Kjøttdeig, pris og prosent

En butikk selger pakker med karbonadedeig og pakker med kyllingkjøttdeig.

	Karbonadedeig	Kyllingkjøttdeig
Vekt	400 g	600 g
Pris	80 kroner	60 kroner

Frida påstår at karbonadedeig koster dobbelt så mye per kilogram som kyllingkjøttdeig.

Fredrik påstår at en pakke karbonadedeig koster 25 % mer enn en pakke kyllingkjøttdeig.

Fasit

a) 20 kr, 40 kr, 200 kr
b) Frida har rett – karbonadedeig koster 200 kr/kg, kyllingkjøttdeig 100 kr/kg
c) Fredrik tar feil – karbonadedeig er ca. 33,3 % dyrere per pakke, ikke 25 %

Løsningsforslag

1-1a

Karbonadedeig koster 80 kr for 400 g. Vi finner prisen for de ulike mengdene:

$$\frac{80\mathrm{kr}}{400\mathrm{g}}=0,20\mathrm{kr}/\mathrm{g}$$

Karbonadedeig
Vekt (g)	100	200	400	1000
Pris (kroner)	20	40	80	200

1-1b

Vi finner kiloprisen for hvert produkt:

• Karbonadedeig: ${\displaystyle \frac{80\mathrm{kr}}{400\mathrm{g}}}={\displaystyle \frac{80\mathrm{kr}}{0,4\mathrm{kg}}}=200\mathrm{kr}/\mathrm{kg}$
• Kyllingkjøttdeig: ${\displaystyle \frac{60\mathrm{kr}}{600\mathrm{g}}}={\displaystyle \frac{60\mathrm{kr}}{0,6\mathrm{kg}}}=100\mathrm{kr}/\mathrm{kg}$

Siden $200=2\cdot 100$, er karbonadedeig nøyaktig dobbelt så dyrt per kilogram som kyllingkjøttdeig.

Frida sin påstand er riktig.

1-1c

Vi finner hvor mange prosent dyrere karbonadedeig er enn kyllingkjøttdeig per pakke:

$$\frac{80-60}{60}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{20}{60}\cdot 100\mathrm{\%}\approx 33,3\mathrm{\%}$$

En pakke karbonadedeig koster omtrent 33,3 % mer enn en pakke kyllingkjøttdeig.

Fredrik sin påstand er ikke riktig. En pakke karbonadedeig koster ca. $\underset{―}{\underset{―}{33,3\mathrm{\%}}}$ mer enn en pakke kyllingkjøttdeig, ikke 25 %.

Ole sin høyde og vekstdiagram

Hver gang Ole har fødselsdag, måler foreldrene hvor høy han er. Diagrammet under viser hvor mange centimeter høyden til Ole har økt med fra han ble ett til han ble to år, fra han ble to til han ble tre år, og så videre.

Da Ole ble ett år, var han 75 cm høy.

Formelen under brukes til å beregne hvor høy en gutt kan forvente å bli som voksen.

$$\text{forventet høyde}=\frac{(\text{mors høyde}+13\text{ cm})+\text{fars høyde}}{2}$$

Moren til Ole er 167 cm høy, og faren er 180 cm høy.

William sier at moren og faren hans er like høye.

Fasit

a) $107\mathrm{cm}$
b) $180\mathrm{cm}$
c) William kan forvente å bli høyere enn faren (6,5 cm høyere)

Løsningsforslag

1-2a

Fra diagrammet leser vi av Ole sin vekst per år:

Periode	Vekst
1–2 år	12 cm
2–3 år	7 cm
3–4 år	7 cm
4–5 år	6 cm

Total vekst fra 1 til 5 år:

$$12+7+7+6=32\mathrm{cm}$$

Høyde ved 5 år:

$$75+32=107\mathrm{cm}$$

Ole var $\underset{―}{\underset{―}{107\mathrm{cm}}}$ høy da han ble 5 år.

1-2b

Vi bruker formelen med mors høyde 167 cm og fars høyde 180 cm:

$$\text{forventet høyde}=\frac{(167+13)+180}{2}=\frac{180+180}{2}=\frac{360}{2}=180\mathrm{cm}$$

Ole kan forvente å bli $\underset{―}{\underset{―}{180\mathrm{cm}}}$ høy som voksen.

