Busstur Mandal til Oslo

Sofie tok buss fra Mandal til Oslo. Bussen holdt en gjennomsnittsfart på $80\mathrm{km}/\mathrm{h}$ og brukte 4 timer og 30 minutter på strekningen.

Fasit

$360\mathrm{km}$

Løsningsforslag

Sofie brukte 4 timer og 30 minutter = $4,5\mathrm{timer}$.

$$s=v\cdot t=80\cdot 4,5=360$$

Strekningen er $\underset{―}{\underset{―}{360\mathrm{km}}}$.

Deksel og merverdiavgift

Lukas har kjøpt et deksel til mobilen. Dekselet kostet 200 kroner inkludert merverdiavgift. Merverdiavgiften er 25 %.

Fasit

$40\mathrm{kr}$

Løsningsforslag

Prisen på 200 kroner inkluderer merverdiavgiften. Prisen uten avgift finner vi slik:

$$\frac{200}{1,25}=160\mathrm{kr}$$

Merverdiavgiften er da:

$$200-160=40$$

Lukas betalte $\underset{―}{\underset{―}{40\mathrm{kr}}}$ i merverdiavgift.

Støvpartikkel i standardform

En støvpartikkel veier omtrent $\mathrm{0,000}000005$ gram.

Fasit

$4\cdot {10}^9$ partikler

Løsningsforslag

En støvpartikkel veier $\mathrm{0,000}000005\mathrm{g}=5\cdot {10}^{-9}\mathrm{g}$.

$$\text{Antall}=\frac{20}{5\cdot {10}^{-9}}=\frac{2\cdot {10}^1}{5\cdot {10}^{-9}}=\frac{2}{5}\cdot \frac{{10}^1}{{10}^{-9}}=\frac{20}{5}\cdot \frac{1}{{10}^{-9}}=4\cdot {10}^9$$

Det er $\underset{―}{\underset{―}{4\cdot {10}^9}}$ støvpartikler i 20 gram støv (4 milliarder partikler).

Pyramide med proporsjonal høyde

Ole påstår at høyde og volum er proporsjonale størrelser for pyramidene han arbeider med.

Fasit

a) $h=3\mathrm{dm}$
b) Nei – $V=h^3/3$, ikke proporsjonalt

Løsningsforslag

1-4a

Grunnflaten er et kvadrat med side $s$, og høyden er $h=s$.

$$V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h=\frac{1}{3}\cdot s^2\cdot s=\frac{s^3}{3}$$

Setter inn $V=9{\mathrm{dm}}^3$:

$$\frac{s^3}{3}=9⟹s^3=27⟹s=3$$

Siden høyden er lik sidekanten, er $h=s=3$.

Pyramiden er $\underset{―}{\underset{―}{3\mathrm{dm}}}$ høy.

1-4b

For at høyde og volum skal være proporsjonale, må forholdet $V/h$ være konstant.

Uttrykket for volum er $V={\displaystyle \frac{h^3}{3}}$, så

$$\frac{V}{h}=\frac{h^3/3}{h}=\frac{h^2}{3}$$

Dette avhenger av $h$ og er ikke konstant. Vi kan verifisere med noen verdier:

$h$ (dm)	$V=h^3/3$ (dm³)	$V/h$
1	$0,33$	$0,33$
2	$2,67$	$1,33$
3	$9,00$	$3,00$

Påstanden er feil. Høyde og volum er ikke proporsjonale fordi forholdet $V/h$ ikke er konstant.

Lønn og timelønn fra grafer

Den grønne grafen i koordinatsystemet ovenfor viser sammenhengen mellom antall timer Nora arbeider, og lønnen hun får.

Den blå grafen viser sammenhengen mellom antall timer Nils arbeider, og lønnen han får.

En uke arbeidet Nora og Nils like mange timer. Nora tjente 720 kroner mer enn Nils.

Fasit

a) Nora: $200\mathrm{kr}/\mathrm{t}$, Nils: $180\mathrm{kr}/\mathrm{t}$
b) $36\mathrm{timer}$

Løsningsforslag

1-5a

Fra grafen leser vi av stigningstallet til hver linje. Begge linjer går gjennom origo.

