Løsningsforslag R1 eksamen H2025

Dette løsningsforslaget er skrevet av Claude. Meld gjerne ifra om feil enten direkte til Ståle eller via forumet på matematikk.net.

Oppgave 1-1

1-1a

Vi skriver om $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+x^{1/2}+2$ og deriverer ledd for ledd:

$\underset{―}{\underset{―}{f^{\prime }(x)=x^2+{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}}}$

1-1b

Vi bruker kvotientsregelen på $g(x)={\displaystyle \frac{2x-3}{e^x}}$:

Da er

$\underset{―}{\underset{―}{g^{\prime }(2)={\displaystyle \frac{1}{e^2}}\approx 0,14}}$ og $\underset{―}{\underset{―}{g^{\prime }(3)=-{\displaystyle \frac{1}{e^3}}\approx -0,05}}$

1-1c

Siden $g^{\prime }(2)>0$ er $g$ stigende i $x=2$, og siden $g^{\prime }(3)<0$ er $g$ avtagende i $x=3$. Dermed må $g$ ha et toppunkt et sted i det åpne intervallet $⟨2,3⟩$.

Oppgave 1-2

1-2a

Vi setter $u=\lg x$ og løser den kvadratiske likningen:

Så $u=4$ eller $u=-2$, det vil si

$\underset{―}{\underset{―}{x=10000}}$ eller $\underset{―}{\underset{―}{x=0,01}}$

1-2b

Likningen ${\log }_a{\displaystyle \frac{1}{64}}=-3$ betyr $a^{-3}={\displaystyle \frac{1}{64}}$, altså $a^3=64$.

$\underset{―}{\underset{―}{a=4}}$

Oppgave 1-3

1-3a

Vi faktoriserer nevneren: $x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$.

Nevneren går mot 0 når $x\to -2$, mens telleren gir

Siden teller $\to 14$ og nevner $\to 0$, eksisterer ikke grenseverdien.

1-3b

Del 1 – bestemme $a$:

For at grenseverdien skal eksistere, må telleren også gå mot 0 når $x\to -2$ (siden nevneren gjør det). Vi krever

$\underset{―}{\underset{―}{a=3}}$

Del 2 – beregne grenseverdien:

Med $a=3$: teller $=x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$.

Grenseverdien er $\underset{―}{\underset{―}{{\displaystyle \frac{1}{6}}}}$.

Oppgave 1-4

1-4a

$\underset{―}{\underset{―}{|AB|=\sqrt{26}}}$

1-4b

Stigningstallet til linjen gjennom $A(-2,3)$ og $B(3,2)$ er

Linjens ligning: $y-3=-{\displaystyle \frac{1}{5}}(x+2)$, det vil si $y={\displaystyle \frac{13}{5}}-{\displaystyle \frac{x}{5}}$.

For $y=0$: $x=13$.

$\underset{―}{\underset{―}{C=(13,0)}}$

1-4c

Vinkelen $\mathrm{\angle }ABD=90°$ betyr at $\overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{BD}$, altså $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BD}=0$.

$\underset{―}{\underset{―}{t=-3}}$

Oppgave 1-5

1-5a

$f(x)=4x^2\ln x$ er definert for $x>0$.

For $x>0$ er $4x>0$, så $f^{\prime }(x)=0$ når $2\ln x+1=0$, det vil si $\ln x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, altså $x=e^{-1/2}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}}$.

Fortegnskifte: $f^{\prime }<0$ for $x<e^{-1/2}$ og $f^{\prime }>0$ for $x>e^{-1/2}$, så dette er et bunnpunkt.

Bunnpunkt: $\underset{―}{\underset{―}{({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}},-{\displaystyle \frac{2}{e}})}}$

Grafen til $f$ har ingen toppunkt.

1-5b

Eleven ønsker å finne nullpunktet til $f$ i intervallet $[0,1,3]$, ved hjelp av halveringsmetoden.

$f(0,1)=4\cdot 0,01\cdot \ln (0,1)\approx -\mathrm{0,092}<0$ og $f(3)=36\ln 3\approx 39,6>0$, så det finnes ett nullpunkt i intervallet. (Vi ser at $f(x)=4x^2\ln x=0$ for $x=1$.)

Hva programmet gjør i linje 11–20:

• Linje 11 setter $m$ til midtpunktet i intervallet $[a,b]$.
• Linje 13: loopen fortsetter så lenge $|f(m)|\ge \mathrm{0,000}1$.
• Linje 15–16: dersom $f(a)$ og $f(m)$ har motsatt fortegn, er nullpunktet i $[a,m]$ → vi oppdaterer $b=m$.
• Linje 17–18: ellers er nullpunktet i $[m,b]$ → vi oppdaterer $a=m$.
• Linje 20: ny midtpunkt beregnes.

Programmet halverer intervallet i hver iterasjon til $|f(m)|$ er tilstrekkelig liten.

Programmet skriver ut $\underset{―}{\underset{―}{m\approx \mathrm{1,000}}}$.