1-2c

William sier at mor og far er like høye. Vi kaller denne høyden $h$. Da gir formelen:

$$\text{forventet høyde}=\frac{(h+13)+h}{2}=\frac{2h+13}{2}=h+6,5$$

William kan altså forvente å bli $6,5\mathrm{cm}$ høyere enn foreldrene.

William kan forvente å bli høyere enn faren.

Brus i glass og daglig væskebehov

Kari har $1,5\mathrm{L}$ brus. Hun skal fylle brusen i glass. I hvert glass skal det være $2,5\mathrm{dL}$.

Tobias lurer på hvor mye vann han bør drikke hver dag. Han finner ulike svar på ulike nettsider. På én nettside finner han teksten nedenfor.

Tobias veier 70 kg.

Fasit

a) 6 glass
b) 2,1 L

Løsningsforslag

1-3a

Vi gjør om til samme enhet. $1,5\mathrm{L}=15\mathrm{dL}$. Deretter deler vi:

$$\frac{15\mathrm{dL}}{2,5\mathrm{dL}}=6$$

Kari kan fylle $\underset{―}{\underset{―}{6\mathrm{glass}}}$.

1-3b

Vi bruker formelen fra nettsiden:

$$30\mathrm{mL}/\mathrm{kg}\cdot 70\mathrm{kg}=2100\mathrm{mL}=2,1\mathrm{L}$$

Tobias bør drikke $\underset{―}{\underset{―}{2,1\mathrm{L}}}$ vann per døgn ifølge nettsiden.

Strømproduksjon, trekant og resistans

Diagrammet under viser et øyeblikksbilde av strømproduksjonen i Sverige en dag i september. Totalproduksjonen av elektrisk strøm var da omtrent 20 MW. Figuren viser fordelingen mellom kjernekraft, vannkraft, varmekraft og vindkraft.

Figuren under viser en rettvinklet trekant hvor $\sin u=0,5$ og den minste kateten $BC=7,5\mathrm{cm}$.

Totalresistansen $R_T$ i en parallellkobling med to motstander $R_1$ og $R_2$ er gitt ved denne formelen:

$$R_T=\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}$$

Fasit

a) 8 MW
b) $AC=15\mathrm{cm}$
c) $R_T=3,2\mathrm{\Omega }$

Løsningsforslag

1-4a

Fra kakediagrammet ser vi at vannkraft utgjør 40 % av totalproduksjonen:

$$0,40\cdot 20\mathrm{MW}=8\mathrm{MW}$$

$\underset{―}{\underset{―}{8\mathrm{MW}}}$ kom fra vannkraft.

1-4b

Sinus er definert som $\sin u={\displaystyle \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}}}={\displaystyle \frac{BC}{AC}}$.

Vi løser for $AC$:

$$AC=\frac{BC}{\sin u}=\frac{7,5\mathrm{cm}}{0,5}=15\mathrm{cm}$$

Hypotenusen er $\underset{―}{\underset{―}{AC=15\mathrm{cm}}}$.

1-4c

Vi setter inn $R_1=16\mathrm{\Omega }$ og $R_2=4\mathrm{\Omega }$ i formelen:

$$R_T=\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}=\frac{16\cdot 4}{16+4}=\frac{64}{20}=3,2\mathrm{\Omega }$$

Totalresistansen er $\underset{―}{\underset{―}{R_T=3,2\mathrm{\Omega }}}$.

Inverter og effektberegning

En inverter omformer 12 V likestrøm, for eksempel fra et bilbatteri, til 230 V vekselstrøm. I denne oppgaven kan du få behov for formelen

$$P=U\cdot I$$

• $P$ er effekt i watt.
• $U$ er spenning i volt.
• $I$ er strømstyrke i ampere.

Inverteren har en virkningsgrad på 85 prosent, noe som betyr at 15 prosent av strømmen fra batteriet går tapt som varme og ikke blir omgjort til vekselstrøm.

Batteriet som er koblet til inverteren, vil etter en stund levere maksimalt 55 ampere.

Du har behov for $600\mathrm{W}$ med $230\mathrm{V}$ vekselstrøm.

Fasit

a) 25 A
b) Batteriet må oppgraderes – det trengs 58,8 A, men batteriet leverer maks 55 A

Løsningsforslag

2-1a

Vi bruker formelen $P=U\cdot I$ og løser for $I$:

$$I=\frac{P}{U}=\frac{300\mathrm{W}}{12\mathrm{V}}=25\mathrm{A}$$

Det går $\underset{―}{\underset{―}{25\mathrm{A}}}$ fra $12\mathrm{V}$-batteriet.

