Jeg blir veldig glad om du melder ifra om feil enten direkte til meg eller via forumet på matematikk.net.

Del 1

1-1

1-1a

Vi deler prisen på antall kilogram:

\frac{400 kr}{5 kg} = 80 kr / kg

Prisen per kilogram er $\underset{―}{\underset{―}{80 kr / kg}}$ .

1-1b

Vi finner hvor mange reker det er per kilogram når én reke veier 20 gram:

\frac{1000 g}{20 g} = 50 reker per kilogram

Størrelse 50/70 betyr at det er mellom 50 og 70 reker per kilogram. En reke på 20 gram gir nøyaktig 50 reker per kilo, som er i nedre grense for denne størrelseskategorien.

Reken bør være i pose A – størrelse 50/70.

1-2

Vi beregner månedlig overskudd:

	Beløp
Inntekter	$4500 + 600 = 5100 kr$
Utgifter	$500 + 1200 + 1550 + 350 + 500 = 4100 kr$
Overskudd per måned	$5100 - 4100 = 1000 kr$

Sparing over 11 måneder:

11 \cdot 1000 = 11 000 kr

Siden $11 000 kr > 10 500 kr$ , klarer Oda sparemålet sitt hvis hun følger budsjettet. Hun vil ha $\underset{―}{\underset{―}{500 kr}}$ til overs.

1-3

Formelen er $B = \frac{x^{2}}{2}$ , der $x$ er fart i km/h delt på 10.

Vi setter inn $x = \frac{70}{10} = 7$ :

B = \frac{7^{2}}{2} = \frac{49}{2} = 24, 5

Bremselengden ved $70 km / h$ er $\underset{―}{\underset{―}{24, 5 m}}$ , og det stemmer med verdien Viking Redningstjeneste oppgir.

1-4

1-4a

I enhetssirkelen er $\sin α$ lik $y$ -koordinaten til punktet der linjestykket $g$ treffer sirkelen. For $α = 53 °$ kan vi lese av figuren at punktet ligger omtrent på $y = 0, 8$ .

$\underset{―}{\underset{―}{\sin 53 ° \approx 0, 8}}$

Merk

Den eksakte verdien er $\sin 53 ° \approx 0,799$ .

1-4b

Cosinus er $x$ -koordinaten i enhetssirkelen. For $α = 53 °$ er $x$ -koordinaten positiv (i første kvadrant).

Vinkler med samme cosinusverdi finnes symmetrisk om $x$ -aksen. Den andre vinkelen er:

360 ° - 53 ° = 307 °

Vi kan verifisere: $\cos 307 ° = \cos (- 53 °) = \cos 53 °$ ✓

Vinkelen $\underset{―}{\underset{―}{307 °}}$ har samme cosinusverdi som $α = 53 °$ .

1-5

1-5a

Lise fyller opp 4 GB per måned. Med 128 GB intern lagring:

\frac{128 GB}{4 GB / m å ned} = 32 måneder

Etter $\underset{―}{\underset{―}{32 m å neder}}$ er minnet fullt på 128 GB-modellen.

1-5b

Vi beregner totalkostnaden for 40 måneder for begge alternativene.

Alternativ 1 – 256 GB-modellen:

12 690 kr

(256 GB holder i $256 / 4 = 64$ måneder, mer enn nok for 40 måneder.)

Alternativ 2 – 128 GB-modellen + iCloud+:

Minnet er fullt etter 32 måneder. De siste $40 - 32 = 8$ månedene trenger hun iCloud+:

11 290 + 8 \cdot 12 = 11 290 + 96 = 11 386 kr

Sammenligning:

12 690 - 11 386 = 1 304 kr

Det er billigst å kjøpe 128 GB-modellen og leie iCloud+ de siste 8 månedene. Hun sparer $\underset{―}{\underset{―}{1 304 kr}}$ sammenlignet med 256 GB-modellen.

Del 2

2-1

2-1a

Vi bruker formelen $S = U \cdot I$ :

S = 230 \cdot 12 = 2760 VA

Vi finner fasevinkelen ved hjelp av $\cos ϕ = 0,819 2$ :

ϕ = \arccos (0,819 2) \approx 35 °

Tilsynelatende effekt er $\underset{―}{\underset{―}{S = 2760 VA}}$ og fasevinkelen er $\underset{―}{\underset{―}{ϕ = 35 °}}$ .

2-1b

Vi har $S = 2760 VA$ , $Q = 1583 VAr$ og $\cos ϕ = 0,819 2$ .

Metode 1 – bruk av $\cos ϕ$ :

P = S \cdot \cos ϕ = 2760 \cdot 0,819 2 \approx 2261 W

Metode 2 – Pytagoras:

Fra effekttrekanten gjelder $S^{2} = P^{2} + Q^{2}$ , så:

P = \sqrt{S^{2} - Q^{2}} = \sqrt{2760^{2} - 1583^{2}} = \sqrt{7 617 600 - 2 505 889} = \sqrt{5 111 711} \approx 2261 W

Begge metodene gir samme svar.

Den aktive effekten er $\underset{―}{\underset{―}{P \approx 2261 W}}$ .

2-1c

Tilsynelatende effekt $S$ er den samme, men $\cos ϕ$ er større (fasevinkelen $ϕ$ er mindre).

$P = S \cdot \cos ϕ$ : Når $\cos ϕ$ øker og $S$ er uendret, øker $P$ .
Fra Pytagoras: $Q = \sqrt{S^{2} - P^{2}}$ : Når $P$ øker og $S$ er konstant, minker $Q$ .