Oppgave 2-1

2-1a

Vi plotter datapunktene i GeoGebra og bruker Regresjon → Logistisk til å tilpasse en logistisk modell på formen $F(t)={\displaystyle \frac{B}{1+a\cdot e^{-kt}}}$.

Regresjonen gir (avrundede verdier):

Modell: $\underset{―}{\underset{―}{F(t)={\displaystyle \frac{2841}{1+5,08\cdot e^{-\mathrm{0,247}t}}}}}$

Gyldighetsområde: Dataene strekker seg fra 1960 til 1980 ($t\in [0,20]$). Modellen gir rimelige resultater i dette intervallet. Utenfor dette vil vi ha større usikkerhet – særlig for $t\gg 20$ der befolkningstallet ifølge modellen nærmer seg metningsgrensen $B\approx 2841$.

2-1b

Vi deriverer $F(t)$ og evaluerer i GeoGebra CAS:

$\underset{―}{\underset{―}{F^{\prime }(12)\approx 115}}$ personer per år.

Praktisk tolkning: I 1972 (dvs. $t=12$) økte befolkningstallet med omtrent 115 personer per år.

$\underset{―}{\underset{―}{F^{″}(12)\approx -16,7}}$ (personer per år) per år.

Praktisk tolkning: $F^{″}(12)<0$ betyr at veksthastigheten er avtagende i 1972 – befolkningsveksten er på vei ned fra toppen. (Vendepunktet, der veksthastigheten er størst, inntreffer ved $t\approx 6,6$, dvs. rundt 1966–1967.)

2-1c

Vi setter $F^{\prime }(t)=150$ og løser i GeoGebra CAS:

Løsningene er $t\approx 3,33$ og $t\approx 9,82$.

Siden $F^{\prime }(t)$ stiger mot maksimum og deretter synker, er $F^{\prime }(t)>150$ for $t\in (3,33,9,82)$, det vil si fra ca. midten av 1963 til slutten av 1969 økte befolkningstallet med mer enn 150 personer per år.

$\underset{―}{\underset{―}{t\in (3,33,9,82)}}$, dvs. fra ca. 1963 til 1970.

Oppgave 2-2

2-2a

Vi undersøker om $f$ er kontinuerlig i $x=-2$ med $a=2$ og $b=-2$.

Venstresiden ($x\le -2$): $f(-2)=2(-2)+(-2)=-6$

Høyresiden ($-2<x$): $\underset{x\to -2^{+}}{lim}f(x)=2(-2{)}^3+2(-2{)}^2-2(-2)=-16+8+4=-4$

Siden $-6\ne -4$ er ikke grenseverdien lik funksjonsverdien, og $f$ er ikke kontinuerlig i $x=-2$.

2-2b

Kontinuitet og deriverbarhet i $x=-2$:

Middeldelen i $x=-2$ gir (som beregnet ovenfor):

Venstresiden: $f(-2)=-2a+b$.

Krav om kontinuitet: $-2a+b=-4$ … (1)

For deriverbarhet: middeldelen har $f^{\prime }(x)=6x^2+4x-2$, som gir $f^{\prime }(-2)=6\cdot 4+4\cdot (-2)-2=14$. Venstresiden har $f^{\prime }(x)=a$.

Krav om deriverbarhet: $a=14$ … (2)

Fra (1) og (2): $-2\cdot 14+b=-4⟹b=24$.

Kontinuitet og deriverbarhet i $x=k$:

Middeldelen i $x=k$: $f(k)=2k^3+2k^2-2k$, og høyresiden er konstanten $c$.

Krav om kontinuitet: $c=2k^3+2k^2-2k$ … (3)

For deriverbarhet: høyresiden har $f^{\prime }(x)=0$. Middeldelen: $f^{\prime }(k)=6k^2+4k-2$.

Krav om deriverbarhet: $6k^2+4k-2=0⟹3k^2+2k-1=0⟹(3k-1)(k+1)=0$

Begge verdiene er i $⟨-2,\to ⟩$. Vi beregner $c$ for begge:

• $k={\displaystyle \frac{1}{3}}$: $c=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{27}}+2\cdot {\displaystyle \frac{1}{9}}-2\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{27}}+{\displaystyle \frac{6}{27}}-{\displaystyle \frac{18}{27}}=-{\displaystyle \frac{10}{27}}$

• $k=-1$: $c=2(-1{)}^3+2(-1{)}^2-2(-1)=-2+2+2=2$

Svar:

og enten $\underset{―}{\underset{―}{k={\displaystyle \frac{1}{3}},c=-{\displaystyle \frac{10}{27}}}}$ eller $\underset{―}{\underset{―}{k=-1,c=2}}$.

Oppgave 2-3

2-3a

Vi beregner luktintensiteten for de to ytterverdiene $C=500$ og $C=1400$:

Luktintensiteten ligger mellom ca. $3,5$ og $4,1$, noe som ifølge tabellen tilsvarer kategoriene «plagsom lukt, bør begrenses» og «plagsomt, tiltak kreves».

