Plantejord fra to butikker

To butikker selger sekker med plantejord.

	Butikk A	Butikk B
Innhold	40 liter per sekk	40 liter per sekk
Pris	59 kroner per sekk	60 kroner per sekk
Tilbud	Kjøp 4 sekker for 199 kroner	20 % rabatt hvis du kjøper 4 sekker

Fasit

a) $177\mathrm{kr}$
b) Butikk B: $192\mathrm{kr}$ (billigst)

Løsningsforslag

1-1a

120 liter plantejord tilsvarer $120÷40=3$ sekker.

Tilbudet i butikk A gjelder kun ved kjøp av 4 sekker, så vi betaler ordinær pris:

$$3\cdot 59=\underset{―}{\underset{―}{177\mathrm{kr}}}$$

Du må betale $\underset{―}{\underset{―}{177\mathrm{kr}}}$ for 120 liter plantejord i butikk A.

1-1b

160 liter tilsvarer $160÷40=4$ sekker.

Butikk A med tilbud: $\underset{―}{\underset{―}{199\mathrm{kr}}}$

Butikk B med 20 % rabatt:

$$4\cdot 60\cdot (1-0,20)=240\cdot 0,80=\underset{―}{\underset{―}{192\mathrm{kr}}}$$

Det er billigst å handle i butikk B, hvor du betaler $\underset{―}{\underset{―}{192\mathrm{kr}}}$ for 160 liter plantejord (mot 199 kr i butikk A).

Størst prosentvis prisøkning

Prisen for en vare A øker fra 120 kroner til 180 kroner. Prisen for en vare B øker fra 16 kroner til 26 kroner.

Fasit

Vare B øker prosentvis mest med $62,5\mathrm{\%}$ (vare A: $50\mathrm{\%}$)

Løsningsforslag

Vi regner ut den prosentvise prisøkningen for begge varene:

Vare A:

$$\frac{180-120}{120}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{60}{120}\cdot 100\mathrm{\%}=50\mathrm{\%}$$

Vare B:

$$\frac{26-16}{16}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{10}{16}\cdot 100\mathrm{\%}=62,5\mathrm{\%}$$

Vare B har størst prosentvis prisøkning med $\underset{―}{\underset{―}{62,5\mathrm{\%}}}$, selv om den nominelle økningen (10 kr) er lavere enn for vare A (60 kr).

Merverdiavgift i Frankrike

Louise skal handle klær i en butikk i Frankrike. Der er sammenhengen mellom pris uten merverdiavgift og pris med merverdiavgift gitt ved formelen

$$P=\frac{6\cdot U}{5}$$

• $P$ er pris med merverdiavgift
• $U$ er pris uten merverdiavgift

Louise ser på formelen og stiller to spørsmål.

Fasit

Genser: $12\mathrm{euro}$ med mva. Bukse: $25\mathrm{euro}$ uten mva.

Løsningsforslag

Formelen er $P={\displaystyle \frac{6\cdot U}{5}}$.

Spørsmål 1 – genser:

Vi setter inn $U=10$:

$$P=\frac{6\cdot 10}{5}=\frac{60}{5}=\underset{―}{\underset{―}{12\mathrm{euro}}}$$

Genseren koster $\underset{―}{\underset{―}{12\mathrm{euro}}}$ med merverdiavgift.

Spørsmål 2 – bukse:

Vi kjenner $P=30$ og løser for $U$:

$$30=\frac{6\cdot U}{5}⟹U=\frac{30\cdot 5}{6}=\frac{150}{6}=\underset{―}{\underset{―}{25\mathrm{euro}}}$$

Prisen for buksen uten merverdiavgift er $\underset{―}{\underset{―}{25\mathrm{euro}}}$.

Iskremmaskin og effektberegning

Sammenhengen mellom effekt $P$, spenning $U$ og strøm $I$ er

$$P=U\cdot I$$

En iskremmaskin skal kobles til det vanlige 230 V anlegget i huset ditt. Det går en strøm på $0,5\mathrm{A}$ gjennom maskinen når den er i bruk.

