Løsningsforslag 1P-Y EL eksamen V2023

Dette løsningsforslaget er skrevet av Claude. Meld gjerne ifra om feil enten direkte til Ståle eller via forumet på matematikk.net.

Oppgave 1-1

a) Oppstartsprisen er 8 kr og leieprisen er 3 kr per minutt. For 4 minutter:

8 + 3 \cdot 4 = 8 + 12 = \underset{―}{\underset{―}{20 kr}}

b) Vi vet at prisen er 53 kr, og setter opp en likning:

\begin{aligned} 8 + 3 x & = 53 \\ 3 x & = 45 \\ x & = \underset{―}{\underset{―}{15 \min}} \end{aligned}

c) Prisen er alltid 8 kr i oppstart pluss 3 kr for hvert minutt. Formelen for $x$ minutter er altså:

P = 8 + 3 x

Alternativ D er riktig.

Oppgave 1-2

a) Nam-Nam koster 600 kr for 8 kg. Vi deler på 2, 4 og 8 for å finne prisene:

Nam-Nam hundemat

Vekt (kg)	8	4	2	1
Pris (kroner)	600	300	150	75

b) Kilopris for hvert merke:

Gnafs: $700 \div 10 = 70 kr / kg$
Nam-Nam: $600 \div 8 = 75 kr / kg$

Gnafs har den laveste kiloprisen med $\underset{―}{\underset{―}{70 kr / kg}}$ .

c) Daglig kostnad for hvert merke:

Gnafs: $250 g = 0, 25 kg$ , kostnad per dag $= 0, 25 \cdot 70 = 17, 50 kr$
Nam-Nam: $200 g = 0, 20 kg$ , kostnad per dag $= 0, 20 \cdot 75 = 15, 00 kr$

Nam-Nam gir lavest kostnad per dag med $\underset{―}{\underset{―}{15 kr / dag}}$ .

Selv om Gnafs er billigst per kilogram, trenger hunden mer Gnafs per dag (250 g) enn Nam-Nam (200 g), og Nam-Nam vinner likevel på daglig kostnad.

Oppgave 1-3

Marko regner ut hvor mye dyrere bensinstasjonen er sammenlignet med butikken (bruker butikkprisen 20 kr som grunnlag):

\frac{50 - 20}{20} \cdot 100 % = \frac{30}{20} \cdot 100 % = 150 %

Mari regner ut hvor mye billigere butikken er sammenlignet med bensinstasjonen (bruker bensinstasjonsprisen 50 kr som grunnlag):

\frac{50 - 20}{50} \cdot 100 % = \frac{30}{50} \cdot 100 % = 60 %

Begge har regnet riktig. De får ulike prosenttall fordi de har brukt forskjellige grunnlag. Marko regner prosentvis økning fra butikkpris (20 kr), mens Mari regner prosentvis reduksjon fra bensinstasjonspris (50 kr).

Oppgave 1-4

a) I trekanten $A B C$ er $u$ vinkelen ved $A$ og den rette vinkelen er ved $B$ .

Sinus er forholdet mellom motstående katet og hypotenus:

\underset{―}{\underset{―}{\sin u = \frac{B C}{A C}}}

b) Maksimalt avvik er $0, 1 Hz$ fra $50 Hz$ :

\frac{0, 1}{50} \cdot 100 % = \underset{―}{\underset{―}{0, 2 %}}

c) Fra effekttrekanten ser vi at $\cos φ = \frac{P}{S}$ , og vi vet at $P = 40 W$ og $\cos φ = \frac{40}{50}$ .

Dermed er $S = 50 VA$ . Vi bruker Pytagoras for å finne $Q$ :

Q = \sqrt{S^{2} - P^{2}} = \sqrt{50^{2} - 40^{2}} = \sqrt{2500 - 1600} = \sqrt{900} = \underset{―}{\underset{―}{30 VAr}}

Oppgave 2-1

a) Vi løser $P = U \cdot I$ for $I$ :

I = \frac{P}{U} = \frac{1725}{230} = \underset{―}{\underset{―}{7, 5 A}}

b) Vi bruker de to formlene. Først finner vi tilført effekt fra virkningsgraden:

η = \frac{P_{a}}{P_{t}} ⟹ P_{t} = \frac{P_{a}}{η} = \frac{920}{0, 8} = 1150 W

Deretter setter vi inn i formelen for tilført effekt og løser for $\cos φ$ :

\begin{aligned} P_{t} & = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos φ \\ 1150 & = \sqrt{3} \cdot 230 \cdot 5 \cdot \cos φ \\ \cos φ & = \frac{1150}{\sqrt{3} \cdot 230 \cdot 5} \approx \underset{―}{\underset{―}{0, 58}} \end{aligned}

Oppgave 2-2

a) Vi setter inn de oppgitte verdiene i formelen:

P = \frac{v^{3} \cdot A \cdot ρ \cdot η}{2} = \frac{10^{3} \cdot 20 \cdot 1, 3 \cdot 0, 5}{2} = \frac{130 000}{2} = \underset{―}{\underset{―}{6500 W}}

b) Vi løser for $A$ når $P = 9425 W$ :

\begin{aligned} 9425 & = \frac{10^{3} \cdot A \cdot 1, 3 \cdot 0, 5}{2} \\ 9425 & = 325 \cdot A \\ A & = \frac{9425}{325} = \underset{―}{\underset{―}{29 m^{2}}} \end{aligned}

c) Vi beregner effekten ved dobling av $A$ og ved dobling av $v$ :

Dobling av $A$ (fra 20 til 40 m²):

P = \frac{10^{3} \cdot 40 \cdot 1, 3 \cdot 0, 5}{2} = 13 000 W

Det er 2 ganger den opprinnelige effekten.