2-1b

Vi trenger 600 W ut fra inverteren. Med virkningsgrad på 85 % må batteriet levere mer inn enn det vi får ut:

$$P_{\text{inn}}=\frac{600\mathrm{W}}{0,85}\approx 705,9\mathrm{W}$$

Strømstyrken som trengs fra batteriet:

$$I=\frac{P_{\text{inn}}}{U}=\frac{705,9\mathrm{W}}{12\mathrm{V}}\approx 58,8\mathrm{A}$$

Batteriet leverer maksimalt $55\mathrm{A}$, men vi trenger $58,8\mathrm{A}$.

Batteriet kan ikke levere nok strøm. Det må oppgraderes.

Mobiltelefon, lagring og abonnement

Petter sin mobiltelefon har igjen 152 GB med lagringsplass for data.

Et vanlig bilde opptar $7,5\mathrm{MB}$ lagringsplass.

Petter ønsker å laste opp 100 bilder fra telefonen sin over nettet, til en ekstern server, på under to minutter.

Petter bruker mobilen sin til ulike ting.

• I gjennomsnitt bruker han 300 MB data hver dag til sosiale medier og vanlig surfing på internett.
• I tillegg strømmer han musikk 3 timer per dag. Dette krever 120 kbit per sekund (kbit/s).

Petter skal velge et mobilabonnement, og han ønsker ikke å betale mer enn han må.

Abonnement	Small	Medium	Large	X-Large
Størrelse	4 GB/måned	8 GB/måned	16 GB/måned	30 GB/måned
Pris	150 kr	250 kr	299 kr	350 kr

Fasit

a) 20 267 bilder
b) 50 Mbit/s
c) Large (16 GB) til 299 kr/måned

Løsningsforslag

2-2a

Vi gjør om 152 GB til MB (1 GB = 1000 MB):

$$152\mathrm{GB}=152\cdot 1000\mathrm{MB}=152000\mathrm{MB}$$

Antall bilder:

$$\frac{152000\mathrm{MB}}{7,5\mathrm{MB}}\approx 20267$$

Petter får plass til maksimalt $\underset{―}{\underset{―}{20267\text{bilder}}}$ til.

2-2b

100 bilder opptar $100\cdot 7,5=750\mathrm{MB}$ lagringsplass. Vi gjør om til megabit (1 MB = 8 Mbit):

$$750\mathrm{MB}=750\cdot 8=6000\mathrm{Mbit}$$

Under 2 minutter betyr under 120 sekunder. Nødvendig overføringshastighet:

$$\frac{6000\mathrm{Mbit}}{120\mathrm{s}}=50\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$$

Petter trenger en internettilkobling på minst $\underset{―}{\underset{―}{50\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}}}$.

2-2c

Vi finner Petters dataforbruk per dag:

Sosiale medier og surfing:

$$300\mathrm{MB}/\mathrm{dag}$$

Musikk: 120 kbit/s i 3 timer = 3 timer = $3\cdot 3600=10800$ sekunder:

$$120\mathrm{kbit}/\mathrm{s}\cdot 10800\mathrm{s}=1296000\mathrm{kbit}=\frac{1296000}{8\cdot 1000}\mathrm{MB}=162\mathrm{MB}/\mathrm{dag}$$

Totalt per dag:

$$300+162=462\mathrm{MB}/\mathrm{dag}$$

Totalt per måned (30 dager):

$$462\cdot 30=13860\mathrm{MB}=13,86\mathrm{GB}$$

Petter bruker ca. 13,9 GB per måned, så Medium (8 GB) er ikke nok. Large (16 GB) til 299 kr er det billigste abonnementet som dekker behovet.

Jeg anbefaler abonnementet Large på 16 GB til $\underset{―}{\underset{―}{299\text{kr/måned}}}$.

Transformator med vindinger og effekttrekant

En transformator har en kapasitet på 10 kVA. Primærspenningen på transformatoren er 400 V, og sekundærspenningen er 230 V. Primærspolen har 10 000 vindinger.

