1P eksamen V2024

Oversikt

Del 1 — 1 time — uten hjelpemidler

Oppgave	Navn	Temaer	Løsningsforslag
1-1	Verdens befolkning og promille	prosentregning, store tall	❌
1-2	Ada sparer med eksponentialfunksjon	eksponentialfunksjoner, programmering	❌
1-4	Bremselengde og fart	formler, modellering, likninger	❌

Del 2 — 4 timer — med hjelpemidler

Oppgave	Navn	Temaer	Løsningsforslag
2-1	Modellering av bagettsalg	regresjon, modellering, derivasjon, optimering	❌
2-2	Gautes sparekonto	sparing, vekstfaktor	✔︎
2-3	Oljeproduksjon på norsk sokkel	standardform, store tall, prosentvis endring	❌
2-4	Jakob Ingebrigtsens løpsrekorder	gjennomsnitt, tallregning	❌
2-5	Knut og Sabrina tallfølge	mønstre, rekursiv sammenheng, argumentasjon	❌
2-6	Lufttrykk og kokepunkt for vann	potensfunksjon, eksponentiell vekst, modellering	❌
2-7	Skobutikk ta 3 betal for 2	prosentregning, økonomi	❌

Del 1

Oppgave 1-1

Verdens befolkning og promille

Anta at det på et tidspunkt vil bo 18 millioner mennesker i et land, og at dette vil tilsvare 2 promille av verdens befolkning.

Oppgave

Hvor stor vil verdens befolkning være på dette tidspunktet?

Fasit

Oppgave 1-2

Ada sparer med eksponentialfunksjon

Ada vil spare penger og har funnet ut at hun kan bruke funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = 20000 \cdot 1,048 5^{x}

for å regne ut hvor mye penger hun vil ha i banken om $x$ år.

Oppgave

Gi en praktisk tolkning av tallet 20 000 og av tallet 1,0485.

Ada har laget programmet nedenfor.

123456789def f(x):
    return 20000 * 1.0485 ** x

start = 0
slutt = 10

v = (f(slutt) - f(start))/(slutt - start)

print(v)

Oppgave

Hva forteller tallet som vil bli skrevet ut når hun kjører programmet?

Fasit

Oppgave 1-4

Bremselengde og fart

For å regne ut bremselengder på sommerføre kan vi bruke formelen

B = \frac{x^{2}}{2}

Her er $B$ bremselengde (meter), og $x$ er fart (km/h) delt på 10.

På nettsidene til Viking Redningstjeneste står det at en bil som kjører i $70 km / h$ , har en bremselengde på $24, 5 m$ .

Oppgave

Vis hvordan Viking Redningstjeneste kan ha regnet ut denne bremselengden.
Hvor fort kjører en bil som har en bremselengde på $40, 5 m$ ?

Fasit

Del 2

Oppgave 2-1

Modellering av bagettsalg

Tabellen nedenfor viser hvor mange bagetter en kantine har solgt hver av de siste sju ukene, og hvor stort overskudd salget har gitt.

Solgte bagetter	100	130	160	175	190	220	235
Overskudd (kroner)	1450	2300	3050	3365	3720	4140	4175

Oppgave

Bruk opplysningene ovenfor til å vise at funksjonen $O$ gitt ved
$O (x) = - 0, 09 x^{2} + 51, 04 x - 2776, 98$
er en god modell for hvor stort overskuddet en uke blir når kantinen produserer og selger $x$ bagetter i løpet av uken.
Hvor mange bagetter må kantinen produsere og selge i løpet av en uke, ifølge modellen $O$ , for at overskuddet skal bli størst mulig? Hvor stort blir dette overskuddet?
Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(100, O (100))$ og $(200, O (200))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret du får.
Bestem den momentane vekstfarten når $x = 235$ . Gi en praktisk tolkning av svaret du får.

Fasit

Oppgave 2-2

Gautes sparekonto

Oppgave a) og oppgave b) nedenfor skal du løse på to ulike måter. Du skal løse hver av deloppgavene

ved å gjøre beregninger
grafisk

For fem år siden satte Gaute inn sparepengene sine på en konto med en fast rente på $3, 25 %$ per år. I dag står det litt over $105 607$ kroner på kontoen.

Oppgave

Hvor mye vil det være på kontoen om fem år?
Hvor mye satte Gaute inn på kontoen for fem år siden?

Fasit

a) 123 920 kr
b) 90 000 kr

Løsningsforslag

Jeg lager først funksjonen $f (x) = 105 607 \cdot 1,032 5^{x}$ ut fra opplysningene i oppgaven (3,25 % rente tilsvarer vekstfaktoren 1,0325).

Grafisk løsning
For å løse oppgaven grafisk la jeg inn funksjonsuttrykket i GeoGebra og fant skjæringen med $x = - 5$ og $x = 5$ , se punkt $A$ og $B$ i utklippet.

Grafisk løsning fra GeoGebra

Beregnet løsning
For å løse oppgaven med beregning brukte jeg det samme funksjonsuttrykket og beregnet $f (5)$ og $f (- 5)$ i CAS, se skjermbildet.

Løsning med beregning i CAS

Vi runder av svarene til 90 000 kr og 123 920 kr.

