Uendelig logaritmisk rekke

Oppgaven er hentet fra Sinus S2 lærebok.

I en uendelig geometrisk følge $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}$ er både $a_{1}$ og kvotienten $k$ positive.

Vi danner en ny følge $b_{n}$ ved å la $b_{n} = \ln a_{n}$ .

a) Vis at følgen $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots$ er aritmetisk. Hva er differansen i følgen?
b) Gjelder det samme dersom $a_{1}$ eller $k$ ikke er positive?

Vi ser nå kun på de følgene $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ som er slik at

\sum_{i = 1}^{\infty} a_{i} = 1

c) Bestem $k$ uttrykt ved $n$ når summen $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots$ skal være størst mulig.

Fasit

a) $\ln k$
b) Nei, da ville mange av leddene vært negative og $\ln x$ er kun definert for $x > 0$ .
c) $k = \frac{n - 1}{n + 1}$

Løsningsforslag oppgave c

Vi vet at $0 < k < 1$ for at den uendelige rekka $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots$ skal gi en endelig sum, og leddene i følgen $b_{1}, b_{2}, \dots$ skal være definert. Tillegg vet jeg at

\begin{aligned} s & = 1 \\ \frac{a_{1}}{1 - k} & = 1 \\ a_{1} & = 1 - k \end{aligned}

Hvert ledd i den geometriske rekka er gitt ved

a_{i} = a_{1} \cdot k^{i - 1}

Leddene i den aritmetiske rekka blir altså

\begin{aligned} b_{i} & = \ln (a_{1} \cdot k^{i - 1}) \\ b_{i} & = \ln (a_{1}) + \ln (k^{i - 1}) \\ b_{i} & = \ln (a_{1}) + (i - 1) \ln k \end{aligned}

La oss anse summen av rekka som en funksjon av $k$ . Vi kan maksimere denne funksjonen, $s_{n} (k)$ , ved å derivere den og sette lik 0. Vi finner derfor først et uttrykk for summen av rekka $s_{n} (k)$

\begin{aligned} s_{n} (k) & = \sum_{i = 1}^{n} b_{i} \\ s_{n} (k) & = \sum_{i = 1}^{n} (\ln a_{1} + (i - 1) \ln k) \\ s_{n} (k) & = \sum_{i = 1}^{n} \ln a_{1} + \sum_{i = 1}^{n} (i - 1) \ln k \\ s_{n} (k) & = n \cdot \ln a_{1} + \ln k \cdot \sum_{i = 1}^{n} (i - 1) \end{aligned}

Vi kjenner igjen $\sum_{i = 1}^{n} (i - 1)$ som en aritmetisk rekke med første ledd lik 0 og siste ledd lik $n - 1$ , vi kan derfor bruke formelen for sum av aritmetisk rekke. Vi kan også erstatte $a_{1}$ med $1 - k$ .

\begin{aligned} s_{n} (k) & = n \cdot \ln a_{1} + \ln k \cdot \frac{0 + (n - 1)}{2} \cdot n \\ s_{n} (k) & = n \cdot \ln a_{1} + \frac{\ln k}{2} \cdot (n^{2} - n) \\ s_{n} (k) & = n \cdot \ln (1 - k) + \frac{\ln k}{2} \cdot (n^{2} - n) \end{aligned}

Nå kan vi derivere med hensyn på $k$

\begin{aligned} s_{n}^{'} (k) & = n \cdot \underset{K j e r n e r e g e l}{\frac{1}{1 - k} \cdot (- 1)} + \frac{1}{2} \frac{1}{k} (n^{2} - n) \\ s_{n}^{'} (k) & = - \frac{n}{1 - k} + \frac{1}{2 k} (n^{2} - n) \end{aligned}

Vi setter uttrykket for den deriverte lik null for å finne en minimums- eller maksimumsverdi.

- \frac{n}{1 - k} + \frac{1}{2 k} (n^{2} - n) = 0

Vi ganger med fellesnevneren $(1 - k) (2 k)$ for å forenkle uttrykket

\begin{aligned} \frac{- n (1 - k) (2 k)}{1 - k} + \frac{(1 - k) (2 k)}{2 k} (n^{2} - n) & = 0 \\ - 2 n k + (1 - k) (n^{2} - n) & = 0 \\ - 2 n k + n^{2} - n - n^{2} k + n k & = 0 \\ - 2 n k - n^{2} k + n k & = - n^{2} + n \\ - 2 k - n k + k & = - n + 1 \\ k (- 2 - n + 1) & = - n + 1 \\ k (- n - 1) & = - n + 1 \\ k & = \frac{- n + 1}{- n - 1} \\ k & = \frac{n - 1}{n + 1} \end{aligned}

