1P-Y EL eksamen H2025

Oversikt

Del 1 — 1 time — uten hjelpemidler

Oppgave	Navn	Temaer	Løsningsforslag
1-1	Løping og maraton	lineær vekst, formler, tallregning	✔︎
1-2	Annuitetslån eller serielån	lån, diagram, tolke grafer	✔︎
1-3	Søvnbehov med formel	formler, lineær vekst, algebra	✔︎
1-4	Filstørrelser	bits og bytes	✔︎
1-5	Felix sine effektdiagrammer	trigonometri, elektrofag, effekttrekant	✔︎

Del 2 — 3 timer — med hjelpemidler

Oppgave	Navn	Temaer	Løsningsforslag
2-1	Solcellepaneler og trigonometri	trigonometri, elektrofag, geometri, prosentregning	❌
2-2	Effekt i vannkraftverk	formler, elektrofag, økonomi	❌
2-3	Ellas BSU-sparing	sparing, excel	✔︎
2-4	Fritt fall fra stupeplattform	formler, likninger	❌
2-5	Fylle svømmebasseng	formler, tallregning, samlet mengde	❌

Del 1

Oppgave 1-1

Løping og maraton

Jens løper på en tredemølle med en fart på $12 km / h$ .

Oppgave

Hvor langt løper Jens på 15 minutter?

En maraton er $42 195 m$ lang. I 2023 løp Kelvin Kiptum fra Kenya en maraton på tiden 2:00:35 (2 timer og 35 sekunder).

Oppgave

Omtrent hvor mange minutter brukte han på hver kilometer han løp?

Fasit

a) $3 km$
b) $\approx 3 \min / km$

Løsningsforslag

a

Jens løper $12 km / h$ i $15 \min = \frac{15}{60} t = 0, 25 t$ :

s = 12 \cdot 0, 25 = \underset{―}{\underset{―}{3 km}}

b

2 timer er 120 minutter. Hvis vi runder av så kan vi si at et maraton er omtrent 40 km. Da er farten

\frac{120}{40} = \underset{―}{\underset{―}{3 \min / km}}

Oppgave 1-2

Annuitetslån eller serielån

Nora har tatt opp et lån med en fast årlig rente. Lånet skal betales tilbake i løpet av 5 år, med én termin i året. Figuren nedenfor viser nedbetalingsplanen.

Nedbetalingsplan for Noras lån

Oppgave

Er lånet et annuitetslån, eller er det et serielån? Husk å begrunne svaret.
Hvor stort lån har Nora tatt opp?

Fasit

a) Serielån (avdraget er likt i alle terminer)
b) $50 000 kr$

Løsningsforslag

a

Fra figuren ser vi at avdraget (blå del) er like stort i alle 5 terminer. Det betyr at det er et $\underset{―}{\underset{―}{serielån}}$ .

Serielån vs. annuitetslån

I et serielån er avdraget likt i alle terminer. I et annuitetslån er det terminbeløpet (avdrag + renter) som er likt.

b

Avdraget er $10 000 kr$ per termin, og lånet betales over 5 terminer:

Lån = 10 000 \cdot 5 = \underset{―}{\underset{―}{50 000 kr}}

Oppgave 1-3

Søvnbehov med formel

Ida har sett på tall som viser hvor mange timer søvn barn fra 3 til 15 år trenger per døgn.

Hun har funnet ut at formelen

t = 14 - \frac{a}{3}

gir omtrentlig antall timer søvn som er anbefalt for et barn som er $a$ år gammelt.

$t$ er antall timer søvn.
$a$ er alderen til barnet.

Ida stiller to spørsmål:

Green-box

Hvor mange timer søvn trenger et 6 år gammelt barn ifølge formelen?

Blue-box

Hvor mange år er et barn som ifølge formelen trenger 10 timer søvn?

Oppgave

Svar på spørsmålene Ida stiller. Husk å begrunne svarene.

Fasit

$12 timer$ for 6-åring; $12 år$ for 10 timers søvn

Løsningsforslag

Vi bruker formelen $t = 14 - \frac{a}{3}$ .

Spørsmål 1: 6 år gammelt barn:

t = 14 - \frac{6}{3} = 14 - 2 = \underset{―}{\underset{―}{12 timer}}

Spørsmål 2: Barnet trenger 10 timer søvn, vi løser for $a$ :

10 = 14 - \frac{a}{3} ⟹ \frac{a}{3} = 4 ⟹ a = \underset{―}{\underset{―}{12 år}}

Oppgave 1-4

Bits og bytes

Husk: 1 byte = 8 bit

På PC-en din har du et bilde som har en filstørrelse på 6 megabyte (MB).

