Dette løsningsforslaget er skrevet av Claude. Meld gjerne ifra om feil enten direkte til Ståle eller via forumet på matematikk.net.

Del 1

Oppgave 1-1

1-1a

Vi bruker potensregler og derivasjonsregler:

f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{1 / 2} + 2

f^{'} (x) = x^{2} + \frac{1}{2} x^{- 1 / 2} = x^{2} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}

$\underset{―}{\underset{―}{f^{'} (x) = x^{2} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}}$

1-1b

Vi bruker kvotientregelen på $g (x) = \frac{2 x - 3}{e^{x}}$ :

g^{'} (x) = \frac{2 \cdot e^{x} - (2 x - 3) \cdot e^{x}}{(e^{x})^{2}} = \frac{e^{x} (2 - 2 x + 3)}{e^{2 x}} = \frac{5 - 2 x}{e^{x}}

Dermed:

\begin{aligned} g^{'} (2) & = \frac{5 - 2 \cdot 2}{e^{2}} = \frac{1}{e^{2}} \\ g^{'} (3) & = \frac{5 - 2 \cdot 3}{e^{3}} = - \frac{1}{e^{3}} \end{aligned}

$\underset{―}{\underset{―}{g^{'} (2) = \frac{1}{e^{2}}}}$ og $\underset{―}{\underset{―}{g^{'} (3) = - \frac{1}{e^{3}}}}$

1-1c

Siden $g^{'} (2) = \frac{1}{e^{2}} > 0$ , er grafen til $g$ stigende i $x = 2$ .

Siden $g^{'} (3) = - \frac{1}{e^{3}} < 0$ , er grafen til $g$ synkende i $x = 3$ .

Fordi $g^{'}$ er kontinuerlig og skifter fortegn fra positivt til negativt i intervallet $⟨ 2, 3 ⟩$ , har $g$ et toppunkt et sted i dette intervallet.

Oppgave 1-2

1-2a

Vi setter $u = \lg x$ og skriver om likningen:

\begin{aligned} u^{2} - 2 u - 8 & = 0 \\ (u - 4) (u + 2) & = 0 \\ u = 4 & eller u = - 2 \end{aligned}

Tilbake til $x$ :

\lg x = 4 ⟹ x = 10^{4} = \underset{―}{\underset{―}{10 000}}

\lg x = - 2 ⟹ x = 10^{- 2} = \underset{―}{\underset{―}{0, 01}}

1-2b

Vi bruker definisjonen av logaritme:

\log_{a} \frac{1}{64} = - 3 ⟹ a^{- 3} = \frac{1}{64} ⟹ a^{3} = 64 ⟹ a = \sqrt[3]{64}

$\underset{―}{\underset{―}{a = 4}}$

Oppgave 1-3

1-3a

Vi sjekker nevneren i $x = - 2$ :

x^{2} - 2 x - 8 = (x - 4) (x + 2) ⟹ nevner = 0 når x = - 2

Telleren i $x = - 2$ :

(- 2)^{2} - 4 \cdot (- 2) + 2 = 4 + 8 + 2 = 14 \neq 0

Siden nevneren er $0$ og telleren er $\neq 0$ i $x = - 2$ , eksisterer ikke grenseverdien.

1-3b

Del 1 – bestem $a$ :

For at grenseverdien skal eksistere, må telleren også være $0$ i $x = - 2$ :

(- 2)^{2} + a \cdot (- 2) + 2 = 0 ⟹ 6 - 2 a = 0 ⟹ \underset{―}{\underset{―}{a = 3}}

Del 2 – bestem grenseverdien:

Med $a = 3$ faktoriserer vi teller og nevner:

\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} - 2 x - 8} = \frac{(x + 1) (x + 2)}{(x - 4) (x + 2)}

Kansellerer $(x + 2)$ (vi ser bort fra $x = - 2$ siden vi tar grenseverdi):

lim_{x \to - 2} \frac{(x + 1) (x + 2)}{(x - 4) (x + 2)} = \frac{- 2 + 1}{- 2 - 4} = \frac{- 1}{- 6}

Grenseverdien er $\underset{―}{\underset{―}{\frac{1}{6}}}$ .