En annen iskremmaskin har et effektbehov på 200 W. Strømmen koster omtrent 1 krone per kWh.

Fasit

a) $P=115\mathrm{W}$
b) $200\mathrm{kr}$

Løsningsforslag

1-4a

$$P=U\cdot I=230\cdot 0,5=\underset{―}{\underset{―}{115\mathrm{W}}}$$

Effektbehovet til iskremmaskinen er $\underset{―}{\underset{―}{115\mathrm{W}}}$.

1-4b

200 W = 0,2 kW. Energiforbruket over 1000 timer er:

$$E=P\cdot t=0,2\mathrm{kW}\cdot 1000\mathrm{h}=200\mathrm{kWh}$$

Med en strømpris på 1 kr/kWh:

$$\text{Kostnad}=200\mathrm{kWh}\cdot 1\mathrm{kr}/\mathrm{kWh}=\underset{―}{\underset{―}{200\mathrm{kr}}}$$

Det vil koste $\underset{―}{\underset{―}{200\mathrm{kr}}}$ om maskinen brukes i 1000 timer.

Bruke definisjonene av sinus og cosinus til å sette opp forhold

I en trekant med vinkler $30\mathrm{°}$, $60\mathrm{°}$ og $90\mathrm{°}$ er hypotenusen dobbelt så lang som den minste kateten. Hypotenusen $AC$ i trekanten nedenfor er 10 cm lang.

En elev ser på figuren og stiller seg to spørsmål:

Gjør beregninger og svar på spørsmålene til eleven. Husk å begrunne svarene dine.

Fasit

Spørsmål 1: $\sin 30°=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{10}=0,5$
Spørsmål 2: $AB=\cos 30°\cdot 10=0,87\cdot 10=8,7\mathrm{cm}$

Løsningsforslag

I en 30-60-90-trekant er hypotenusen dobbelt så lang som den korteste kateten (siden motstående 30°).

Spørsmål 1 – finne $\sin 30°$:

Siden hypotenusen $AC=10\mathrm{cm}$ og er dobbelt så lang som den korteste kateten, må:

$$BC=\frac{AC}{2}=\frac{10}{2}=5\mathrm{cm}$$

Sinus er definert som motstående katet delt på hypotenus. Vinkelen ved $A$ er $30°$, og motstående katet er $BC$:

$$\sin 30°=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{10}=\underset{―}{\underset{―}{0,5}}$$

Spørsmål 2 – finne lengden $AB$:

Cosinus er hosliggende katet delt på hypotenus. Vinkelen ved $A$ er $30°$, og hosliggende katet er $AB$:

$$\cos 30°=\frac{AB}{AC}⟹AB=\cos 30°\cdot AC=0,87\cdot 10=\underset{―}{\underset{―}{8,7\mathrm{cm}}}$$

Lengden $AB$ er $\underset{―}{\underset{―}{8,7\mathrm{cm}}}$.

Figuren viser en effekttrekant som viser forholdet mellom de tre ulike effektene i en elektrisk motor og fasevinkelen $\varphi$.

• $P_t$ er tilført effekt (W)
• $S$ er tilsynelatende effekt (VA)
• $Q$ er reaktiv effekt (VAr)
• $\varphi$ er fasevinkelen mellom $P_t$ og $S$

For en trefase elmotor er sammenhengen mellom tilført effekt $P_t$, spenning $U$, strømmen $I$ og $\cos \varphi$ lik

$$P_t=U\cdot I\cdot \cos \varphi \cdot \sqrt{3}$$

For en elmotor leser du på merkeskiltet at $U=230\mathrm{V}$, $I=7,5\mathrm{A}$ og $\cos \varphi =0,8$.

For en annen trefase elmotor er $P_t=2500\mathrm{W}$ og $S=3000\mathrm{VA}$

Virkningsgraden $\eta$ til en elmotor er forholdet mellom avgitt effekt $P_a$ og tilført effekt $P_t$.

$$\eta =\frac{P_a}{P_t}$$

Du får oppgitt følgende data om ytterligere to ulike elmotorer.