Den grønne linjen (Nora) går gjennom punktet $(10,2000)$:

$$\text{Timelønnen til Nora}=\frac{2000}{10}=200\mathrm{kr}/\mathrm{t}$$

Den blå linjen (Nils) går gjennom punktet $(10,1800)$:

$$\text{Timelønnen til Nils}=\frac{1800}{10}=180\mathrm{kr}/\mathrm{t}$$

Noras timelønn er $\underset{―}{\underset{―}{200\mathrm{kr}/\mathrm{t}}}$ og Nils' timelønn er $\underset{―}{\underset{―}{180\mathrm{kr}/\mathrm{t}}}$.

1-5b

La $t$ være antall timer de arbeidet. Da tjente Nora $200t$ kroner og Nils $180t$ kroner.

$$200t-180t=720$$$$20t=720$$$$t=36$$

De arbeidet $\underset{―}{\underset{―}{36\mathrm{timer}}}$ hver.

Femkanttall og programmering

Siri arbeider med femkanttall. Hun har oppdaget en sammenheng og laget programmet nedenfor.

1234567tall = 1
differanse = 4

while tall <= 60:
	print(tall)
	tall = tall + differanse
	differanse = differanse + 3

Fasit

Løsningsforslag

Variabelen tall inneholder antall sirkler i et femkanttall slik tall utvikler seg slik tabellen viser.

$n$	tall	differanse
1	1	4
2	5	7
3	12	10
4	22	13
5	35	16
6	51	19
7	70	22

Tallene 1, 5, 12, 22, 35, 51 og 70 skrives ut av programmet.

Siri har oppdaget at antallet nye sirkler i femkanttalene (de som er tegnet oppe mot høyre i figuren) øker med 3 for hvert femkanttall.

30-dagersbillett og pris per tur

I en by koster det 1200 kroner for en 30-dagersbillett med buss. Du kan ta bussen så mange ganger du ønsker i denne perioden.

Siri har kjøpt en 30-dagersbillett og lurer på hva prisen per busstur blir dersom hun bruker billetten 4, 8, 20 eller 30 ganger.

En enkeltbillett med buss koster 80 kroner.

Fasit

a) 300, 150, 60, 40 kr/tur
b) Graf av $f(x)=1200/x$
c) $\ge 16$ turer

Løsningsforslag

1-6a

Prisen per busstur er ${\displaystyle \frac{1200}{x}}$ der $x$ er antall turer.

Antall bussturer	4	8	20	30
Pris per busstur	$300\mathrm{kr}$	$150\mathrm{kr}$	$60\mathrm{kr}$	$40\mathrm{kr}$

1-6b

Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom antall bussturer og prisen per busstur. Funksjonen er $f(x)={\displaystyle \frac{1200}{x}}$.

1-6c

En enkeltbillett koster 80 kroner. Vi tegner en horisontal linje ved $y=80$ i samme koordinatsystem og finner skjæringen med $f$, se punkt $P$ i skjermbildet.

Månedskortet koster altså 80 kr per tur dersom man tar 15 turer.

Det lønner seg å kjøpe 30-dagersbillett dersom Siri tar bussen $\underset{―}{\underset{―}{16\mathrm{ganger}}}$ eller mer.

Fiskelengde og potensfunksjonsmodell

Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom lengde og vekt for en type fisk.

Lengde (cm)	50	70	80	100	120	130
Vekt (gram)	1190	3320	5070	9610	16 080	21 590

Sammenhengen kan beskrives med en modell gitt på formen

$$F(x)=a\cdot x^b$$

der $F(x)$ gram er vekten til en fisk som er $x$ centimeter lang.

Fasit

a) $a\approx \mathrm{0,009}66$, $b\approx 3,00$
b) $\approx 106\mathrm{cm}$
c) $\approx 210\mathrm{g}/\mathrm{cm}$
d) $\approx 72,8\mathrm{\%}$

Løsningsforslag

2-1a

Vi bruker potensregresjon for å finne $a$ og $b$ i $F(x)=a\cdot x^b$.