Oppgave 1-4

1-4a

Første tegn: én av bokstavene A–F → $6$ valg
Andre tegn: ett av sifrene 1–9 → $9$ valg
Tredje tegn: ett av de resterende 8 sifrene → $8$ valg

6 \cdot 9 \cdot 8 = \underset{―}{\underset{―}{432}}

Det er mulig å lage $432$ ulike passord.

1-4b

Totalt $7$ tegn: ${1, 2, 3, 4, A, B, C}$ . Uten begrensninger: $7^{3} = 343$ passord.

Vi trekker fra de som ikke oppfyller kravet om minst én bokstav og minst ett siffer:

Kun siffer ${1, 2, 3, 4}$ : $4^{3} = 64$ passord
Kun bokstav ${A, B, C}$ : $3^{3} = 27$ passord

343 - 64 - 27 = \underset{―}{\underset{―}{252}}

Det er mulig å lage $252$ ulike passord.

Oppgave 1-5

Vi har $f (x) = 4 x^{2} \cdot \ln x$ definert for $x > 0$ . Deriverer med produktregelen:

f^{'} (x) = 8 x \cdot \ln x + 4 x^{2} \cdot \frac{1}{x} = 8 x \ln x + 4 x = 4 x (2 \ln x + 1)

For $x > 0$ er $4 x > 0$ alltid, så $f^{'} (x) = 0$ krever:

2 \ln x + 1 = 0 ⟹ \ln x = - \frac{1}{2} ⟹ x = e^{- 1 / 2} = \frac{1}{\sqrt{e}}

Fortegnsskjema for $f^{'} (x)$ :

$x$	$0$		$\frac{1}{\sqrt{e}}$		$\to$
$f^{'} (x)$		$-$	$0$	$+$
$f (x)$		$↘$	bunn	$↗$

$f^{'}$ skifter fortegn fra $-$ til $+$ , så det er et bunnpunkt.

Funksjonsverdien:

f (\frac{1}{\sqrt{e}}) = 4 \cdot \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2}) = - \frac{2}{e}

Grafen til $f$ har et bunnpunkt i $\underset{―}{\underset{―}{(\frac{1}{\sqrt{e}}, - \frac{2}{e})}}$ .

Oppgave 1-6

1-6a

Programmet kjører løkken for i in range(3) tre ganger. Hvert skudd gir enten "treff" (sannsynlighet $\frac{2}{5}$ ) eller "bom". Programmet skriver ut $\frac{antall_treff}{3}$ .

Mulige verdier:

\underset{―}{\underset{―}{0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, 0}}

1-6b

Programmet skriver ut $1, 0$ kun hvis alle tre skudd er treff:

P (alle tre treff) = {(\frac{2}{5})}^{3} = \frac{8}{125}

$\underset{―}{\underset{―}{P = \frac{8}{125}}}$

1-6c

Sannsynligheten for at Einar scorer minst ett mål på $n$ straffespark:

P (minst ett mål) = 1 - 0, 7^{n} \geq 0, 5

0, 7^{n} \leq 0, 5

Vi prøver:

$n = 1$ : $1 - 0, 7 = 0, 30 < 0, 5$
$n = 2$ : $1 - 0, 49 = 0, 51 \geq 0, 5$ ✓

Einar må ta minst $\underset{―}{\underset{―}{2}}$ straffespark.