I en transformator er sammenhengen mellom spenninger og antall vindinger slik:

$$\frac{\text{spenning primærside}}{\text{spenning sekunderside}}=\frac{\text{antall primærvindinger}}{\text{antall sekundærvindinger}}$$

Til transformatoren blir det koblet en belastning på 5000 W, som tilsvarer $P$ i effekttrekanten. Den tilsynelatende effekten $S$ er da 6500 kVA.

• $Q$ = reaktiv effekt
• $P$ = aktiv effekt
• $S$ = tilsynelatende effekt

Den reaktive effekten $Q$ i transformatoren kan beregnes med to ulike matematiske metoder.

Fasit

a) 5750 vindinger
b) $39,7\mathrm{°}$
c) Pytagoras eller trigonometri med for eksempel tangens. 4153 VAr.

Løsningsforslag

a

Vi bruker forholdet mellom spenning og antall vindinger:

$$\frac{400}{230}=\frac{10000}{n_2}$$

Vi løser for $n_2$:

$$n_2=\frac{10000\cdot 230}{400}=\frac{2300000}{400}=5750$$

Sekundærspolen har $\underset{―}{\underset{―}{5750\text{vindinger}}}$.

b

Effekttrekanten har $P=5000\mathrm{W}$ og $S=6500\mathrm{VA}$.

Vinkelen $\varphi$ mellom $S$ og $P$ finnes ved:

$$\cos \varphi =\frac{P}{S}=\frac{5000}{6500}\approx \mathrm{0,769}$$$$\varphi =\arccos (\mathrm{0,769})\approx 39,7°$$

Effekttrekanten ser slik ut (med $Q$ beregnet i neste deloppgave):

$$\begin{array}{rl}S& =6500\mathrm{VA}\\ P& =5000\mathrm{W}\\ \varphi & \approx 39,7°\end{array}$$

Vinkelen mellom tilsynelatende og aktiv effekt er $\underset{―}{\underset{―}{\varphi \approx 39,7°}}$.

c

Den reaktive effekten $Q$ kan beregnes med to metoder:

Metode 1 – Pytagoras:

$$Q=\sqrt{S^2-P^2}=\sqrt{{6500}^2-{5000}^2}=\sqrt{42250000-25000000}=\sqrt{17250000}\approx 4153\mathrm{VAr}$$

Metode 2 – Tangens:

$$Q=P\cdot \tan \varphi =5000\cdot \tan (39,7°)\approx 5000\cdot \mathrm{0,831}\approx 4153\mathrm{VAr}$$

Den reaktive effekten er $\underset{―}{\underset{―}{Q\approx 4153\mathrm{VAr}}}$.

Fart, distanse og gjennomsnittsfart

Sammenhengen mellom strekning $s$ kilometer (km), gjennomsnittsfart $v$ kilometer per time (km/h) og tid $t$ timer (h) er gitt ved formelen

$$s=v\cdot t$$

Camilla kjører moped til skolen. En dag kjører hun med en gjennomsnittsfart på $40\mathrm{km}/\mathrm{h}$ og bruker 15 minutter.

Kasper har bil. En dag sjekker han kilometerstand og klokkeslett både når han starter en kjøretur, og når han avslutter turen.

	Start	Slutt
Kilometerstand	110 509 km	110 551 km
Klokkeslett	17:35	18:13

På veien Kasper kjører for å komme til jobb, er fartsgrensen senket fra 80 km/h til 60 km/h. Kasper tror han taper mye tid på grunn av dette.

Fasit

a) 10 km
b) ca. 66,3 km/h
c) 2 minutter lenger

Løsningsforslag

2-4a

Vi setter inn i formelen $s=v\cdot t$. Merk at 15 minutter = ${\displaystyle \frac{15}{60}}=0,25\mathrm{h}$:

$$s=40\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 0,25\mathrm{h}=10\mathrm{km}$$

Strekningen Camilla kjører til skolen er $\underset{―}{\underset{―}{10\mathrm{km}}}$. Dette virker rimelig – 10 km er en typisk avstand mellom et sted med moped på 15 minutter.

2-4b

Vi finner distansen og tidsbruken:

• Distanse: $110551-110509=42\mathrm{km}$
• Tid: fra 17:35 til 18:13 = 38 minutter = ${\displaystyle \frac{38}{60}}\mathrm{t}$

Gjennomsnittsfarten:

$$v=\frac{s}{t}=\frac{42\mathrm{km}}{{\displaystyle \frac{38}{60}}\mathrm{h}}=\frac{42\cdot 60}{38}\approx 66,3\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Gjennomsnittsfarten var $\underset{―}{\underset{―}{\approx 66,3\mathrm{km}/\mathrm{h}}}$.