	$S$	$\eta$	$P_a$
Motor 1	1297 VA	0,7	800 W
Motor 2	2431 VA	0,8	1556 W

Fasit

a) 36,9º og 2390 W
b) 33,6º og 1658 VAr
c) Størst for motor 2 med 36,9º

Løsningsforslag

2-1a

Siden $\cos \varphi =0,8$ så må $\varphi ={\cos }^{-1}(0,8)=\underset{―}{\underset{―}{36,9\mathrm{°}}}$.

Den tilførte effekten er

$$P_t=U\cdot I\cdot \cos \varphi \cdot \sqrt{3}=230\cdot 7,5\cdot 0,8\cdot \sqrt{3}=\underset{―}{\underset{―}{2390\mathrm{W}}}$$

2-1b

Siden $\cos \varphi =\frac{P}{S}$ så er

$$\cos \varphi =\frac{2500}{3000}=\mathrm{0,833}3$$

Vi finner vinkelen ved å ta

$$\varphi ={\cos }^{-1}(\mathrm{0,833}3)=\underset{―}{\underset{―}{33,6\mathrm{°}}}$$

Den reaktive effekten er en av katetene i effekttrekanten, så vi kan bruke Pytagoras for å finne den

$$Q=\sqrt{S^2-P_t^2}=\sqrt{{3000}^2-{2500}^2}=\underset{―}{\underset{―}{1658\mathrm{VAr}}}$$

2-1c

For å finne fasevinkelen trenger vi (for eksempel) $S$ og $P_t$. I tabellen finner vi verdier for $S$ og for $\eta$ og $P_a$. Vi er nødt til å bruke $\eta$ og $P_a$ for å beregne $P_t$ for motorene.

$$\eta =\frac{P_a}{P_t}⟺P_t=\frac{P_a}{\eta }$$

For motor 1:

$$P_t=\frac{P_a}{\eta }=\frac{800}{0,7}=1143\mathrm{W}$$$$\cos \varphi =\frac{P_t}{S}=\frac{1143}{1297}=\mathrm{0,881}3$$$$\varphi ={\cos }^{-1}\left(\mathrm{0,881}3\right)=28,2\mathrm{°}$$

For motor 2:

$$P_t=\frac{P_a}{\eta }=\frac{1556}{0,8}=1945\mathrm{W}$$$$\cos \varphi =\frac{P_t}{S}=\frac{1945}{2431}=\mathrm{0,800}1$$$$\varphi ={\cos }^{-1}\left(\mathrm{0,800}1\right)=36,9\mathrm{°}$$

Fasevinkelen er størst for motor 2, hvor den er $\underset{―}{\underset{―}{36,9\mathrm{°}}}$.

Trine og digitale lagringsmedier

Trine undersøker utviklingen av ulike lagringsmedier for digitale data. I tabellen nedenfor vises fire ulike fysiske lagringsmedier: diskett, CD, Blu-ray og minnepenn.

Lagringsmedium	Diskett	CD	Blu-ray	Minnepenn
Lagringskapasitet	1,44 MB	650 MB	46,6 GB	1 TB

Formelen for overføringshastighet er

$$\text{overføringshastighet}=\frac{\text{datamengde}}{\text{tid}}$$

Husk: $1\mathrm{B}=8\mathrm{bit}$

På Spotify kan man strømme musikk via internett med en bitrate mellom 24 og 320 kbit/s.

På en CD-plate er det plass til 650 MB data, som gir 74 minutter med musikk.

Fasit

451 disketter på CD · 21 Blu-ray på 1 TB · 260 Mbit/s · 5,2 s · CD-bitrate 1171 kbit/s (høyere enn Spotify)

Løsningsforslag

Hvor mange disketter er det plass til på en CD?

$$\frac{650\mathrm{MB}}{1,44\mathrm{MB}}\approx \underset{―}{\underset{―}{451\text{ disketter}}}$$

Hvor mange Blu-ray-plater er det plass til på en minnepinne på 1 TB?