Regresjon i GeoGebra gir:

$$\underset{―}{\underset{―}{a\approx \mathrm{0,009}66\text{og}b\approx 3,00}}$$

Modellen er dermed tilnærmet

$$F(x)\approx \mathrm{0,009}66\cdot x^3$$

2-1b

Vi løser likningen $F(x)=11500$:

$$\mathrm{0,009}66\cdot x^3=11500$$

Ifølge modellen er en fisk som veier $11,5\mathrm{kg}$ omtrent $\underset{―}{\underset{―}{106\mathrm{cm}}}$ lang.

2-1c

Vi beregner $F(75)$ og $F(95)$:

$$F(75)=\mathrm{0,009}66\cdot {75}^3\approx 4075\mathrm{g}$$$$F(95)=\mathrm{0,009}66\cdot {95}^3\approx 8282\mathrm{g}$$

Stigningstallet til linjen gjennom $(75,F(75))$ og $(95,F(95))$:

$$a=\frac{F(95)-F(75)}{95-75}=\frac{8282-4075}{20}\approx 210$$

Stigningstallet er $\underset{―}{\underset{―}{\approx 210\mathrm{g}/\mathrm{cm}}}$.

Dette betyr at for fisk med lengde mellom 75 og 95 cm vil vekten øke med cirka 210 gram for hver ekstra centimeter.

2-1d

Dersom lengden øker med 20 %, blir den nye lengden $1,2\cdot x$. Da blir den nye vekten:

$$F(1,2x)=\mathrm{0,009}66\cdot (1,2x{)}^3=\mathrm{0,009}66\cdot 1,2^3\cdot x^3=1,2^3\cdot F(x)$$$$1,2^3=\mathrm{1,728}$$

Prosentvis økning: $(\mathrm{1,728}-1)\cdot 100\mathrm{\%}=72,8\mathrm{\%}$

Vekten vil øke med $\underset{―}{\underset{―}{72,8\mathrm{\%}}}$ dersom lengden øker med 20 %.

Grafer og fire situasjoner

En elev har beskrevet fire situasjoner og tegnet ni grafer. Se nedenfor.

Fasit

A → graf 4, B → graf 8, C → graf 2, D → graf 3

Løsningsforslag

Vi analyserer hver situasjon og finner den grafen som passer best:

Situasjon A – Dyrebestand som avtar med fast prosent per år er eksponentiell nedgang. Det gir en jevnt avtagende kurve som flater ut mot $x$-aksen. Dette passer til graf 4.

Situasjon B – Kostnad per person ved leie av badstue er omvendt proporsjonal: $\text{Pris}={\displaystyle \frac{k}{\text{antall}}}$. For få deltakere er prisen svært høy, og den faller bratt. Dette passer til graf 8 (starter svært høyt og avtar raskt).

Situasjon C – Fuglebestand som øker eksponentielt, deretter lineært og deretter stabiliserer seg. Det gir en kurve med tre faser: først akselererende vekst, så tilnærmet rett linje, så flat. Dette passer til graf 2 (S-formet kurve).

Situasjon D – Pakkepriser med tre vektintervaller gir en trappetrinnsfunksjon – konstant verdi i hvert intervall. Dette passer til graf 3.

Svar: A → graf 4, B → graf 8, C → graf 2, D → graf 3.

Betalingsanmerkninger og gjennomsnitt

Teksten nedenfor er hentet fra nrk.no.

---

---

Fasit

a) $\approx 248000\mathrm{kr}$
b) $\approx 4,8\mathrm{millioner}$

Løsningsforslag

2-3a

$$\text{Gjennomsnitt}=\frac{57000000000}{229963}\approx 247866\approx 248000$$

Hver person skylder i gjennomsnitt omtrent $\underset{―}{\underset{―}{248000\mathrm{kr}}}$.

2-3b

229 963 personer utgjør 4,8 % av befolkningen over 18 år. La $N$ være antall personer over 18 år:

$$\mathrm{0,048}\cdot N=229963$$$$N=\frac{229963}{\mathrm{0,048}}\approx 4791000$$

Omtrent $\underset{―}{\underset{―}{4,8\mathrm{millioner}}}$ nordmenn er over 18 år.

Eplekjøp i USA med valuta og enheter

Synnøve er på ferie i USA. En dag går hun innom en butikk for å kjøpe epler. Hun betaler $4,18$ amerikanske dollar for en pose med 3 pund epler.