2-4c

Vi beregner tidsbruken ved begge fartsgrenser for en strekning på 8 km:

$$t_{80}=\frac{8\mathrm{km}}{80\mathrm{km}/\mathrm{h}}=0,1\mathrm{h}=6\min$$$$t_{60}=\frac{8\mathrm{km}}{60\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\frac{8}{60}\mathrm{h}=8\min$$

Kasper bruker 2 minutter lenger ved 60 km/h.

Kasper bruker $\underset{―}{\underset{―}{2\mathrm{minutter}}}$ lenger ved 60 km/h enn ved 80 km/h.

Sara vurderer å kjøpe mopedbil

Sara blir snart 16 år. Hun vurderer å kjøpe en ny mopedbil. Mopedbilen koster 162 000 kroner. Sara har 50 000 kroner på en sparekonto i banken.

Sara regner med å få disse utgiftene hver måned dersom hun kjøper mopedbilen:

• 416 kroner for forsikring
• 550 kroner for diesel
• 750 kroner for service og vedlikehold

Sara får 800 kroner i lommepenger hver måned. I tillegg har hun deltidsjobb med 139 kroner i timelønn. Hun jobber 25 timer hver måned. Hun har frikort og betaler ikke skatt.

Onkelen til Sara synes ikke det er lurt å kjøpe ny mopedbil og sier dette:

Sara er usikker på om hun har råd til å kjøpe og bruke mopedbilen. Hun har noen spørsmål:

Fasit

Lånebehov: 112 000 kr. Månedlig kostnad m/lån: 3 916 kr. Igjen til andre ting: 359 kr/mnd. Salgsverdi etter 2 år: 111 456 kr. Onkelen tjener 800 kr.

Løsningsforslag

Vi går gjennom Saras spørsmål ett for ett.

Hvor mye må Sara låne?

Sara har 50 000 kr. Mopedbilen koster 162 000 kr:

$$162000-50000=112000\mathrm{kr}$$

Sara må låne 112 000 kr av onkelen.

Månedlige inntekter:

Inntektskilde	Beløp
Lommepenger	800 kr
Deltidsjobb (139 kr × 25 t)	3 475 kr
Totalt	4 275 kr

Månedlige utgifter med lån:

Utgift	Beløp
Forsikring	416 kr
Diesel	550 kr
Service og vedlikehold	750 kr
Avdrag til onkel	2 200 kr
Totalt	3 916 kr

Hvor mye har Sara igjen til andre ting?

$$4275-3916=359\mathrm{kr}/\mathrm{mnd}$$

Det er lite å leve på. Sara har bare 359 kr igjen per måned til alt annet.

Hva vil mopedbilen være verdt når Sara selger den om to år?

Onkelen sier at verdien går ned med 20 % det første året, og 14 % det andre:

$$\begin{array}{rl}\text{Etter år 1}& =162000\cdot 0,80=129600\mathrm{kr}\\ \text{Etter år 2}& =129600\cdot 0,86=111456\mathrm{kr}\end{array}$$

Sara kan forvente å selge bilen for ca. 111 500 kr.

Hvor mye tjener onkelen?

Sara betaler totalt til onkelen:

$$2200\cdot 24+60000=52800+60000=112800\mathrm{kr}$$

Onkelen lånte ut 112 000 kr og får tilbake 112 800 kr:

$$112800-112000=800\mathrm{kr}$$

Onkelen tjener $\underset{―}{\underset{―}{800\mathrm{kr}}}$ på å låne Sara penger. Det er et svært beskjedent beløp for et to-årig lån på 112 000 kr, noe som viser at onkelens avtale er gunstig for Sara.

Vurdering:

Sara har veldig lite å leve på (359 kr/måned) dersom hun kjøper mopedbilen. Et uventet utgift kan sette henne i en vanskelig situasjon. Onkelen tjener minimalt på lånet, men poenget hans er trolig at Sara har for lite til overs til daglige utgifter. Det kan være lurt å vente med å kjøpe mopedbil til hun har mer spart opp eller høyere inntekt.