Summen av repeterende brøker

Oppgaven er hentet fra Sinus S2 lærebok.

Finn summen.

(1 - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{6}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{7}) + \dots + (\frac{1}{996} - \frac{1}{1000})

Tips

For å løse oppgaven for hånd bør du skrive opp noen flere ledd enn hva du ser foreløpig. Se etter muligheter til å forkorte bort ledd.

Fasit

Løsning med CAS
Vi kan lage en eksplisitt formel for ledd nr. $i$ på denne måten:
$a_{i} = (\frac{1}{i} - \frac{1}{i + 4})$
Vi kan finne summen av denne rekka fra $i = 1$ til $i = 996$ ved hjelp av CAS: Sum(((1)/(i))-((1)/(i+4)),i,1,996)

Løsning for hånd
Vi kan fortsette rekka og legge til et par ekstra ledd. Da vil vi se at enkelte ledd kan strykes mot hverandre, og den resulterende rekka vil bli mye enklere.

\begin{aligned} (1 - \frac{1}{5}) & + (\frac{1}{2} - \frac{1}{6}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{9}) + \dots + (\frac{1}{996} - \frac{1}{1000}) \\ (1 - \frac{1}{5}) & + (\frac{1}{2} - \frac{1}{6}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{9}) + \dots + (\frac{1}{996} - \frac{1}{1000}) \\ 1 & + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{997} - \frac{1}{998} - \frac{1}{999} - \frac{1}{1000} \end{aligned}

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i S2.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Rekker

Oppgave19	Fag	År	Oppg
Sum av integralrekke	R2	V24	2-6
Ukjent program del 1 S2	S2	V23	1-4
Ukjent program S2 v24	S2	V24	1-3
Uendelig rekke med virkestoff fra legemiddel	S2	V23	1-4
Uendelig logaritmisk rekke	S2, R2	Ingen	2-2.158
Uendelig geometrisk rekke	S2	H23	1-2a
Summen av ukjent uendelig geometrisk rekke	S2	E22	1-3
Rekursiv sammenheng mellom pentagontall	S2	H23	2-4
Påstand om sum av rekke	S2	H24	2-3a
Påstand om områder avgrenset av grafer	S2	H24	2-3b
Olivias annuitetslån	S2	V24	2-3
Miriam og Hermods sparing	S2	H23	2-2
Idas jakke	S2	H22	1-5
Hildegunns ukepenger	S2, R2	V23	2-4
Begrunn at uendelig rekke konvergerer	S2	H22	1-2
Aritmetiske og geometriske rekker h24	S2	H24	1-2
Aritmetisk mur	S2	E22	1-2
Annuitetslån	S2	V23	2-1
Aritmetisk rekke	S2	H23	1-2b