Ja, beboerne har grunnlag for å klage. $\underset{―}{\underset{―}{I\in (3,48,4,10)}}$, som er langt over akseptabelt nivå.

2-3b

For akseptabel luktintensitet kreves $I\le 2$:

Nye prøver må vise $\underset{―}{\underset{―}{C\le 44\mathrm{OU}/{\mathrm{m}}^3}}$ for at luktintensiteten skal bli akseptabel.

(Til sammenligning viser nåværende prøver 500–1400 $\mathrm{OU}/{\mathrm{m}}^3$, så en reduksjon på over 90 % er nødvendig.)

Oppgave 2-4

2-4a

Parameterframstillingen er

Vi sjekker endepunktene:

• $s=0$: $(x,y)=(0,300)=H$ ✓
• $s=1$: $(x,y)=(1200,400)=U$ ✓

Retningsvektoren er $(1200,100)=\overrightarrow{HU}$, og startpunktet er $H$. Dermed er parameterfremstillingen den rette linjen fra $H$ til $U$, og for $s\in [0,1]$ dekker den nøyaktig linjestykket $HU$.

2-4b

Hele turen er 20 minutter, og etter 5 minutter er $s={\displaystyle \frac{5}{20}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$.

Etter 5 minutter er Ina i posisjonen $\underset{―}{\underset{―}{(300,325)}}$.

2-4c

Strekningslengden fra $H$ til $U$ er

Turen tar 20 min $=20\cdot 60\mathrm{s}=1200\mathrm{s}$.

Farten til Ina er $\underset{―}{\underset{―}{{\displaystyle \frac{\sqrt{145}}{12}}\approx 1,00\mathrm{m}/\mathrm{s}}}$.

2-4d

Vi skriver Inas posisjon som funksjon av sin tid $t_I$ (minutter fra start):

Vi setter Inas og Jonas sin posisjon lik hverandre:

Fra andre ligning: $t_I-t_J=2$, dvs. $t_I=t_J+2$.

Setter inn i første ligning:

Altså $t_I=7$ (Ina har gått i 7 minutter).

Møtepunkt: $(60\cdot 7,300+5\cdot 7)=(420,335)$.

Avstand Ina har gått:

Alternativt: Ina har gått ${\displaystyle \frac{7}{20}}$ av turen, så ${\displaystyle \frac{7}{20}}\cdot 100\sqrt{145}=35\sqrt{145}$.

Ina har gått $\underset{―}{\underset{―}{35\sqrt{145}\approx 421,5\mathrm{m}}}$ når hun møter Jonas.

Oppgave 2-5

2-5a

Vi beregner $|\overrightarrow{p}{|}^2=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^2$:

Prikkproduktet er

Dermed

$\underset{―}{\underset{―}{|\overrightarrow{p}|=\sqrt{52}=2\sqrt{13}}}$

2-5b

$\overrightarrow{p}\perp \overrightarrow{q}$ krever $\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=0$:

$\underset{―}{\underset{―}{t=-{\displaystyle \frac{6}{7}}}}$

Oppgave 2-6

2-6a

Vi analyserer de åtte grafene ut fra egenskapene til de fire funksjonstypene og deres andredeiverte:

Parene er:

• A og G: A er eksponentielt voksende (grafen til $a^x$, alltid positiv, konveks). G har samme form – dette er grafen til den andredeiverte $(\ln a{)}^2{a}^x$, som er proporsjonal med $a^x$.

• E og H: E er en parabel med bunnpunkt under $x$-aksen, som passer med $x^2-c$ for $c>0$. H er en horisontal linje, noe som stemmer med den konstanteandredeiverte $f^{″}(x)=2$.

• B og C: B er en S-formet kurve (stigende gjennom hele definisjonsmengden), som passer med $x^3-c$. C viser en rett stigende linje for $x>0$, noe som stemmer med den lineære andredeiverte $f^{″}(x)=6x$.

• D og F: D er en U-formet kurve, flatere enn en parabel nær origo, som passer med $x^4-c$. F er en parabel åpnende oppover med toppunkt i origo, noe som stemmer med $f^{″}(x)=12x^2$.

Sammenstilling:

2-6b

En funksjon har en invers funksjon dersom og bare dersom den er injektiv (en-til-en), dvs. strengt stigende eller strengt avtagende på hele definisjonsmengden.

• A ($a^x$): strengt stigende for alle $x$ → har invers ✓
• B ($x^3-c$): strengt stigende for alle $x$ → har invers ✓
• C ($6x$): strengt stigende for alle $x$ → har invers ✓
• G ($(\ln a{)}^2{a}^x$): strengt stigende for alle $x$ → har invers ✓
• D ($x^4-c$): ikke monoton (avtar, deretter stiger) → har ikke invers
• E ($x^2-c$): ikke monoton (avtar, deretter stiger) → har ikke invers
• F ($12x^2$): ikke monoton (avtar, deretter stiger) → har ikke invers
• H (konstant): ikke en-til-en → har ikke invers

$\underset{―}{\underset{―}{\text{Grafene A, B, C og G er grafer til funksjoner med invers funksjon.}}}$