Oppgave

Hva blir filstørrelsen målt i megabit (Mbit)?

Du har et nett som er tregt. Det tar 16 sekunder for å laste ned en fil på 8 MB.

Oppgave

Hva er nedlastingshastigheten i Mbit/s for dette nettet?

Fasit

a) $48 Mbit$
b) $4 Mbit / s$

Løsningsforslag

a

Hver megabyte er 8 megabit. Derfor er $6 MB \cdot 8 = \underset{―}{\underset{―}{48 Mbit}}$

b

$8 MB$ blir overført på $16 s$ , det vil si $$\frac{8 \mathrm{~MB}}{16\mathrm{~s}}=0{,}5 \mathrm{~ MB/s}$$

Hver MB er fremdeles 8 Mbit, derfor får vi $0, 5 MB / s \cdot 8 = \underset{―}{\underset{―}{4 Mbit / s}}$

Oppgave 1-5

Felix får se to effektdiagrammer for to ulike enfase-elmotorer.
Hvert diagram er en grafisk framstilling av de tre effektene som en elmotor har:

$S$ er tilsynelatende effekt (VA)
$P$ er aktiv effekt (W)
$Q$ er reaktiv effekt (VAr)

Effektdiagrammer for to motorer

Felix stiller seg selv noen spørsmål om de ulike motorene:

Spørsmål 1

Hva er den aktive effekten $P$ for motor A når jeg bruker Pytagoras' setning for å regne den ut?

Felix får vite for motor $B$ er $\sin ϕ = 0, 5$ .

Spørsmål 2

Hva er den reaktive $Q$ for motor B når jeg bruker trigonometri for
å regne den ut?

Gjør beregninger og vurderinger, og svar på de spørsmålene som Felix stiller.

Fasit

$P = 4 kW$
$Q = 1, 1 kVAr$

Løsningsforslag

Green-box

$S^{2} = P^{2} + Q^{2} ⟺ P = \sqrt{S^{2} - Q^{2}}$

For motor A så har vi altså

P = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4

\underset{―}{\underset{―}{P = 4 kW}}

Yellow-box

Sinus er forholdet mellom motstående katet og hypotenus, altså forholdet mellom $Q$ og $S$ :

\sin ϕ = \frac{Q}{S} = \frac{1}{2}

Siden vi vet at $S = 2, 2 kVA$ så har vi

\begin{aligned} \frac{Q}{S} & = \frac{1}{2} \\ Q & = \frac{1}{2} \cdot S \\ Q & = S / 2 \\ Q & = \frac{2, 2}{2} \\ Q & = 1, 1 kVAr \end{aligned}

Den reaktive effekten $Q$ er 1,1 kVAr.

Del 2

Oppgave 2-1

Solcellepaneler og trigonometri

Solceller gjør om energien i sollys til elektrisk strøm. Det er installert 1400 solcellepaneler i en solcellepark. Den forventede årlige produksjonen av energi er 624 MWh.

Oppgave

Hvor mye energi forventes det at hvert solcellepanel produserer i løpet av ett år? Oppgi svaret i kWh.

Illustrasjonen nedenfor viser en skisse av ett av panelene i solcelleparken. Lengden av panelet er $1134 mm$ .

Denne lengden kan ses på som hypotenusen i en trekant.

Panelet skal monteres i en vinkel på $35 °$ .

Skisse av oppsett av solcellepanel

Oppgave

Hva blir lengden av $A B$ ? Hva blir lengden av $A C$ ?

Det skal monteres solcellepaneler på et privat hustak:

dimensjon: $1762 mm \times 1134 mm$
maksimal solinnstråling: $1000 W / m^{2}$
virkningsgrad: 21 %

Virkningsgrad

Virkningsgraden angir hvor stor andel av energien i solinnstrålingen som solcellepanelet klarer å omdanne til elektrisk energi.

Anlegget panelene skal levere strømmen til, kan ikke motta mer enn 15 kW.

Oppgave

Hvor mange hele paneler kan maksimalt monteres i dette anlegget?