Gaute satte inn 90 000 kroner for 5 år siden, og han kommer til å ha 123 920 kroner på kontoen om renta ikke endrer seg.

Oppgave 2-3

Oljeproduksjon på norsk sokkel

Fat er en enhet for volummåling av olje.

$1 fat \approx 158,987 liter$

I 2023 ble det i gjennomsnitt produsert $1,794$ millioner fat olje på norsk sokkel hvert døgn.

Oppgave

Omtrent hvor mange liter olje ble det produsert på norsk sokkel i 2023? Skriv svaret på standardform.

I 2022 ble det i gjennomsnitt produsert $1,685$ millioner fat hvert døgn.

Oppgave

Hvor mange prosent steg produksjonsmengden med fra 2022 til 2023?

Fasit

Oppgave 2-4

Jakob Ingebrigtsens løpsrekorder

Tabellen nedenfor viser noen av de personlige rekordene til friidrettsutøveren Jakob Ingebrigtsen.

Table: Jakob Ingebrigtsens personlige rekorder utendørs

Dato	Øvelse	Tid
01.09.2017	400 m	51,03
30.06.2020	800 m	1:46,44
16.07.2023	1500 m	3:27,14
16.09.2023	1 engelsk mil	3:43,73
08.09.2023	2000 m	4:43,13
17.09.2023	3000 m	7:23,63

Tidene er gitt i minutter (før kolon) og sekunder (etter kolon). For eksempel betyr 7:23,63 en tid på 7 minutter og 23,63 sekunder.

Alle løpene i tabellen er gjennomført på en bane der en runde er 400 meter lang.

Oppgave

Bestem den gjennomsnittlige rundetiden til Jakob Ingebrigtsen da han satte personlig rekord på 1500 meter.

Da Jakob Ingebrigtsen satte personlig rekord på 1 engelsk mil, holdt han en gjennomsnittsfart på omtrent $25, 89 km / h$ .

Oppgave

Vis hvordan vi kan bruke opplysningene om Jakob sitt rekordløp til å avgjøre omtrent hvor mange meter det er i 1 engelsk mil.

Fasit

Oppgave 2-5

Knut og Sabrina tallfølge

Knut og Sabrina jobber med tallfølgen

2, 5, 11, 23, 47, \dots

Knut

Jeg tror jeg har oppdaget et mønster, og jeg er nokså sikker på at alle leddene bortsett fra det første er oddetall.

Sabrina

Har du funnet en formel som kan gi deg et hvilket som helst ledd i tallfølgen?

Knut

Nei, det klarte jeg ikke, men jeg er nokså sikker på at jeg har funnet et mønster som gjør at jeg alltid kan finne det neste leddet i tallfølgen. Jeg er helt sikker på at det bare blir oddetall videre.

Oppgave

Ta utgangspunkt i det Knut og Sabrina sier og

beskriv et mønster for tallfølgen
argumenter for at alle leddene i tallfølgen bortsett fra det første er oddetall

Fasit

Oppgave 2-6

Lufttrykk og kokepunkt for vann

Info om lufttrykk

Lufttrykk måles ofte i hektopascal (hPa).
Jo høyere over havet vi befinner oss, jo lavere er lufttrykket.
Lufttrykket ved havets overflate er ca. 1000 hPa.

Når lufttrykket er lavere enn 1000 hPa, vil kokepunktet for vann være lavere enn $100 ° C$ . Se tabellen nedenfor.

Lufttrykk (hPa)	Kokepunkt for vann ( $° C$ )
1000	100
500	81,4
200	60,1
80	41,5
40	29

Oppgave

Bestem en modell $K$ på formen
$K (x) = a \cdot x^{b}$
som tilnærmet viser sammenhengen mellom lufttrykket $x$ hPa og kokepunktet $K (x)$ $° C$ .

Ari

Betyr dette at det ikke går an å få egg hardkokte oppe på et høyt fjell? Et egg blir ikke hardkokt dersom temperaturen i vannet er lavere enn $85 ° C$ .

Lisa

Det kommer vel an på hvor høyt fjellet er?

Ari

Jeg vil lage en modell som viser hvor høyt lufttrykket er $x$ kilometer over havets overflate. Jeg har lært at lufttrykket minker med ca. 12 % per km.

Lisa

Jeg har lært at lufttrykket halveres for hver 5,5 km. Jeg vil ta utgangspunkt i dette og lage en modell på samme form som den du lager, Ari.

Oppgave

Lag modellene for Ari og Lisa.
Omtrent hvor høyt over havet er det mulig å få egg hardkokte?

Fasit

Oppgave 2-7

Skobutikk ta 3 betal for 2

Yellow-box

TA 3 PAR SKO, BETAL FOR 2 PAR

Vi spanderer det rimeligste paret

Du har bestemt deg for å benytte et «Ta 3, betal for 2»-tilbud i en skobutikk. Du trenger bare to par sko selv, men du tar med deg en venn som også trenger et par sko.

Du velger et par sko som koster $800$ kroner, og et par sko som koster $1550$ kroner. Vennen din velger et par sko som koster $1350$ kroner.

Oppgave

Vis hvordan du kan bruke prosentregning til å bestemme hvor mye hver av dere bør betale. Begrunn framgangsmåten din, og forklar hvordan du har tenkt.