Del 2

Oppgave 2-1

2-1a

Vi setter $t = 0$ i 1910 og bruker eksponentiell regresjon på datapunktene:

$t$	$0$	$3$	$9$	$11$	$15$	$17$	$21$	$25$
$F$	$800$	$963$	$1253$	$1511$	$1720$	$1879$	$2387$	$2774$

Eksponentiell regresjon (f.eks. i GeoGebra) gir:

\underset{―}{\underset{―}{F (t) \approx 820, 6 \cdot {1,051}^{t}}}

Grafen under viser at kurven passer godt til datapunktene ( $R^{2} \approx 0, 99$ ):

Regresjonsmodell og datapunkter for oppgave 2-1a

Gyldighetsområde: Modellen passer for dataene i perioden 1910–1935, det vil si $t \in [0, 25]$ . Utenfor dette tidsrommet kan vekstmønsteret endre seg og modellen mister gyldighet.

2-1b

Vekstfarten er den deriverte av $F$ :

F^{'} (t) = 820, 6 \cdot {1,051}^{t} \cdot \ln (1,051)

Vi løser $F^{'} (t) = 80$ i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS løsning for oppgave 2-1b

CAS gir $t \approx 13, 5$ , dvs. fra og med $t = 14$ (år 1924).

Befolkningen økte med mer enn 80 personer per år fra og med 1924 ifølge modellen.

2-1c

Gjennomsnittlig befolkningsvekst fra 1910 til år $t$ er $\frac{F (t) - F (0)}{t}$ . Vi løser:

\frac{F (t) - 820, 6}{t} = 80

i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS løsning for oppgave 2-1c

CAS gir $t \approx 24, 6$ , så vi runder opp til $t = 25$ .

Det gikk $\underset{―}{\underset{―}{25 år}}$ (til 1935) før den gjennomsnittlige veksten fra 1910 var større enn 80 personer per år.

Oppgave 2-2

2-2a

Vi sjekker grenser fra venstre og høyre i $x = - 2$ :

lim_{x \to - 2^{-}} (2 x - 2) = 2 (- 2) - 2 = - 6

lim_{x \to - 2^{+}} (2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x) = 2 (- 8) + 2 (4) - 4 (- 2) = - 16 + 8 + 8 = 0

Siden $lim_{x \to - 2^{-}} f (x) = - 6 \neq 0 = lim_{x \to - 2^{+}} f (x)$ eksisterer ikke grenseverdien i $x = - 2$ .

$f$ er ikke kontinuerlig i $x = - 2$ .

2-2b

For at $f$ skal være kontinuerlig i $x = k$ må:

lim_{x \to k^{-}} (2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x) = 4

2 k^{3} + 2 k^{2} - 4 k = 4

k^{3} + k^{2} - 2 k - 2 = 0

Vi faktoriserer:

k^{2} (k + 1) - 2 (k + 1) = (k^{2} - 2) (k + 1) = 0

k = \sqrt{2}, k = - \sqrt{2}, k = - 1

Alle tre verdiene er større enn $- 2$ og dermed i gyldighetsområdet $k \in ⟨ - 2, \to ⟩$ .

$\underset{―}{\underset{―}{k = \sqrt{2}}}$ , $\underset{―}{\underset{―}{k = - \sqrt{2}}}$ eller $\underset{―}{\underset{―}{k = - 1}}$

Oppgave 2-3

Hver pose inneholder $3 + 8 + 7 = 18$ drops.

2-3a

Sander tar $2$ drops. Sannsynligheten for $2$ gule:

P (2 gule) = \frac{(\binom{8}{2})}{(\binom{18}{2})} = \frac{28}{153}

$\underset{―}{\underset{―}{P = \frac{28}{153}}}$

2-3b

Henny tar $3$ drops. Sannsynligheten for én av hver farge:

P (en av hver) = \frac{(\binom{3}{1}) (\binom{8}{1}) (\binom{7}{1})}{(\binom{18}{3})} = \frac{3 \cdot 8 \cdot 7}{816} = \frac{168}{816} = \frac{7}{34}

$\underset{―}{\underset{―}{P = \frac{7}{34}}}$

2-3c

Alle tre tar ett drops fra hver sin pose – uavhengige hendelser.