Vi har funnet en verdi for $k$ som gir et stasjonært punkt for summen $s_{n} (k)$ , men vi vet enda ikke om denne verdien gir et minimum, et maksimum eller et terrassepunkt. Vi gjennomfører en andrederiverttest ved å først dobbeltderivere

\begin{aligned} s_{n}^{″} (k) & = {(- \frac{n}{1 - k})}^{'} + {(\frac{1}{2 k} \cdot (n^{2} - n))}^{'} \\ s_{n}^{″} (k) & = n (\frac{1}{(1 - k)^{2}} \cdot (- 1)) - (\frac{1}{2 k^{2}} (n^{2} - n)) \\ s_{n}^{″} (k) & = - \frac{n}{(1 - k)^{2}} - \frac{n^{2} - n}{2 k^{2}} \end{aligned}

Hvis $s_{n}^{″} (k)$ er negativ for $k = \frac{n - 1}{n + 1}$ så er $s_{n} (k)$ konkav, og vår verdi for $k$ må være et toppunkt som gir en maksimumsverdi for summen. Vi setter inn for $k$ og analyserer.

\begin{array}{r} - \frac{n}{{(1 - \frac{n - 1}{n + 1})}^{2}} - \frac{n^{2} - n}{2 {(\frac{n - 1}{n + 1})}^{2}} \\ \frac{- n}{{(1 - \frac{n - 1}{n + 1})}^{2}} + \frac{- (n^{2} - n)}{2 {(\frac{n - 1}{n + 1})}^{2}} \end{array}

Det første leddet må være negativt siden $n$ er et positivt heltall. Det gjør at telleren i det første leddet er negativ, samtidig som nevneren alltid vil være positiv siden uttrykket i nevneren skal kvadreres.

Det andre leddet vil alltid være enten 0 (når $n = 1$ ) eller negativt. Telleren i det andre leddet er 0 når $n = 1$ og negativt så lenge $n \geq 1$ siden $n^{2} \geq n$ . Nevneren i det andre leddet må alltid være positiv på grunn av kvadreringen.

Vi har altså enten to negative ledd, eller ett negativt ledd og et null-ledd, og summen av disse må være negativ. $s_{n} (k)$ er derfor konkav og $k = \frac{n - 1}{(n + 1)}$ må gi en maksimumsverdi.

Vi har vist at

\underset{―}{\underset{―}{k = \frac{n - 1}{n + 1}}}

maksimerer summen av

\sum_{i = 1}^{n} b_{i} = \sum_{i = 1}^{n} \ln a_{i}

når summen $\sum_{i = 1}^{\infty} a_{i} = 1$ .

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i S2, R2.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Rekker

Oppgave19	Fag	År	Oppg
Sum av integralrekke	R2	V24	2-6
Ukjent program del 1 S2	S2	V23	1-4
Ukjent program S2 v24	S2	V24	1-3
Uendelig rekke med virkestoff fra legemiddel	S2	V23	1-4
Uendelig geometrisk rekke	S2	H23	1-2a
Summen av ukjent uendelig geometrisk rekke	S2	E22	1-3
Summen av repeterende brøker	S2	Ingen	Ingen
Rekursiv sammenheng mellom pentagontall	S2	H23	2-4
Påstand om sum av rekke	S2	H24	2-3a
Påstand om områder avgrenset av grafer	S2	H24	2-3b
Olivias annuitetslån	S2	V24	2-3
Miriam og Hermods sparing	S2	H23	2-2
Idas jakke	S2	H22	1-5
Hildegunns ukepenger	S2, R2	V23	2-4
Begrunn at uendelig rekke konvergerer	S2	H22	1-2
Aritmetiske og geometriske rekker h24	S2	H24	1-2
Aritmetisk mur	S2	E22	1-2
Annuitetslån	S2	V23	2-1
Aritmetisk rekke	S2	H23	1-2b

Uendelig rekke

Oppgave6	Fag	År	Oppg
Sum av integralrekke	R2	V24	2-6
Uendelig rekke med virkestoff fra legemiddel	S2	V23	1-4
Uendelig geometrisk rekke	S2	H23	1-2a
Påstand om sum av rekke	S2	H24	2-3a
Påstand om områder avgrenset av grafer	S2	H24	2-3b
Aritmetiske og geometriske rekker h24	S2	H24	1-2