• Pund (lb) er en måleenhet for masse som er vanlig å bruke i USA. $1\mathrm{lb}\approx \mathrm{0,454}\mathrm{kg}$
• Sist Synnøve sjekket valutakursen, tilsvarte 1 amerikansk dollar $10,16$ norske kroner.

Fasit

$\approx 31\mathrm{kr}/\mathrm{kg}$

Løsningsforslag

Synnøve kjøper 3 pund epler for 4,18 dollar. Vi regner om til norske kroner per kilogram:

Omregner fra pund til kilo:

$$3\mathrm{lb}=3\cdot \mathrm{0,454}\mathrm{kg}=\mathrm{1,362}\mathrm{kg}$$

Pris per kilogram i dollar:

$$\frac{4,18\mathrm{USD}}{\mathrm{1,362}\mathrm{kg}}\approx 3,07\mathrm{USD}/\mathrm{kg}$$

Omregner til norske kroner:

$$3,07\cdot 10,16\approx 31,2$$

Ett kilogram epler kostet omtrent $\underset{―}{\underset{―}{31\mathrm{kr}/\mathrm{kg}}}$.

Aksje ned og opp igjen

Verdien av en aksje har gått ned med 23 %.

Fasit

$\approx 29,9\mathrm{\%}$

Løsningsforslag

La den opprinnelige verdien av aksjen være 1. Etter at den gikk ned 23 %, er verdien:

$$1-0,23=0,77$$

For å komme tilbake til verdien 1 igjen, må vi gange med ${\displaystyle \frac{1}{0,77}}$:

$$\frac{1}{0,77}=\frac{100}{77}\approx \mathrm{1,298}7$$

Prosentvis økning som kreves:

$$\frac{1}{0,77}-1=\frac{0,23}{0,77}=\frac{23}{77}\approx \mathrm{0,298}7\approx 29,9\mathrm{\%}$$

Verdien må øke med omtrent $\underset{―}{\underset{―}{29,9\mathrm{\%}}}$.

Breddegrader og jordomkrets

Breddegrader angir hvor langt nord eller sør et sted ligger i forhold til ekvator.

Ekvator ligger på $0\mathrm{°}$. Nordpolen ligger på $90\mathrm{°}$ nordlig bredde, og Sydpolen ligger på $90\mathrm{°}$ sørlig bredde. Det er altså $180\mathrm{°}$ mellom Nord- og Sydpolen.

En breddegrad er delt inn i 60 bueminutter. Avstanden mellom hvert bueminutt tilsvarer omtrent en nautisk mil. En nautisk mil er 1852 meter.

Oslo ligger på breddegrad $59,9\mathrm{°}$, og Trondheim ligger på breddegrad $63,4\mathrm{°}$. De to byene ligger omtrent på samme lengdegrad.

Fasit

a) $111,12\mathrm{km}$
b) $\approx 40000\mathrm{km}$
c) $\approx 0,97\mathrm{\%}$

Løsningsforslag

2-6a

Én breddegrad er delt i 60 bueminutter, og hvert bueminutt tilsvarer én nautisk mil = 1852 m.

$$60\cdot 1852\mathrm{m}=111120\mathrm{m}=111,12\mathrm{km}$$

Avstanden mellom hver breddegrad er $\underset{―}{\underset{―}{111,12\mathrm{km}}}$.

2-6b

En hel omdreining er $360\mathrm{°}$:

$$\text{Omkrets}=360\cdot 111,12\mathrm{km}=40003\mathrm{km}$$

Jordens omkrets er omtrent $\underset{―}{\underset{―}{40000\mathrm{km}}}$.

2-6c

Breddegradsforskjellen mellom Oslo og Trondheim:

$$63,4\mathrm{°}-59,9\mathrm{°}=3,5\mathrm{°}$$

Avstand:

$$3,5\cdot 111,12\approx 388,9\mathrm{km}$$

Prosentandel av jordens omkrets:

$$\frac{388,9}{40003}\cdot 100\mathrm{\%}\approx 0,97\mathrm{\%}$$

Avstanden mellom Oslo og Trondheim utgjør omtrent $\underset{―}{\underset{―}{0,97\mathrm{\%}}}$ av jordens omkrets.

Blomsterbed med halvsirkel

Jentene har kjøpt inn materialer slik at de kan lage et gjerde som er 12 meter.

