Løsningsforslag 2P-Y eksamen V2023

Dette løsningsforslaget er skrevet av Claude. Meld gjerne ifra om feil enten direkte til Ståle eller via forumet på matematikk.net.

Oppgave 1-1

1-1a

\frac{42}{40} = \frac{105}{100} = 1, 05

En økning på én til én komma null fem svarer til en økning på 5 %.

Vekstfaktoren 1,05 viser at prisen steg med $\underset{―}{\underset{―}{5 %}}$ .

1-1b

Anta at prisen fortsetter å stige med 2 kr hvert år. Det andre året blir prisen

42 \cdot 1, 05 = 44, 1

Dette er en økning på 2,1 kr. For hvert år vil den absolutte stigningen i kroner bli større enn 2 kr, siden prisen øker. Men prosentvis vekst = 2 kr / stigende pris, som gir en stadig lavere prosent.

Påstand 2 er riktig: prisen vil stige med $\underset{―}{\underset{―}{mindre enn 5 %}}$ hvert år.

Oppgave 1-2

Solveig har 6 kg deig som skal fordeles likt mellom $x$ personer. Mengden deig per person er

f (x) = \frac{6}{x}

Nedenfor ser du en grafisk framstilling av sammenhengen:

Graf for oppgave 1-2

Jo flere personer som baker, jo mindre deig får hver person. Kurven er en omvendt proporsjonal funksjon.

Oppgave 1-3

1-3a

Relativ frekvens 0,4 for to søsken betyr at 40 % av elevene i klassen har to søsken.

Kumulativ frekvens 16 for to søsken betyr at 16 elever til sammen har null, ett eller to søsken.

1-3b

Alle elevene har søsken (minst én), så ingen har 0 søsken.

2 elever har én bror og ingen søster
2 elever har én søster og ingen bror

Til sammen har altså 4 elever nøyaktig 1 søsken.

Siden den kumulative frekvensen for to søsken er 16, gjelder:

\underset{1 søsken}{\underset{⏟}{4}} + \underset{2 søsken}{\underset{⏟}{0, 4 \cdot x}} = 16

0, 4 \cdot x = 12 ⟹ x = 30

Det er $\underset{―}{\underset{―}{30 elever}}$ i klassen.

Oppgave 1-4

1-4a

Figur 1 har 5 sirkler, figur 2 har 9 sirkler, figur 3 har 13 sirkler. For hver ny figur legges det til 4 sirkler.

Figur 4: $13 + 4 = 17$ sirkler
Figur 5: $17 + 4 = 21$ sirkler

Figur 4 har $\underset{―}{\underset{―}{17}}$ sirkler og figur 5 har $\underset{―}{\underset{―}{21}}$ sirkler.

1-4b

Figur 1 har 5 sirkler, og for hver ny figur øker antallet med 4. Dette er en aritmetisk rekke med første ledd $a_{1} = 5$ og differanse $d = 4$ :

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d = 5 + (n - 1) \cdot 4 = 5 + 4 n - 4 = 4 n + 1

Antall sirkler i figur $n$ er $\underset{―}{\underset{―}{4 n + 1}}$ .

Oppgave 2-1

Hver person spiser 91 kg hvert år og det er 2,86 milliarder mennesker. Altså spiser de hvert år

91 kg \cdot 2, 86 \cdot 10^{9} = 2,602 6 \cdot 10^{11} kg

I løpet av 10 år blir mengden

2,602 6 \cdot 10^{11} kg \cdot 10 = 2,602 6 \cdot 10^{11} \cdot 10^{1} kg \approx 2, 6 \cdot 10^{12} kg

De spiser omtrent $\underset{―}{\underset{―}{2, 6 \cdot 10^{12} kg}}$ ris i løpet av 10 år.

