetene for alle utfallene skal være 1. Vi har dermed at

\begin{aligned} 0, 2 + k + 2 k + 5 k & = 1 \\ 8 k & = 0, 8 \\ k & = 0, 1 \end{aligned}

Forventningsverdien er gitt ved

\sum x \cdot P (X = x) = 0 + 1 \cdot 0, 1 + 2 \cdot 0, 2 + 3 \cdot 0, 5 = 2, 0

$k$ må være lik 0,1 og forventningsverdien $E (X) = 2$ .

1-4b

Variansen til $X$ er gitt ved

V a r (X) = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - μ)^{2} \cdot P (X = x)

Dette er enklest å regne ut ved å bruke sannsynlighetsfordelingen:

$x$	0	1	2	3
$P (X = x)$	$0, 2$	$0, 1$	$0, 2$	$0, 5$
$(x_{i} - μ)^{2}$	$(0 - 2)^{2} = 4$	$(1 - 2)^{2} = 1$	$(2 - 2)^{2} = 0$	$(3 - 2)^{2} = 1$
$(x_{i} - μ)^{2} \cdot P (X = x)$	$4 \cdot 0, 2 = 0, 8$	$1 \cdot 0, 1 = 0, 1$	$0$	$1 \cdot 0, 5 = 0, 5$

Summen av kvadratavvikene er 1,4.

Variansen $\underset{―}{\underset{―}{Var (X) = 1, 4}}$ .

Oppgave 2-2

2-2a

Siden $f (t) = 0$ når $t \leq 0$ så vil

\int_{- \infty}^{0} f (t) d t = 0

Vi trenger derfor kun å bry oss tilfellet hvor $t > 0$ .

Vi vet at et krav til sannsynlighetsfordelinger er at summen av alle sannsynlighetene skal bli 1. For kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger har vi altså

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 1

I vårt tilfelle ønsker vi altså å bestemme $k$ slik at den tilfredsstiller likningen

\int_{0}^{\infty} k \cdot e^{- 0,005 t} d t = 1

Vi kan løse denne i GeoGebra eller vi kan integrere for hånd:

\begin{aligned} {[\frac{k}{- 0.005} \cdot e^{- 0.005 t}]}_{0}^{\infty} & = 1 \\ (\frac{k}{- 0.005} \cdot 0) - (\frac{k}{- 0.005} \cdot 1) & = 1 \\ \frac{- k}{- 0.005} & = 1 \\ k & = 0.005 \end{aligned}

Jeg har vist at $k = 0,005$

2-2b

Jeg kan bruke integralet av tetthetsfunksjonen til å beregne sannsynligheten. Sannsynligheten for at lyspæras levetid er mellom 0 og 400 timer er gitt ved

\int_{0}^{400} 0,005 \cdot e^{- 0,005 t} d t = 1 - \frac{1}{e^{2}}

Siden summen av sannsynlighetene for alle utfallene er 1 så kan vi finne sannsynligheten for at lyspæra varer mellom 400 og uendelig timer ved å ta

1 - (1 - \frac{1}{e^{2}}) = \frac{1}{e^{2}}

Sannsynligheten for at lyspæras levetid er mer enn 400 timer er $\frac{1}{e^{2}} \approx 0,135$ .

2-2c

Jeg bruker uttrykket for forventningsverdi som står i oppgaveteksten og beregner ved hjelp av GeoGebra:

μ_{T} = \int_{0}^{\infty} t \cdot 0,005 \cdot e^{- 0,005 t} d t = 200

Forventningsverdien for $T$ er $μ_{T} = 200$ timer.

Oppgave 2-6

2-6

Her kommer tekst

import numpy as np
import random

n_x = 323
n_y = 301
mu_x = 168
mu_y = 180
s_x = 6
s_y = 8
grense = 175
antall_simuleringer = 10000

antall_gunstige = 0

# trekk antall_simuleringer elever
for i in range(antall_simuleringer):
    # Vi trekker en tilfeldig elev, men vi må finne ut om
    # eleven er gutt eller jente.
    # Det er 301 gutter. Hvis vi trekker et tilfeldig tall mellom
    # 1 og 301+323=624 så kan vi si at dersom tallet er mindre enn
    # eller lik 301, så er det en gutt.
    if (random.randint(1, n_x + n_y) <= n_y):
        # Her har vi altså trukket en gutt og vi trekker en tilfeldig gutt
        # fra en normalfordeling
        hoyde = np.random.normal(mu_y, s_y)
    else:
        # ellers har vi trukket ei jente
        hoyde = np.random.normal(mu_x, s_x)

    if (hoyde > grense):
        antall_gunstige += 1

print(f"Sannsynligheten for å trekke en tilfeldig eleve over 175 cm er "
      f"estimert til {(antall_gunstige / antall_simuleringer) * 100:.1f} "
      f"med {antall_simuleringer} simuleringer")