Fasit

a) $\approx 446 kWh$
b) $A B \approx 929 mm$ , $A C \approx 650 mm$
c) 35 hele paneler

Løsningsforslag

a

Total produksjon $624 MWh = 624 000 kWh$ fordelt på 1400 paneler:

\frac{624 000}{1400} \approx \underset{―}{\underset{―}{446 kWh}}

b

Fra illustrasjonen er $C B = 1134 mm$ hypotenusen i rettvinklet trekant $A C B$ med rett vinkel i $A$ og vinkel $35 °$ ved $B$ :

A B = 1134 \cdot \cos (35 °) \approx \underset{―}{\underset{―}{929 mm}}

A C = 1134 \cdot \sin (35 °) \approx \underset{―}{\underset{―}{650 mm}}

c

Areal per panel: $1,762 \cdot 1,134 \approx 1,998 m^{2}$

Effekt per panel med maks solinnstråling og $21 %$ virkningsgrad:

P_{panel} = 1,998 \cdot 1000 \cdot 0, 21 \approx 419, 6 W

Maksimalt antall hele paneler:

n = \frac{15 000}{419, 6} \approx 35, 7 ⟹ \underset{―}{\underset{―}{35 hele paneler}}

Oppgave 2-2

Effekt i vannkraftverk

Det meste av strømmen i Norge blir produsert med vannkraft.

For å beregne hvor mye effekt et vannkraftverk produserer, brukes denne formelen:

P = η \cdot ρ \cdot g \cdot Q \cdot h

der

$P$ er effekt (W)
$η$ er virkningsgraden til anlegget
$ρ$ er tettheten av vann, alltid lik $1000 kg / m^{3}$
$g$ er tyngdeakselerasjon, alltid $9, 81 m / s^{2}$
$Q$ er vannstrøm ( $m^{3} / s$ )
$h$ er fallhøyde (m)

energimengde = effekt \cdot tid

En elektroklasse har besøkt et kraftverk hvor virkningsgrad, vannstrøm og fallhøyde er

$η = 0, 9$
$Q = 4, 5 m^{3} / s$
$h = 450 m$

Kraftverket har en avtale om å selge strømmen de produserer, for $0, 40$ kroner per kWh.

Elevene stiller noen spørsmål:

Blue-box

Hvor mange watt leverer kraftverket når det produserer strøm? Hvor mange kilowatt blir dette?

Yellow-box

Hvor stor blir energimengden i kWh hvis kraftverket produserer strøm i 48 timer?
Hvor mye vil kraftverket få betalt for denne strømmen?

Green-box

Dersom kraftverket øker produksjonen slik at $P = 25 000 kW$ , må vannstrømmen $Q$ økes.
Hva blir den nye verdien av $Q$ ?

Oppgave

Gjør beregninger og vurderinger, og svar på spørsmålene elevene stiller.

Fasit

$P \approx 17 879 kW$ ; $E \approx 858 000 kWh$ ; inntekt $\approx 343 000 kr$ ; $Q \approx 6, 29 m^{3} / s$

Løsningsforslag

Effekt:

P = η \cdot ρ \cdot g \cdot Q \cdot h = 0, 9 \cdot 1000 \cdot 9, 81 \cdot 4, 5 \cdot 450 \approx \underset{―}{\underset{―}{17 879 kW}}

Energimengde og inntekt på 48 timer:

E = 17 879 kW \cdot 48 t \approx 858 000 kWh

Inntekt = 858 000 \cdot 0, 40 \approx \underset{―}{\underset{―}{343 000 kr}}

Ny $Q$ når $P = 25 000 kW$ :

Q = \frac{P}{η \cdot ρ \cdot g \cdot h} = \frac{25 000 000}{0, 9 \cdot 1000 \cdot 9, 81 \cdot 450} \approx \underset{―}{\underset{―}{6, 29 m^{3} / s}}

Oppgave 2-3

Ellas BSU-sparing

Ella sparer til bolig på en BSU-konto.

Den 31. desember 2024 hadde hun 165 520 kroner på kontoen.
Hun setter inn 27 500 kroner på kontoen i starten av hvert år.
Renten er 6,25 % per år.

Oppgave

Lag et regneark som vist nedenfor. Lag formler i de grønne cellene slik at utregningene blir riktige.
Husk å vise formlene du bruker i regnearket.

Regneark som viser Ellas sparing

Ella er gift med Sverre. Paret ønsker å kjøpe en leilighet som koster 5 600 000 kroner.

De har totalt 620 000 kroner i sparepenger og må låne resten av pengene.
De kan maksimalt låne 5 ganger parets samlede årslønn.
Sverre har 512 000 kroner i årslønn.

Oppgave

Hvor mye må Ella minst ha i årslønn for at paret skal ha råd til å kjøpe leiligheten?

Fasit

a) –
b) $484 000 kr$

Løsningsforslag

a

Se regnearket.