Oppgave 2-2

Tore spurte 12 kolleger. De synlige verdiene fra arket er:

4, 5, 0, 4, 2, 6, ?, 5, 7, 5, 5, 3

Summen av de 11 kjente verdiene er

4 + 5 + 0 + 4 + 2 + 6 + 5 + 7 + 5 + 5 + 3 = 46

For at gjennomsnittet skal være nøyaktig 4 med 12 verdier, må totalsummen være $4 \cdot 12 = 48$ . Det skjulte tallet er altså

48 - 46 = 2

Med det skjulte tallet lik 2 blir gjennomsnittet $\frac{48}{12} = 4$ – nøyaktig 4, ikke mer enn 4.

For at gjennomsnittet skal være mer enn 4, måtte det skjulte tallet ha vært minst 3.

Tores antakelse stemmer ikke. Gjennomsnittet er $\underset{―}{\underset{―}{4}}$ kopper – nøyaktig 4, ikke mer enn 4.

Oppgave 2-3

La prisen for begge varer i mai være $P$ .

Vare A i august (tre måneder etter mai):

P \cdot 1, 07^{3} = P \cdot 1,225

Vare B i februar (tre måneder før mai): vi går tre måneder bakover fra mai. Siden B synker med 7 % per måned, betyr å gå bakover i tid at vi deler på $0, 93$ per måned:

\frac{P}{0, 93^{3}} = P \cdot \frac{1}{0,804 4} \approx P \cdot 1,243

Vi sammenligner:

1, 07^{3} \approx 1,225 og \frac{1}{0, 93^{3}} \approx 1,243

Disse er ikke like: $1,225 \neq 1,243$ .

Malins påstand er $\underset{―}{\underset{―}{ikke riktig}}$ . Vare A vil koste ca. 22,5 % mer enn maipris i august, mens vare B kostet ca. 24,3 % mer enn maipris i februar – de er ikke like.

Oppgave 2-4

Vi beregner andelen syklister med hjelm for hver ukedag og totalt:

Ukedag	Syklister	Med hjelm	Andel med hjelm
Mandag	10	7	70,0 %
Tirsdag	15	9	60,0 %
Onsdag	11	6	54,5 %
Torsdag	12	7	58,3 %
Fredag	15	12	80,0 %
Totalt	63	41	65,1 %

Totalt brukte 41 av 63 syklister hjelm, noe som tilsvarer ca. 65 %.

Andelen er høyest på fredag (80 %) og lavest på onsdag (54,5 %).

Mulige diagramtyper for presentasjonen:

Et søylediagram der x-aksen viser ukedag og y-aksen viser andelen med hjelm (i prosent) sammenligner de ulike dagene godt.
Et sektordiagram (kakediagram) kan vise andelen med og uten hjelm totalt for hele uken (65 % med hjelm, 35 % uten).

Oppgave 2-5

2-5a

Vi regner med at alle i hvert intervall tjener midtpunktet i intervallet (midtpunktmetoden).

Intervall (tusen kr)	Midtpunkt	Frekvens	Midtpunkt × frekvens
$⟨ 250 - 350 ⟩$	300	8	2 400
$⟨ 350 - 450 ⟩$	400	42	16 800
$⟨ 450 - 500 ⟩$	475	40	19 000
$⟨ 500 - 550 ⟩$	525	20	10 500
$⟨ 550 - 600 ⟩$	575	15	8 625
$⟨ 600 - 650 ⟩$	625	3	1 875
$⟨ 650 - 750 ⟩$	700	2	1 400
$⟨ 750 - 1000 ⟩$	875	1	875
$⟨ 1000 - 2000 ⟩$	1 500	15	22 500
Totalt		146	83 975

\bar{x} = \frac{83 975}{146} \approx 575 (tusen kr)

Gjennomsnittslønnen er omtrent $\underset{―}{\underset{―}{575 000 kr}}$ .

Medianen er den midterste verdien. Med 146 ansatte er medianen mellom den 73. og 74. verdien. Kumulativ telling:

Etter $⟨ 250 - 350 ⟩$ : 8 ansatte totalt
Etter $⟨ 350 - 450 ⟩$ : 50 ansatte totalt
Etter $⟨ 450 - 500 ⟩$ : 90 ansatte totalt ← her ligger den 73. og 74. verdien

Vi interpolerer i intervallet $⟨ 450, 500 ⟩$ :

450 + \frac{73, 5 - 50}{40} \cdot 50 = 450 + \frac{23, 5}{40} \cdot 50 \approx 450 + 29 = 479 (tusen kr)

Medianlønnen er omtrent $\underset{―}{\underset{―}{479 000 kr}}$ .

