Dette løsningsforslaget er skrevet av Claude. Meld gjerne ifra om feil enten direkte til Ståle eller via forumet på matematikk.net.

Del 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1-1

Sofie brukte 4 timer og 30 minutter = $4, 5 timer$ .

s = v \cdot t = 80 \cdot 4, 5 = 360

Strekningen er $\underset{―}{\underset{―}{360 km}}$ .

Oppgave 1-2

Prisen på 200 kroner inkluderer merverdiavgiften. Prisen uten avgift finner vi slik:

\frac{200}{1, 25} = 160 kr

Merverdiavgiften er da:

200 - 160 = 40

Lukas betalte $\underset{―}{\underset{―}{40 kr}}$ i merverdiavgift.

Oppgave 1-3

En støvpartikkel veier $0,000 000 005 g = 5 \cdot 10^{- 9} g$ .

Antall = \frac{20}{5 \cdot 10^{- 9}} = \frac{2 \cdot 10^{1}}{5 \cdot 10^{- 9}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{10^{1}}{10^{- 9}} = \frac{20}{5} \cdot \frac{1}{10^{- 9}} = 4 \cdot 10^{9}

Det er $\underset{―}{\underset{―}{4 \cdot 10^{9}}}$ støvpartikler i 20 gram støv (4 milliarder partikler).

Oppgave 1-4

1-4a

Grunnflaten er et kvadrat med side $s$ , og høyden er $h = s$ .

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot s^{2} \cdot s = \frac{s^{3}}{3}

Setter inn $V = 9 {dm}^{3}$ :

\frac{s^{3}}{3} = 9 ⟹ s^{3} = 27 ⟹ s = 3

Siden høyden er lik sidekanten, er $h = s = 3$ .

Pyramiden er $\underset{―}{\underset{―}{3 dm}}$ høy.

1-4b

For at høyde og volum skal være proporsjonale, må forholdet $V / h$ være konstant.

Uttrykket for volum er $V = \frac{h^{3}}{3}$ , så

\frac{V}{h} = \frac{h^{3} / 3}{h} = \frac{h^{2}}{3}

Dette avhenger av $h$ og er ikke konstant. Vi kan verifisere med noen verdier:

$h$ (dm)	$V = h^{3} / 3$ (dm³)	$V / h$
1	$0, 33$	$0, 33$
2	$2, 67$	$1, 33$
3	$9, 00$	$3, 00$

Påstanden er feil. Høyde og volum er ikke proporsjonale fordi forholdet $V / h$ ikke er konstant.

Oppgave 1-5

1-5a

Fra grafen leser vi av stigningstallet til hver linje. Begge linjer går gjennom origo.

Den grønne linjen (Nora) går gjennom punktet $(10, 2000)$ :

Timelønnen til Nora = \frac{2000}{10} = 200 kr / t

Den blå linjen (Nils) går gjennom punktet $(10, 1800)$ :

Timelønnen til Nils = \frac{1800}{10} = 180 kr / t

Noras timelønn er $\underset{―}{\underset{―}{200 kr / t}}$ og Nils' timelønn er $\underset{―}{\underset{―}{180 kr / t}}$ .

1-5b

La $t$ være antall timer de arbeidet. Da tjente Nora $200 t$ kroner og Nils $180 t$ kroner.

200 t - 180 t = 720

20 t = 720

t = 36

De arbeidet $\underset{―}{\underset{―}{36 timer}}$ hver.

Oppgave 1-6

1-6a

Prisen per busstur er $\frac{1200}{x}$ der $x$ er antall turer.

Antall bussturer	4	8	20	30
Pris per busstur	$300 kr$	$150 kr$	$60 kr$	$40 kr$

1-6b

Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom antall bussturer og prisen per busstur. Funksjonen er $f (x) = \frac{1200}{x}$ .

Graf: pris per tur

1-6c

En enkeltbillett koster 80 kroner. Vi tegner en horisontal linje ved $y = 80$ i samme koordinatsystem og finner skjæringen med $f$ , se punkt $P$ i skjermbildet.

Månedskortet koster altså 80 kr per tur dersom man tar 15 turer.

Det lønner seg å kjøpe 30-dagersbillett dersom Siri tar bussen $\underset{―}{\underset{―}{16 ganger}}$ eller mer.

Oppgave 1-7

1-6

Variabelen tall inneholder antall sirkler i et femkanttall slik tall utvikler seg slik tabellen viser.

$n$	tall	differanse
1	1	4
2	5	7
3	12	10
4	22	13
5	35	16
6	51	19
7	70	22

Tallene 1, 5, 12, 22, 35, 51 og 70 skrives ut av programmet.

Siri har oppdaget at antallet nye sirkler i femkanttalene (de som er tegnet oppe mot høyre i figuren) øker med 3 for hvert femkanttall.