1 TB = 1000 GB:

$$\frac{1000\mathrm{GB}}{46,6\mathrm{GB}}\approx 21,5⟹\underset{―}{\underset{―}{21\text{ hele Blu-ray-plater}}}$$

Overføringshastighet for å laste ned en CD på 20 sekunder:

Datamengden er $650\mathrm{MB}=650\cdot 8\mathrm{Mbit}=5200\mathrm{Mbit}$.

$$\text{overføringshastighet}=\frac{5200\mathrm{Mbit}}{20\mathrm{s}}=\underset{―}{\underset{―}{260\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}}}$$

Tid med bredbånd på 1000 Mbit/s:

$$t=\frac{5200\mathrm{Mbit}}{1000\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}}=\underset{―}{\underset{―}{5,2\mathrm{s}}}$$

Bitraten på musikk fra en CD-plate:

$650\mathrm{MB}=5200\mathrm{Mbit}$ for 74 minutter $=74\cdot 60=4440$ sekunder:

$$\text{bitrate}=\frac{5200\mathrm{Mbit}}{4440\mathrm{s}}\approx \mathrm{1,171}\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}=\underset{―}{\underset{―}{1171\mathrm{kbit}/\mathrm{s}}}$$

Sammenlikning: Bitraten på en CD er omtrent 1171 kbit/s, som er langt høyere enn maksimal Spotify-bitrate på 320 kbit/s. En CD har altså vesentlig høyere lydkvalitet enn musikk strømmet via Spotify.

Eriks bilbruk

Erik vil kjøpe ny elbil. Elbilen koster 685 000 kroner. Regnearket nedenfor viser kostnadene han må regne med det første året dersom han kjører 15 000 km.

Erik har en brutto månedslønn på 42 000 kroner og betaler 29 % skatt.
Han leier en leilighet og betaler 16 000 kroner i husleie hver måned.

Erik kjører til jobb hver dag med den gamle bilen sin. Strekningen $s$ er 18 km.

En mandag kjører han til jobb med en gjennomsnittsfart $v_1=58\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

En fredag kjører han til jobb med en gjennomsnittsfart $v_2=65\mathrm{km}/\mathrm{h}$

Tidsforskjellen $t$ minutter mellom de to turene er gitt ved formelen

$$t=(\frac{1}{v_1}-\frac{1}{v_2})\cdot s\cdot 60$$

Fasit

a) Totale kostnader: $141300\mathrm{kr}$, per km: $9,42\mathrm{kr}/\mathrm{km}$
b) $2045\mathrm{kr}$ til overs – ikke fornuftig å kjøpe bilen
c) $\approx 2\min$ lengre tid på mandagen

Løsningsforslag

2-3a

Regnearket skal inneholde disse formlene i de grønne cellene:

• Totale kostnader første år (celle C11): =SUM(C5:C10)
• Kostnader per kjørte kilometer (celle C12): =C11/C2

Resultater:

$$\text{Totale kostnader}=64000+37900+14500+19100+3800+2000=\underset{―}{\underset{―}{141300\mathrm{kr}}}$$$$\text{Kostnader per km}=\frac{141300}{15000}=\underset{―}{\underset{―}{9,42\mathrm{kr}/\mathrm{km}}}$$

2-3b

Erik har en brutto månedslønn på 42 000 kr og betaler 29 % skatt:

$$\text{Netto lønn}=42000\cdot (1-0,29)=42000\cdot 0,71=29820\mathrm{kr}/\mathrm{mnd}$$

Bilkostnadene per måned er:

$$\frac{141300}{12}=11775\mathrm{kr}/\mathrm{mnd}$$

Erik har til overs hver måned:

$$29820-16000-11775=\underset{―}{\underset{―}{2045\mathrm{kr}}}$$

Erik vil ha $\underset{―}{\underset{―}{2045\mathrm{kr}}}$ til overs per måned etter bil og leilighet.

Det er svært lite å leve av – bare til mat, klær og andre utgifter. Med en netto lønn på rundt 30 000 kr og faste utgifter til bil og leilighet på nesten 28 000 kr, vil de fleste mene at det ikke er fornuftig å kjøpe elbilen.