2-5b

Bedriften har 15 ansatte med årslønn mellom 1 000 000 og 2 000 000 kr. Disse trekker gjennomsnittet kraftig opp, til 575 000 kr, mens de fleste ansatte tjener i området 350 000–500 000 kr.

Medianen på 479 000 kr påvirkes ikke av de høye lønningene, og gir et mer representativt bilde av hva en typisk ansatt tjener.

Medianen er det mest egnede sentralmålet for å beskrive bedriftens lønnsnivå.

Oppgave 2-6

2-6a

Funksjonen $P (x) = 1600 \cdot {1,045}^{x}$ beskriver planen slik:

I august ( $x = 0$ ) regner elevene med å samle inn $P (0) = 1600 kr$
Vekstfaktoren 1,045 betyr at beløpet øker med 4,5 % for hver måned
Planen strekker seg over 10 måneder ( $x = 0$ til $x = 9$ ), dvs. august til mai

2-6b

Mai svarer til $x = 9$ :

P (9) = 1600 \cdot {1,045}^{9} \approx 1600 \cdot 1,486 \approx 2378 kr

Ifølge modellen regnet elevene med å samle inn ca. $\underset{―}{\underset{―}{2378 kr}}$ i mai 2023.

2-6c

Programmet summerer $P (x)$ for $x = 0, 1, 2, \dots, 9$ . Resultatet er ca. 19 661 kr, som er langt under målet på 25 000 kr. Elevene vil ikke nå målet med den opprinnelige planen.

Mulige justeringer:

Øke startbeløpet. For å samle inn 25 000 kr totalt med samme vekstfaktor (4,5 %) trenger man ca. 2034 kr i august – mot 1600 kr i den opprinnelige planen.
Øke vekstfaktoren (raskere økning per måned).

Oppgave 2-7

2-7a

Vi bruker potensregresjon på dataene:

Uke	1	5	8	10	12	15	18	20
Porsjoner	2060	5770	7795	8992	10 105	11 656	13 099	14 000

Regresjonsanalysen gir modellen

P (x) = 2060 \cdot x^{0, 64}

Modellen passer svært godt til dataene ( $R^{2} \approx 1, 00$ ):

Regresjonsmodell og datapunkter for oppgave 2-7a

En modell for sammenhengen er $\underset{―}{\underset{―}{P (x) = 2060 \cdot x^{0, 64}}}$ .

2-7b

Stigningstallet til sekanten gjennom $(1, P (1))$ og $(20, P (20))$ :

P (1) = 2060 \cdot 1^{0, 64} = 2060

P (20) = 2060 \cdot 20^{0, 64} \approx 14 009

a = \frac{P (20) - P (1)}{20 - 1} = \frac{14 009 - 2060}{19} \approx 629

Stigningstallet er omtrent $\underset{―}{\underset{―}{629 porsjoner per uke}}$ .

Det betyr at antall registrerte porsjoner økte i gjennomsnitt med ca. 629 per uke i perioden fra uke 1 til uke 20.

2-7c

Stigningstallet til tangenten i $(6, P (6))$ er den deriverte $P^{'} (6)$ :

P^{'} (x) = 2060 \cdot 0, 64 \cdot x^{0, 64 - 1} = 1318, 4 \cdot x^{- 0, 36}

P^{'} (6) = 1318, 4 \cdot 6^{- 0, 36} \approx 692

Stigningstallet til tangenten i uke 6 er omtrent $\underset{―}{\underset{―}{692 porsjoner per uke}}$ .

Det betyr at antallet registrerte porsjoner økte med ca. 692 per uke akkurat i uke 6 (øyeblikkelig endringsrate). Dette er noe høyere enn det gjennomsnittlige stigningstallet for hele perioden.