Ellas sparing i BSU

b

Vi kan sette opp

Lånebehov: $5 600 000 - 620 000 = 4 980 000$
Minimum årslønn: $\frac{4 980 000}{5} = 996 000$
Ellas minste årslønn: $996 000 - 512 000 = 484 000$

Ella må minst ha 484 000 kr i årslønn.

Oppgave 2-4

Fritt fall fra stupeplattform

Oscar og Maja er i en svømmehall. De hopper fra stupeplattformer og måler tiden det tar å falle ned til vannflaten.

For å regne ut farten Oscar og Maja treffer vannflaten med, kan vi bruke disse to formlene:

Farten etter $t$ sekunder i lufta blir

v = 9, 8 \cdot t

(1)

Farten til en som hopper fra høyden $h$ meter, blir

v = \sqrt{2 \cdot 9, 8 \cdot h}

(2)

$v$ er farten i meter per sekund (m/s).
$t$ er tiden i sekunder (s).
$h$ er høyden i meter (m).

Oscar og Maja stiller tre spørsmål:

Oscar

Det tok 1,2 sekunder fra jeg hoppet, til jeg traff vannflaten. Hva var farten da jeg traff vannflaten?

Maja

Hvis jeg hopper fra høyden 10 meter, treffer jeg da vannflaten med dobbelt så stor fart som om jeg hopper fra høyden 5 meter?

Maja

Jeg hopper fra høyden 10 meter. Hvor mange sekunder tar det før jeg treffer vannflaten?

Oppgave

Gjør beregninger og svar på spørsmålene Oscar og Maja stiller.

Fasit

Oscar: $v = 11, 76 m / s$ ; Maja: nei, $\sqrt{2}$ ganger (ikke dobbel); $t \approx 1, 43 s$

Løsningsforslag

Oscar: $t = 1, 2 s$ , Formel 1:

v = 9, 8 \cdot 1, 2 = \underset{―}{\underset{―}{11, 76 m / s}}

Maja – dobbel fart? Vi bruker Formel 2 for begge høyder:

v_{10} = \sqrt{2 \cdot 9, 8 \cdot 10} = \sqrt{196} = 14 m / s

v_{5} = \sqrt{2 \cdot 9, 8 \cdot 5} = \sqrt{98} \approx 9, 90 m / s

\frac{v_{10}}{v_{5}} = \frac{14}{9, 90} \approx 1, 41 = \sqrt{2}

Farten er ikke dobbel – den er $\sqrt{2} \approx 1, 41$ ganger så stor, fordi farten øker med kvadratroten av høyden.

Maja – tid fra 10 m:

v_{10} = 14 m / s ⟹ t = \frac{v}{9, 8} = \frac{14}{9, 8} \approx \underset{―}{\underset{―}{1, 43 s}}

Oppgave 2-5

Fylle svømmebasseng

Det største bassenget i Pirbadet i Trondheim har vært tømt for vann i forbindelse med vedlikehold.

Hvis de ansatte bruker to brannslanger, tar det 48 timer å fylle bassenget med 3 000 000 liter vann.

Oppgave

Hvor mange liter vann fyller hver brannslange i bassenget per sekund?

To brannslanger fyller vann i bassenget.

Trond er teknisk leder og har ansvar for å fylle bassenget.

Tenk deg at

Trond bruker en vannkanne til å fylle bassenget med 3 000 000 liter vann
vannkannen rommer 5 liter
Trond arbeider 7 timer hver dag
når vannkannen er tom, går Trond og fyller den med vann, og han bruker 3 minutter på hver runde

Oppgave

Gjør beregninger og vurder hvor mange arbeidsdager Trond ville brukt på å fylle bassenget på denne måten.

Fasit

a) $\approx 8, 68 L / s$ per brannslange
b) $\approx 4 286 arbeidsdager$

Løsningsforslag

a

To brannslanger, $3 000 000$ liter på $48 t = 172 800 s$ :

\frac{3 000 000}{172 800 \cdot 2} \approx \underset{―}{\underset{―}{8, 68 L / s}} per brannslange

b

Antall runder med vannkanne:

\frac{3 000 000}{5} = 600 000 runder

Total tid: $600 000 \cdot 3 \min = 1 800 000 \min$

Trond arbeider $7 t = 420 \min$ per dag:

\frac{1 800 000}{420} \approx \underset{―}{\underset{―}{4 286 arbeidsdager}}

Det tilsvarer nesten 17 år – ikke gjennomførbart i praksis!