P (alle samme) = P (alle grønn) + P (alle gul) + P (alle rød)

= {(\frac{3}{18})}^{3} + {(\frac{8}{18})}^{3} + {(\frac{7}{18})}^{3} = \frac{27 + 512 + 343}{5832} = \frac{882}{5832} = \frac{49}{324}

$\underset{―}{\underset{―}{P = \frac{49}{324}}}$

Oppgave 2-4

2-4a

Inntekt per enhet er 100 kr. Overskuddet er:

O (x) = 100 x - K (x) = 100 x - 0, 02 x^{2} - 60 x - 12 000 = - 0, 02 x^{2} + 40 x - 12 000

Vi finner maksimum ved å sette $O^{'} (x) = 0$ og beregner i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS løsning for oppgave 2-4a

CAS bekrefter at $O^{'} (x) = 0$ i $x = 1000$ og at $O (1000) = 8000$ .

Det største overskuddet er $\underset{―}{\underset{―}{8 000 kr}}$ , oppnådd ved produksjon og salg av 1000 enheter.

2-4b

Nye faste kostnader er 8000 kr. Ved salg av $x = 1000$ enheter:

K (1000) = 0, 02 \cdot 1000^{2} + 60 \cdot 1000 + 8000 = 20 000 + 60 000 + 8000 = 88 000 kr

For å unngå underskudd må inntektene dekke kostnadene:

1000 \cdot p \geq 88 000 ⟹ p \geq 88

Den laveste prisen er $\underset{―}{\underset{―}{88 kr}}$ per enhet.

Oppgave 2-5

2-5a

Vi beregner luktintensiteten $I = 1, 4 \cdot \lg (C) - 0, 3$ for begge grenseverdiene:

GeoGebra CAS løsning for oppgave 2-5a

CAS gir:

$I (500) \approx 3, 48$ : «plagsom lukt, bør begrenses»
$I (1400) \approx 4, 10$ : «plagsomt, tiltak kreves»

Prøvene viser luktintensiteter i området $3, 48$ til $4, 10$ , noe som tilsvarer kategoriene «plagsom» og «tiltak kreves».

Ja, beboerne har grunnlag for å klage.

2-5b

For at luktintensiteten skal bli akseptabel, trenger vi $1 \leq I \leq 2$ . Vi løser i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS løsning for oppgave 2-5b

CAS gir:

$I = 2$ gir $C \approx 44$
$I = 1$ gir $C \approx 8, 5$

Nye prøver må vise luktverdier i intervallet $\underset{―}{\underset{―}{8, 5 \leq C \leq 44 OU / m^{3}}}$ for at luktintensiteten skal bli akseptabel.

Oppgave 2-6

2-6a

Spilleregler:

Spillet starter med 100 terninger.
Hver runde kastes alle terningene (antallet er fast ved rundens start).
For hvert kast som viser 6: legg til 3 terninger.
For hvert kast som ikke viser 6: ta bort 1 terning.
Etter at alle terningene er kastet, økes rundetelleren med 1.
Spillet fortsetter til det ikke er noen terninger igjen.

2-6b

La $n$ være antall terninger ved starten av en runde. For hvert enkelt kast er:

E [netto endring per terning] = \frac{1}{6} \cdot 3 + \frac{5}{6} \cdot (- 1) = \frac{1}{2} - \frac{5}{6} = - \frac{1}{3}

Forventet antall terninger etter én runde: $n - \frac{n}{3} = \frac{2 n}{3}$

Etter $r$ runder er forventet antall terninger:

E [n_{r}] = 100 \cdot {(\frac{2}{3})}^{r}

Merk

Bemerker vi at antall terninger etter en runde faktisk er $4 \cdot (antall sekser)$ , kan man via simulering av programmet (kjørt mange ganger) bestemme gjennomsnittet presist.

Simulering av programmet over mange kjøringer gir et gjennomsnitt på ca. $8, 5$ runder.

Det gjennomsnittlige antallet runder spillet vil vare, er $\underset{―}{\underset{―}{\approx 8, 5}}$ .