Aktiv effekt $P$ øker, og reaktiv effekt $Q$ minker. En høyere effektfaktor betyr at en større andel av den tilsynelatende effekten brukes til nyttig arbeid.

2-2

2-2a

Stine lader fra 28 % til 59 % = 31 prosentpoeng på 22 minutter (fra 12:33 til 12:55).

Rate:

\frac{22 \min}{31 %} \approx 0, 71 \min / %

Fra 59 % til 80 % gjenstår $80 - 59 = 21$ prosentpoeng:

21 \cdot \frac{22}{31} = \frac{462}{31} \approx 14, 9 \min \approx 15 \min

Det vil ta omtrent $\underset{―}{\underset{―}{15 minutter}}$ å lade fra 59 % til 80 %.

2-2b

31 prosentpoeng tilsvarer 18,3 kWh. Vi beregner full kapasitet:

\frac{18, 3 kWh}{31} \cdot 100 = \frac{1830}{31} \approx 59, 0 kWh

Ut fra målingene er batterikapasiteten omtrent $\underset{―}{\underset{―}{59 kWh}}$ , som er nær reklamens påstand om 60 kWh. Det kan godt stemme – avviket er på under 2 %.

2-2c

Ladeeffekten er:

P = \frac{18, 3 kWh}{\frac{22}{60} h} = \frac{18, 3 \cdot 60}{22} \approx 49, 9 kWh / t

Bilen bruker $0, 17 kWh / km$ . Per time lading kan bilen kjøre:

\frac{49, 9 kWh / t}{0, 17 kWh / km} \approx 294 km

Per time hurtiglading kan elbilen kjøre omtrent $\underset{―}{\underset{―}{294 km}}$ .

2-3

2-3a

Vi beregner prisen for alternativ 1 med 8 kjøretimer:

\begin{aligned} 3300 + 1580 + 5950 + 8500 + 8 \cdot 850 \\ = & 3300 + 1580 + 5950 + 8500 + 6800 \\ = & 26 130 kr \end{aligned}

Alternativ 2 koster $25 000 kr$ og inkluderer de samme kursene med 8 kjøretimer.

Chris bør velge alternativ 2 (pakketilbudet). Det er $\underset{―}{\underset{―}{1 130 kr}}$ billigere enn alternativ 1.

2-3b

Total innbetalt med lånet:

12 \cdot 2321 = 27 852 kr

Lånekostnad (det ekstra han betaler):

27 852 - 25 000 = 2 852 kr

Den totale kostnaden for lånet er $\underset{―}{\underset{―}{2 852 kr}}$ .

2-3c

Excel-oppgave

Denne oppgaven løses i Excel. Under er et eksempel på hvordan regnearket kan se ut.

Regneark for Chris' sparing

Formlene i de grønne cellene er:

Renter: = forrige saldo × 0,0035
Ny saldo: = forrige saldo + renter + innskudd

Chris har 25 000 kroner på kontoen etter at han har satt inn sparebeløpet i måned 11 (saldo ≈ 25 747 kr).

2-4

Vi beregner og svarer på hvert av Isaks spørsmål.

Pris:

Alt 2: 118 + 799 + 178 = 1095 kr

1095 - 551 = 544 kr

Isak sparer $\underset{―}{\underset{―}{544 kr}}$ ved å velge alternativ 1.

Tid:

Alt 1: 14 : 19 - 07 : 32 = 6 t 47 min = 407 min

Alt 2: 11 : 52 - 07 : 54 = 3 t 58 min = 238 min

407 - 238 = 169 min = 2 t 49 min

Isak sparer $\underset{―}{\underset{―}{2 timer 49 minutter}}$ ved å velge alternativ 2.

Gjennomsnittsfart, alternativ 1:

Vi bruker $v = \frac{s}{t}$ med $s = 416 km$ og $t = \frac{407}{60} h$ :

v = \frac{416}{\frac{407}{60}} = \frac{416 \cdot 60}{407} \approx 61, 3 km / h

Gjennomsnittsfarten til toget er $\underset{―}{\underset{―}{61, 3 km / h}}$ .

CO₂-utslipp:

Alternativ 1 (kun tog, 416 km):

416 \cdot 10 = 4 160 g = 4, 16 kg

Alternativ 2 (tog + fly + tog):

\underset{480}{\underset{⏟}{48 \cdot 10}} + \underset{51 205}{\underset{⏟}{385 \cdot 133}} + \underset{380}{\underset{⏟}{38 \cdot 10}} = 52 065 g \approx 52, 1 kg

CO₂-utslipp: alternativ 1 gir $\underset{―}{\underset{―}{4, 16 kg}}$ , alternativ 2 gir $\underset{―}{\underset{―}{52, 1 kg}}$ .

Prosentvis lavere utslipp, alternativ 1:

\frac{52,065 - 4,160}{52,065} \cdot 100 \approx 92, 0 %

Alternativ 1 har $\underset{―}{\underset{―}{92 %}}$ lavere CO₂-utslipp enn alternativ 2.

Vurdering:

Alternativ 1 er klart å foretrekke ut fra pris og miljø – det er 544 kr billigere og slipper ut 92 % mindre CO₂. Alternativ 2 er 2 timer og 49 minutter raskere, men den store miljøforskjellen gjør at jeg anbefaler Isak å velge alternativ 1 (direktetoget).