Dobling av $v$ (fra 10 til 20 m/s):

P = \frac{20^{3} \cdot 20 \cdot 1, 3 \cdot 0, 5}{2} = \frac{8000 \cdot 20 \cdot 0, 65}{1} = 52 000 W

Det er 8 ganger den opprinnelige effekten.

Dobling av vindhastigheten $v$ gir størst økning. Fordi $v$ er opphøyd i tredje potens i formelen, gir en dobling av $v$ en økning med faktoren $2^{3} = 8$ , mens dobling av $A$ bare gir dobbel effekt.

Oppgave 2-3

a) Vi bruker formelen $A = l \cdot b$ :

A = 1956 \cdot 992 = 1 940 352 {mm}^{2} = \underset{―}{\underset{―}{1, 94 m^{2}}}

b) Vi finner antall paneler og kostnad for hvert alternativ:

Alternativ 1 (200 W per panel): Trenger $⌈ 3500 / 200 ⌉ = 18$ paneler.
Kostnad: $18 \cdot 1500 = 27 000 kr$

Alternativ 2 (350 W per panel): Trenger $⌈ 3500 / 350 ⌉ = 10$ paneler.
Kostnad: $10 \cdot 2500 = 25 000 kr$

Alternativ 2 gir lavest totalkostnad med $\underset{―}{\underset{―}{25 000 kr}}$ .

c) Fra tegningen ser vi at panelet (992 mm langt) er hypotenusen i en rettvinklet trekant, med vinkel 63° ved $B$ . $A C$ er den loddrette høyden bak panelet.

A C = 992 \cdot \sin (63 °) \approx 992 \cdot 0,891 \approx \underset{―}{\underset{―}{884 mm}}

Oppgave 2-4

Excel-oppgave

Denne oppgaven er ment å løses i et regneark. Her vises fremgangsmåten og formlene.

a) Regnearket for 2022 fylles inn slik:

Celle	Tekst	Formel / verdi
B7	Vannmengde per dusj (liter)	`=B2*B3`
B8	Strømforbruk per dusj (kWh)	`=B7*B4`
B9	Strømforbruk per år (kWh)	`=B8*B5`
B10	Strømutgifter per år (kroner)	`=B9*B6`

Med verdiene fra regnearket får vi:

B7 = $16 \cdot 15 = 240$ liter per dusj
B8 = $240 \cdot 0,035 = 8, 4$ kWh per dusj
B9 = $8, 4 \cdot 365 = 3066$ kWh per år
B10 = $3066 \cdot 1, 50 = 4599$ kr per år

b) Formelen =B3*B5/60 gir:

15 \cdot 365 \div 60 = \underset{―}{\underset{―}{91, 25}}

En passende tekst i celle A11 er: «Total tid brukt på dusj per år (timer)»

Det tilsvarer at Ludvig bruker $91, 25$ timer i dusjen i løpet av ett år.

c) Med alle rådene fra Ines:

Nytt dusjhode: 8 liter/minutt (var 16)
Kortere dusjing: 10 minutter (var 15)
Dusjer hjemme 4 ganger per uke: $4 \cdot 52 = 208$ ganger per år (var 365)

Nytt strømforbruk:

Vann per dusj: $8 \cdot 10 = 80$ liter
Forbruk per dusj: $80 \cdot 0,035 = 2, 8$ kWh
Forbruk per år: $2, 8 \cdot 208 = 582, 4$ kWh
Kostnad per år: $582, 4 \cdot 1, 50 = 873, 60$ kr

Sparing: $4599 - 873, 60 = \underset{―}{\underset{―}{3725, 40 kr}}$

Ludvig kan spare omtrent 3725 kroner i 2023 hvis han følger alle rådene.

Oppgave 2-5

Åpen oppgave

Dette er en utforskningsoppgave uten fastsatt fremgangsmåte. Her er en mulig løsning som svarer på alle tre tankebobler til Martine.

Blå boks – totalt betalt:

Fra 15.06.2023 til 15.08.2028 er det 63 terminbetalinger:

2023: juni–desember = 7 terminer
2024–2027: $4 \times 12 = 48$ terminer
2028: januar–august = 8 terminer

Totalt betalt = 63 \cdot 2121 = 133 623 kr

Renter totalt = 133 623 - 127 826 = \underset{―}{\underset{―}{5 797 kr}}

Det er altså drøyt 5 800 kr mer enn selve lånet – ikke veldig mye.

Gul boks – avdrag og renter fra betalingsplanen:

Avdraget for en termin = lån før betaling $-$ lån etter betaling. Rentene = terminbeløp $-$ avdrag.

Dato	Terminbeløp	Lån etter	Avdrag	Renter
15.06	2 121	125 887	1 939	182
15.07	2 121	123 940	1 947	174
15.08	2 121	121 995	1 945	176
15.09	2 121	120 048	1 947	174
15.10	2 121	118 092	1 956	165
15.11	2 121	116 139	1 953	168
15.12	2 121	114 178	1 961	160

Grønn boks – beregne renter fra rentesatsen:

Månedlig rentesats: $\frac{1,677 %}{12} \approx 0,139 75 %$

Renter for juni: $127 826 \cdot 0,001 398 \approx 179 kr$

Fra betalingsplanen er rentene i juni 182 kr. Det er litt mer enn de 179 kr vi beregner fra rentesatsen. Avviket skyldes trolig at Lånekassen beregner renter daglig (ikke månedlig), og at antall dager i betalingsperioden varierer.

De to metodene gir omtrent samme svar, men ikke nøyaktig likt. Begge metodene viser at Martine betaler rundt 160–182 kr i renter per måned i 2023.