Del 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 2-1

KI-løsning

Denne løsningen er skrevet av KI. Løsningen ser riktig ut, men jeg har lyst til å endre på fremgangsmåten slik at det passer bedre med hvordan vi vanligvis løser slike oppgaver i norsk videregående skole.

2-1a

Vi bruker potensregresjon for å finne $a$ og $b$ i $F (x) = a \cdot x^{b}$ .

Regresjon i GeoGebra gir:

\underset{―}{\underset{―}{a \approx 0,009 66 og b \approx 3, 00}}

Modellen er dermed tilnærmet

F (x) \approx 0,009 66 \cdot x^{3}

Graf for F(x)

2-1b

Vi løser likningen $F (x) = 11 500$ :

0,009 66 \cdot x^{3} = 11 500

GeoGebra CAS løsning for oppgave 2-1b

Ifølge modellen er en fisk som veier $11, 5 kg$ omtrent $\underset{―}{\underset{―}{106 cm}}$ lang.

2-1c

Vi beregner $F (75)$ og $F (95)$ :

F (75) = 0,009 66 \cdot 75^{3} \approx 4075 g

F (95) = 0,009 66 \cdot 95^{3} \approx 8282 g

Stigningstallet til linjen gjennom $(75, F (75))$ og $(95, F (95))$ :

a = \frac{F (95) - F (75)}{95 - 75} = \frac{8282 - 4075}{20} \approx 210

Stigningstallet er $\underset{―}{\underset{―}{\approx 210 g / cm}}$ .

Dette betyr at for fisk med lengde mellom 75 og 95 cm vil vekten øke med cirka 210 gram for hver ekstra centimeter.

2-1d

Dersom lengden øker med 20 %, blir den nye lengden $1, 2 \cdot x$ . Da blir den nye vekten:

F (1, 2 x) = 0,009 66 \cdot (1, 2 x)^{3} = 0,009 66 \cdot 1, 2^{3} \cdot x^{3} = 1, 2^{3} \cdot F (x)

1, 2^{3} = 1,728

Prosentvis økning: $(1,728 - 1) \cdot 100 % = 72, 8 %$

Vekten vil øke med $\underset{―}{\underset{―}{72, 8 %}}$ dersom lengden øker med 20 %.

Oppgave 2-2

Vi analyserer hver situasjon og finner den grafen som passer best:

Situasjon A – Dyrebestand som avtar med fast prosent per år er eksponentiell nedgang. Det gir en jevnt avtagende kurve som flater ut mot $x$ -aksen. Dette passer til graf 4.

Situasjon B – Kostnad per person ved leie av badstue er omvendt proporsjonal: $Pris = \frac{k}{antall}$ . For få deltakere er prisen svært høy, og den faller bratt. Dette passer til graf 8 (starter svært høyt og avtar raskt).

Situasjon C – Fuglebestand som øker eksponentielt, deretter lineært og deretter stabiliserer seg. Det gir en kurve med tre faser: først akselererende vekst, så tilnærmet rett linje, så flat. Dette passer til graf 2 (S-formet kurve).

Situasjon D – Pakkepriser med tre vektintervaller gir en trappetrinnsfunksjon – konstant verdi i hvert intervall. Dette passer til graf 3.

Svar: A → graf 4, B → graf 8, C → graf 2, D → graf 3.

Oppgave 2-3

2-3a

Gjennomsnitt = \frac{57 000 000 000}{229 963} \approx 247 866 \approx 248 000

Hver person skylder i gjennomsnitt omtrent $\underset{―}{\underset{―}{248 000 kr}}$ .

2-3b

229 963 personer utgjør 4,8 % av befolkningen over 18 år. La $N$ være antall personer over 18 år:

0,048 \cdot N = 229 963

N = \frac{229 963}{0,048} \approx 4 791 000

Omtrent $\underset{―}{\underset{―}{4, 8 millioner}}$ nordmenn er over 18 år.

Oppgave 2-4

Synnøve kjøper 3 pund epler for 4,18 dollar. Vi regner om til norske kroner per kilogram:

Omregner fra pund til kilo:

3 lb = 3 \cdot 0,454 kg = 1,362 kg

Pris per kilogram i dollar:

\frac{4, 18 USD}{1,362 kg} \approx 3, 07 USD / kg

Omregner til norske kroner:

3, 07 \cdot 10, 16 \approx 31, 2

Ett kilogram epler kostet omtrent $\underset{―}{\underset{―}{31 kr / kg}}$ .

Oppgave 2-5

La den opprinnelige verdien av aksjen være 1. Etter at den gikk ned 23 %, er verdien:

1 - 0, 23 = 0, 77

For å komme tilbake til verdien 1 igjen, må vi gange med $\frac{1}{0, 77}$ :

\frac{1}{0, 77} = \frac{100}{77} \approx 1,298 7

Prosentvis økning som kreves:

\frac{1}{0, 77} - 1 = \frac{0, 23}{0, 77} = \frac{23}{77} \approx 0,298 7 \approx 29, 9 %

Verdien må øke med omtrent $\underset{―}{\underset{―}{29, 9 %}}$ .