2-3c

Vi setter inn i formelen med $v_1=58\mathrm{km}/\mathrm{h}$, $v_2=65\mathrm{km}/\mathrm{h}$ og $s=18\mathrm{km}$:

$$t=(\frac{1}{v_1}-\frac{1}{v_2})\cdot s\cdot 60=(\frac{1}{58}-\frac{1}{65})\cdot 18\cdot 60$$$$=\frac{65-58}{58\cdot 65}\cdot 1080=\frac{7}{3770}\cdot 1080\approx \underset{―}{\underset{―}{2\min }}$$

Erik bruker omtrent $\underset{―}{\underset{―}{2\mathrm{minutt}}}$ lengre tid på mandagen enn på fredagen.

Reise til Gran Canaria

Ida og Alex vil bestille en flyreise til Gran Canaria, se bildet.
Prisen er totalt 14 812 kroner tur-retur for to personer.

De vil bo på hotell på Gran Canaria. Prisen for ett rom til to personer er 84 euro per natt.

Utenom dette regner de med følgende utgifter per person per døgn når de er på Gran Canaria:

• mat og drikke: 35 euro
• transport: 6 euro
• aktiviteter: 15 euro
• diverse: 12 euro

Ida og Alex gjør seg noen tanker og stiller noen spørsmål.

Fasit

Alex budsjett: $1540\mathrm{euro}$, totalt $33107\mathrm{kr}$ inkl. fly
Ida yen: $\approx 1347\mathrm{yen}$ for $100\mathrm{kr}$
Alex renter: $\approx 3253\mathrm{kr}$ per år
Ida rente: effektiv rente $(\mathrm{1,018}3{)}^{12}-1\approx 24,3\mathrm{\%}$ (banken har rett)

Løsningsforslag

Flyreisen varer fra lørdag 21. desember til lørdag 28. desember – det vil si 7 netter.

Alex: Budsjett for ferien

Daglige utgifter per person: $35+6+15+12=68\mathrm{euro}$

Post	Beregning	Beløp
Hotell (7 netter)	$84\cdot 7$	$588\mathrm{euro}$
Daglige utgifter, 2 pers. (7 dager)	$2\cdot 68\cdot 7$	$952\mathrm{euro}$
Total euro		$1540\mathrm{euro}$

I norske kroner (kurs $1\mathrm{euro}=11,88\mathrm{kr}$):

$$1540\cdot 11,88=18295\mathrm{kr}$$

Inkludert flyreisen:

$$18295+14812=\underset{―}{\underset{―}{33107\mathrm{kr}}}$$

Ferien vil koste dem til sammen $\underset{―}{\underset{―}{33107\mathrm{kr}}}$.

Ida: Yen for 100 kroner

$100\mathrm{kr}$ omregnes til euro:

$$\frac{100}{11,88}\approx 8,42\mathrm{euro}$$

Deretter til yen ($1\mathrm{euro}=160\mathrm{yen}$):

$$8,42\cdot 160\approx \underset{―}{\underset{―}{1347\mathrm{yen}}}$$

100 kr tilsvarer omtrent $\underset{―}{\underset{―}{1347\mathrm{yen}}}$.

Alex: Renter på kredittkort

Renteberegning per måned: $14812\cdot \mathrm{0,018}3\approx 271\mathrm{kr}$

Over 12 måneder:

$$271\cdot 12\approx \underset{―}{\underset{―}{3253\mathrm{kr}}}$$

De må til sammen betale omtrent $\underset{―}{\underset{―}{3253\mathrm{kr}}}$ i renter i løpet av ett år.

Ida: Nominell vs. effektiv rente

Ida multipliserer månedlig rente med 12 og får nominell årsrente:

$$1,83\mathrm{\%}\cdot 12=21,96\mathrm{\%}$$

Banken oppgir effektiv årsrente, som tar hensyn til renters rente (månedlig compounding):

$$(\mathrm{1,018}3{)}^{12}-1\approx \mathrm{0,243}1=24,31\mathrm{\%}$$

Banken har rett. Effektiv rente på 24,3 % er riktig fordi renter legges til saldoen hver måned og det påløper renter på rentene. Idas beregning på 21,96 % er den nominelle renten, som ikke tar hensyn til denne renteeffekten.