Selma foreslår at $x$ skal være 1 meter.

Sofie vil lage en systematisk oversikt som viser arealet av ulike blomsterbed de kan lage når gjerdet skal være 12 meter.

Selma lurer på om de kan tegne en graf som de kan bruke for å finne den verdien av $x$ som vil gi størst mulig areal når gjerdet skal være 12 meter. Hun prøver å sette opp et funksjonsuttrykk hun kan bruke.

Fasit

a) Vis
b) $y\approx 4,7\mathrm{m}$
c) $A\approx 5,1{\mathrm{m}}^2$
d) Oversiktstabell
e) $A_{max}\approx 10,1{\mathrm{m}}^2$ ved $x\approx 3,36\mathrm{m}$

Løsningsforslag

2-7a

Blomsterbedet har to sider av lengde $y$ (de to langsidene), én rett ende med lengde $x$, og én halvsirkel med diameter $x$ (radius $r=x/2$).

De tre rette sidene vil ha lengde $y+x+y$.

Halvsirkelen har omkretsen til en halvsirkel med radius $\frac{x}{2}$. Omkretsen til en hel sirkel er $2\pi r$, og da blir omkretsen til en halvsirkel $\pi r$. Lengden av vår halvsirkel er

$$\pi \cdot r=\pi \cdot \frac{x}{2}=\frac{\pi x}{2}$$

Dermed er den totale omkretsen:

$$O=y+x+y+\frac{\pi x}{2}=\underset{―}{\underset{―}{2y+x+\frac{\pi x}{2}}}$$

2-7b

Setter inn $x=1$ og $O=12$:

$$12=2y+1+\frac{\pi \cdot 1}{2}$$$$2y=12-1-\frac{\pi }{2}=11-\frac{\pi }{2}\approx 11-\mathrm{1,571}=\mathrm{9,429}$$$$y\approx 4,71\approx 4,7$$

Når $x=1$, er $y\approx \underset{―}{\underset{―}{4,7\mathrm{m}}}$.

2-7c

Arealet består av et rektangel og en halvsirkel:

$$A=x\cdot y+\frac{\pi r^2}{2}=1\cdot 4,7+\frac{\pi \cdot (0,5{)}^2}{2}=4,7+\frac{\pi }{8}\approx 4,7+0,39=5,09$$

Arealet er omtrent $\underset{―}{\underset{―}{5,1{\mathrm{m}}^2}}$.

2-7d

Fra $O=12$ får vi $y={\displaystyle \frac{12-x(1+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})}{2}}$.

Arealet er $A=xy+{\displaystyle \frac{\pi x^2}{8}}$.

$x$ (m)	$y$ (m)	$A$ (m²)
$0,5$	$5,36$	$2,78$
$1,0$	$4,71$	$5,11$
$1,5$	$4,07$	$6,99$
$2,0$	$3,43$	$8,43$
$2,5$	$2,79$	$9,42$
$3,0$	$2,14$	$9,97$
$3,5$	$1,50$	$10,06$
$4,0$	$0,86$	$9,72$

Tabellen viser at størst areal oppnås et sted mellom $x=3$ og $x=4$.

2-7e

Fra $O=12$ uttrykker vi $y$ som funksjon av $x$:

$$y=\frac{12-x(1+\frac{\pi }{2})}{2}$$

Setter inn i arealformelen og forenkler:

$$A(x)=x\cdot y+\frac{\pi x^2}{8}=6x-x^2\cdot \frac{4+\pi }{8}$$

Vi tegner grafen til $A(x)$ i GeoGebra og leser av toppunktet:

![Graf av $A(x) = 6x - x^2 \cdot \frac

Fra grafen leser vi at toppunktet er $(3,36,10,08)$, altså $x\approx 3,36\mathrm{m}$ og $A\approx 10,1{\mathrm{m}}^2$.

Tilhørende $y$:

$$y=\frac{12-3,36\cdot (1+\frac{\pi }{2})}{2}\approx 1,68\mathrm{m}$$

Det største arealet er $\underset{―}{\underset{―}{\approx 10,1{\mathrm{m}}^2}}$, og det oppnås når $x\approx 3,36\mathrm{m}$.