OBS!

Det er ikke nok med 23 % oppgang, fordi 23 % beregnes av en lavere verdi etter nedgangen. Det kreves en litt større prosentvis økning for å veie opp for tapet.

Oppgave 2-6

2-6a

Én breddegrad er delt i 60 bueminutter, og hvert bueminutt tilsvarer én nautisk mil = 1852 m.

60 \cdot 1852 m = 111 120 m = 111, 12 km

Avstanden mellom hver breddegrad er $\underset{―}{\underset{―}{111, 12 km}}$ .

2-6b

En hel omdreining er $360 °$ :

Omkrets = 360 \cdot 111, 12 km = 40 003 km

Jordens omkrets er omtrent $\underset{―}{\underset{―}{40 000 km}}$ .

2-6c

Breddegradsforskjellen mellom Oslo og Trondheim:

63, 4 ° - 59, 9 ° = 3, 5 °

Avstand:

3, 5 \cdot 111, 12 \approx 388, 9 km

Prosentandel av jordens omkrets:

\frac{388, 9}{40 003} \cdot 100 % \approx 0, 97 %

Avstanden mellom Oslo og Trondheim utgjør omtrent $\underset{―}{\underset{―}{0, 97 %}}$ av jordens omkrets.

Oppgave 2-7

KI-løsning

2-7a

Blomsterbedet har to sider av lengde $y$ (de to langsidene), én rett ende med lengde $x$ , og én halvsirkel med diameter $x$ (radius $r = x / 2$ ).

De tre rette sidene vil ha lengde $y + x + y$ .

Halvsirkelen har omkretsen til en halvsirkel med radius $\frac{x}{2}$ . Omkretsen til en hel sirkel er $2 π r$ , og da blir omkretsen til en halvsirkel $π r$ . Lengden av vår halvsirkel er

π \cdot r = π \cdot \frac{x}{2} = \frac{π x}{2}

Dermed er den totale omkretsen:

O = y + x + y + \frac{π x}{2} = \underset{―}{\underset{―}{2 y + x + \frac{π x}{2}}}

2-7b

Setter inn $x = 1$ og $O = 12$ :

12 = 2 y + 1 + \frac{π \cdot 1}{2}

2 y = 12 - 1 - \frac{π}{2} = 11 - \frac{π}{2} \approx 11 - 1,571 = 9,429

y \approx 4, 71 \approx 4, 7

Når $x = 1$ , er $y \approx \underset{―}{\underset{―}{4, 7 m}}$ .

2-7c

Arealet består av et rektangel og en halvsirkel:

A = x \cdot y + \frac{π r^{2}}{2} = 1 \cdot 4, 7 + \frac{π \cdot (0, 5)^{2}}{2} = 4, 7 + \frac{π}{8} \approx 4, 7 + 0, 39 = 5, 09

Arealet er omtrent $\underset{―}{\underset{―}{5, 1 m^{2}}}$ .

2-7d

Fra $O = 12$ får vi $y = \frac{12 - x (1 + \frac{π}{2})}{2}$ .

Arealet er $A = x y + \frac{π x^{2}}{8}$ .

$x$ (m)	$y$ (m)	$A$ (m²)
$0, 5$	$5, 36$	$2, 78$
$1, 0$	$4, 71$	$5, 11$
$1, 5$	$4, 07$	$6, 99$
$2, 0$	$3, 43$	$8, 43$
$2, 5$	$2, 79$	$9, 42$
$3, 0$	$2, 14$	$9, 97$
$3, 5$	$1, 50$	$10, 06$
$4, 0$	$0, 86$	$9, 72$

Tabellen viser at størst areal oppnås et sted mellom $x = 3$ og $x = 4$ .

2-7e

Fra $O = 12$ uttrykker vi $y$ som funksjon av $x$ :

y = \frac{12 - x (1 + \frac{π}{2})}{2}

Setter inn i arealformelen og forenkler:

A (x) = x \cdot y + \frac{π x^{2}}{8} = 6 x - x^{2} \cdot \frac{4 + π}{8}

Vi tegner grafen til $A (x)$ i GeoGebra og leser av toppunktet:

![Graf av $A(x) = 6x - x^2 \cdot \frac

Fra grafen leser vi at toppunktet er $(3, 36, 10, 08)$ , altså $x \approx 3, 36 m$ og $A \approx 10, 1 m^{2}$ .

Tilhørende $y$ :

y = \frac{12 - 3, 36 \cdot (1 + \frac{π}{2})}{2} \approx 1, 68 m

Det største arealet er $\underset{―}{\underset{―}{\approx 10, 1 m^{2}}}$ , og det oppnås når $x \approx 3, 36 m$ .